Physique quantique appliquée A Perturbation au 2nd ordre de l?état

Université Pierre et Marie Curie
M1 - parcour OACOS & AP Année 2009–10
Physique quantique appliquée
TD n8 : Théorie des perturbations stationnaires (e¤et Stark)
On considère un atome d’Hydrogène - supposé sans spin et au repos - placé dans un champ électrique ! E
constant dont l’orientation est suivant le vecteur ! ez(
!
E
=E). On rappelle qu’en l’absence de champs
extérieurs, les niveaux d’énergie sont donnés par :
En=EI
n2avec n>1et EI= 13;6eV
Ils sont dégénérés n2fois et les états propres associés sont notés jnlmi. L’Hamiltonien de perturbation peut
alors s’écrire sous la forme :
W=e! r :! E=ezE
où zest l’opérateur position. Cet Hamiltonien induit une modi…cation des niveaux d’énergie En(e¤et Stark)
que l’on se propose d’étudier.
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A - Perturbation au 2nd ordre de l’état fondamental n= 1
A.1 Donner l’expression de la perturbation au 1er ordre E1du niveau n= 1.
A.2 Sachant que les états jnlmiont une parité bien dé…nie (ils sont soit pairs soit impairs sous inversion
spatiale), montrer que E1= 0. Conclusion.
A.3 Donner l’expression de la correction au 2nd ordre 2E1du niveau fondamental (en faisant apparaître
le facteur (eE)2=EI). De quel signe est-elle ?
A.4 On peut montrer que les éléments de matrice hnlmjWjn0l0m0isont nuls lorsque l+l0est pair (pour
des questions de parité) ou lorsque m6=m0(car Lzcommute avec W). Donner les 3 premiers termes de
l’expression de 2E1.
A.5 La somme des di¤érents termes de l’expression de 2E1conduit au résultat suivant :
2E1 =1
2E2avec : = 18"0a3
0(polarisabilité)
où "0= 8;85:1012Kg1m3A2s4est la permittivité du vide et où a0= 5;3:1011mest le rayon de Bohr.
Quelle est la valeur de 2E1(en eV ) pour un champ électrique de 104V=cm ? Comparer cette valeur à l’écart
entre les niveaux E1et E2. Conclusion.
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B - Perturbation du niveau n= 2 et levée de dégénérescence
B.1 Quelle est la dégénérescence du niveau n= 2 ? Quels sont les états associés ?
B.2 Sachant que seuls les 2éléments de matrice suivant sont non-nuls :
h200jWj210i=h210jWj200i= 3a0eE
déterminer les corrections du 1er ordre à l’énergie E2.
B.3 En combien de niveaux di¤érents se scinde le niveau n= 2 sous l’e¤et de W?
B.4 Quels sont les nouveaux états propres ?
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