Physique quantique appliquée A Perturbation au 2nd ordre de l?état

Université Pierre et Marie Curie
M1 - parcour OACOS & AP
Année 2009–10
Physique quantique appliquée
TD n 8 : Théorie des perturbations stationnaires (e¤et Stark)
!
On considère un atome d’Hydrogène - supposé sans spin et au repos - placé dans un champ électrique E
!
constant dont l’orientation est suivant le vecteur !
ez ( E = E). On rappelle qu’en l’absence de champs
extérieurs, les niveaux d’énergie sont donnés par :
En =
EI
n2
n > 1 et EI = 13; 6 eV
avec
Ils sont dégénérés n2 fois et les états propres associés sont notés jnlmi. L’Hamiltonien de perturbation peut
alors s’écrire sous la forme :
!
W = e!
r : E = ezE
où z est l’opérateur position. Cet Hamiltonien induit une modi…cation des niveaux d’énergie En (e¤ et Stark )
que l’on se propose d’étudier.
*******
A - Perturbation au 2nd ordre de l’état fondamental n = 1
A.1 Donner l’expression de la perturbation au 1er ordre E1 du niveau n = 1.
A.2 Sachant que les états jnlmi ont une parité bien dé…nie (ils sont soit pairs soit impairs sous inversion
spatiale), montrer que E1 = 0. Conclusion.
A.3 Donner l’expression de la correction au 2nd ordre
2
le facteur (eE) =EI ). De quel signe est-elle ?
2
E1 du niveau fondamental (en faisant apparaître
A.4 On peut montrer que les éléments de matrice hnlmj W jn0 l0 m0 i sont nuls lorsque l + l0 est pair (pour
des questions de parité) ou lorsque m 6= m0 (car Lz commute avec W ). Donner les 3 premiers termes de
l’expression de 2 E1 .
A.5 La somme des di¤érents termes de l’expression de
2
E1 =
1
E2
2
2
E1 conduit au résultat suivant :
= 18 "0 a30 (polarisabilité)
avec :
où "0 = 8; 85:10 12 Kg 1 m 3 A2 s4 est la permittivité du vide et où a0 = 5; 3:10 11 m est le rayon de Bohr.
Quelle est la valeur de 2 E1 (en eV ) pour un champ électrique de 104 V =cm ? Comparer cette valeur à l’écart
entre les niveaux E1 et E2 . Conclusion.
1
B - Perturbation du niveau n = 2 et levée de dégénérescence
B.1 Quelle est la dégénérescence du niveau n = 2 ? Quels sont les états associés ?
B.2 Sachant que seuls les 2 éléments de matrice suivant sont non-nuls :
h200j W j210i = h210j W j200i = 3a0 eE
déterminer les corrections du 1er ordre à l’énergie E2 .
B.3 En combien de niveaux di¤érents se scinde le niveau n = 2 sous l’e¤et de W ?
B.4 Quels sont les nouveaux états propres ?
2