Point de vue de Heisenberg - ESPCI

Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique
D. Marchand
« LES POINTS DE VUE » DE HEISENBERG ET SCHRÖDINGER
Deux méthodes (« points de vue ») équivalents pour décrire l’évolution d’un
système en mécanique quantique :
1. Le point de vue de Schrödinger :
Les opérateurs sont indépendants du temps
L’état du système évolue (équation de Schrödinger)
2. Le point de vue de Heisenberg :
L’état du système est indépendant du temps
Les opérateurs évoluent (équation de Heisenberg)
Très utile en Optique Quantique, car on retrouve des équations d’évolution des
opérateurs champ très proches de celles de l’électromagnétisme classique
Lien entre ces points de vue ? L’Opérateur d’évolution.

Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique
D. Marchand
L’OPERATEUR D’EVOLUTION
Equation de Schrödinger :
()
()
()
ˆt
dt
iHt
dt
Ψ
Ψ=
=
* Si ˆ
H est indépendant du temps, intégration formelle :
()
() () () () ( )
ˆ
ˆˆ
00
iHt
dt iHdt te Ut
t
−
Ψ=− → Ψ = Ψ = Ψ
Ψ
=
=
où
()
ˆ
ˆ
iHt
Ut e
−
== est un opérateur unitaire appelé : « opérateur d’évolution ».
Attention ! si ˆ
H dépend du temps (cas général) on a toujours
() () ( )
ˆ0tUtΨ= Ψ où
()
ˆ
Ut est solution de :
() () ()
ˆˆˆ
dU t
iHtUt
dt =
= mais généralement.
()
ˆ
ˆ
iHt
Ut e
−
≠=

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D. Marchand
EQUATION DE HEISENBERG
* Valeur moyenne de l’opérateur ˆS
A dans l’état Ψt
af :
() () () () () ( ) () () ( )
†
ˆˆˆ
ˆˆ
0000
SSH
tA t U tAUt A t
ΨΨ=Ψ Ψ=Ψ Ψ
où
() () ()
†
ˆˆ
ˆˆ
HS
At UtAUt
= est l’opérateur ˆ
A en « point de vue de Heisenberg ».
* Equation d’évolution de
()
ˆH
At
(ˆˆ
et
S
AH
sont indépendants du temps) :
() () () () ()
†
†
ˆˆˆ
ˆˆˆ
H
SS
dA t dU t dU t
AU t U t A
dt dt dt
=+
() () () () () () ()
†† †
ˆˆˆ
ˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
,
H
SS S
dA t
iUtHAUtUtAHUtUtAUtH
dt
=− + = =
On obtient l’équation de Heisenberg :
() ()
ˆˆˆ
,
H
H
dA t
iAtH
dt
=
=

Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique
D. Marchand
EQUATION DE HEISENBERG : remarques...
* Valeur moyenne de l’équation de Heisenberg
() ()
ˆˆˆ
,
H
H
dA t
iAtH
dt
=
=
En prenant la valeur moyenne dans l’état Ψ0
af :
() ()
ˆ
ˆˆ
,
dA t
iAHt
dt
=
= Théorème d’Ehrenfest
* Cas général où ˆS
A et ˆS
H dépendent de t :
() () () ()
ˆˆ
ˆˆ
,
HS
HH
H
dA t A t
ii AtHt
dt t
∂
∂
=+
==
avec pour tous les opérateurs
() () ()
†
ˆˆ
ˆˆ
HS
At UtAUt
=
Valeur moyenne → théorème d’Ehrenfest généralisé.