Chapitre_13_Calcul_matriciel

- 1 - Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique
Chapitre 13
Calcul matriciel
I Définition des matrices et des vecteurs
A] Les matrices
1) Définition
Définition :
Une matrice de dimension n x p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes.
Ces nombres sont appelés les coefficients de la matrice.
Remarques :
 Il y a un ordre quand on donne la dimension de la matrice.
 Il y a np coefficients.
2) Exemples
Exemples :
* A =
Error!
est une matrice 2 5 à coefficients complexes. Il y a effectivement 10
coefficients.
On dit que le coefficient de la 1ère ligne et de la 2ème colonne est . On note cela a1,2 = .
On dit que le coefficient de la 2ème ligne et de la 1ère colonne est 4. On note cela a2,1 = 4.
* B = ( )
1; –4;–2; 6 est une matrice 2
2. Lorsque la matrice possède autant de
lignes que de colonnes on dit qu’elle est carrée.
Si on note B cette matrice, alors b11 = et b12 = .
Remarques :
La matrice nulle de dimensions nxp est notée 0n,p et ne comporte que des 0.
Exercice 2p253.
2) Egalité de matrices
Définition :
On dit que deux matrices sont égales quand elles ont mêmes dimensions ( ie qu’elles ont le
même nombre de lignes et le même nombre de colonnes) et qu’elles contiennent les mêmes
nombres placés aux mêmes endroits.
Exemples :
* A et B ne peuvent pas être égales car elles n’ont pas la même dimension.
* On remarque la dimension ne suffit pas.
Exercices 3, 4 et 5p253.
B] Les vecteurs
1) Définitions
Définition :

- 2 - Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique
 Une matrice à une seule ligne et p colonnes s’appelle un vecteur ligne de dimension
p.
 Une matrice à une seule colonne et n lignes s’appelle un vecteur colonne de
dimension n.
Remarque :
Les vecteurs sont des matrices particulières qui ne possèdent qu’une ligne ou qu’une seule
colonne.
Exemples :
Exemple des élèves : est un vecteur ligne de dimension 4.
Exemples des élèves : est un vecteur colonne de dimension 2.
Remarque :
On définit de la même façon que pour les matrices l’égalité de vecteurs.
II Opérations sur les matrices
A] Multiplication d’une matrice par un nombre réel
1) Définition
Définition :
On appelle produit d’une matrice par un nombre complexe la matrice obtenue en multipliant
tous les coefficients par ce nombre.
Exemples :
* Reprenons notre matrice A. Calculons 2A.

- 3 - Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique
Ainsi 2A =
2 ; 2; 4; –23; 0;8; 2i; 4+6i; 1; 4
.

- 4 - Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique
Et 3iB = ( )
3i; –12i;–6i; 18i
.
* Une station service propose 2 types de carburants gazole et super. On a alors le
tableau suivant représentant le volume vendu en litre.
Jour
Super
Gazole
Lundi
1 600
3 00
Mardi
1 800
2 500
Mercredi
1 700
3 200
Jeudi
800
1 800
Vendredi
2 00
2 800
Samedi
2 500
1 000
Dimanche
0
0
1 m3 = 1 000 litres
Donner la matrice Q’ où la quantité des carburants vendue est en m3 et non en litre. Q’ =
0,001 Q
2) Théorème
Théorème :
Soient M et C deux matrices de dimensions nxp et a et b deux nombres complexes.
 0 x M = 0n,p et 1 x M = M.
 ( a + b ) M = aM + bM.
 a ( M + C ) = aM + aC.
Démonstration :
Il suffit de le faire pour un emplacement quelconque de la matrice.
Faisons pour la 1ère ligne et la 1ère colonne.
1) 0 x m11 = 0 d’où 0n,p x M = 0n,p.
1 x m11 = m11 d’où 1 x M = M.
2) (a + b ) m11 = am11 + bm11 d’où ( a + b ) M = aM + bM.
3) a (m11 + c11 ) = am11 + bm11 d’où a(M + C ) = aM + aC.
Remarques :
On appelle opposée d’une matrice M, la matrice ( – 1 ) M ; elle est notée – M.
A – B = A + ( – B).
M – M = 0n,p.
B] Somme de deux matrices
Définition :
Soient A et B deux matrices de dimensions n p. On définit la matrice somme par S = A + B.
 La matrice S est de dimension n p.
 et pour tout i
1
…
n et pour tout j
1
…
p on a si,j = ai,j + bi,j.
Remarque :
On ne peut pas sommer deux matrices qui n’ont pas la même dimension.
Exemples :

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* Soit A’ =
1; 0; –1; 0; 2;0; 3; –i; 0; 3