Chapitre_13_Calcul_matriciel

Chapitre 13
Calcul matriciel
I Définition des matrices et des vecteurs
A] Les matrices
1)
Définition
Définition :
Une matrice de dimension n x p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes.
Ces nombres sont appelés les coefficients de la matrice.
Remarques :
 Il y a un ordre quand on donne la dimension de la matrice.
 Il y a np coefficients.
2) Exemples
Exemples :
*
A = Error! est une matrice 2  5 à coefficients complexes. Il y a effectivement 10
coefficients.
On dit que le coefficient de la 1ère ligne et de la 2ème colonne est . On note cela a1,2 = .
On dit que le coefficient de la 2ème ligne et de la 1ère colonne est 4. On note cela a2,1 = 4.
*
B = ( 1; –4;–2; 6 ) est une matrice 2  2. Lorsque la matrice possède autant de
lignes que de colonnes on dit qu’elle est carrée.
Si on note B cette matrice, alors b11 =
et b12 =
.
Remarques :
La matrice nulle de dimensions nxp est notée 0n,p et ne comporte que des 0.
Exercice 2p253.
2)
Egalité de matrices
Définition :
On dit que deux matrices sont égales quand elles ont mêmes dimensions ( ie qu’elles ont le
même nombre de lignes et le même nombre de colonnes) et qu’elles contiennent les mêmes
nombres placés aux mêmes endroits.
Exemples :
* A et B ne peuvent pas être égales car elles n’ont pas la même dimension.
* On remarque la dimension ne suffit pas.
Exercices 3, 4 et 5p253.
B] Les vecteurs
1)
Définition :
Définitions
-1-
Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique

Une matrice à une seule ligne et p colonnes s’appelle un vecteur ligne de dimension
p.
 Une matrice à une seule colonne et n lignes s’appelle un vecteur colonne de
dimension n.
Remarque :
Les vecteurs sont des matrices particulières qui ne possèdent qu’une ligne ou qu’une seule
colonne.
Exemples :
Exemple des élèves :
est un vecteur ligne de dimension 4.
Exemples des élèves :
est un vecteur colonne de dimension 2.
Remarque :
On définit de la même façon que pour les matrices l’égalité de vecteurs.
II Opérations sur les matrices
A] Multiplication d’une matrice par un nombre réel
1) Définition
Définition :
On appelle produit d’une matrice par un nombre complexe la matrice obtenue en multipliant
tous les coefficients par ce nombre.
Exemples :
*
Reprenons notre matrice A. Calculons 2A.
-2-
Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique



Ainsi 2A = 

































-3-



.

































Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique
Et 3iB = (
).
*
Une station service propose 2 types de carburants gazole et super. On a alors le
tableau suivant représentant le volume vendu en litre.
Jour
Super
Gazole
Lundi
1 600
3 00
Mardi
1 800
2 500
Mercredi
1 700
3 200
Jeudi
800
1 800
Vendredi
2 00
2 800
Samedi
2 500
1 000
Dimanche
0
0
1 m3 = 1 000 litres
Donner la matrice Q’ où la quantité des carburants vendue est en m3 et non en litre. Q’ =
0,001 Q
2)
Théorème
Théorème :
Soient M et C deux matrices de dimensions nxp et a et b deux nombres complexes.

0 x M = 0n,p et 1 x M = M.

( a + b ) M = aM + bM.

a ( M + C ) = aM + aC.
Démonstration :
Il suffit de le faire pour un emplacement quelconque de la matrice.
Faisons pour la 1ère ligne et la 1ère colonne.
1) 0 x m11 = 0 d’où 0n,p x M = 0n,p.
1 x m11 = m11 d’où 1 x M = M.
2) (a + b ) m11 = am11 + bm11 d’où ( a + b ) M = aM + bM.
3) a (m11 + c11 ) = am11 + bm11 d’où a(M + C ) = aM + aC.
Remarques :
On appelle opposée d’une matrice M, la matrice ( – 1 ) M ; elle est notée – M.
A – B = A + ( – B).
M – M = 0n,p.
B] Somme de deux matrices
Définition :
Soient A et B deux matrices de dimensions n  p. On définit la matrice somme par S = A + B.
 La matrice S est de dimension n  p.
 1 
 1 
 et pour tout i   …  et pour tout j   …  on a si,j = ai,j + bi,j.
 n 
 p 
Remarque :
On ne peut pas sommer deux matrices qui n’ont pas la même dimension.
Exemples :
-4-
Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique
*



Soit A’ = 




































































-5

Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique
Alors la somme A + A’ = Error!.
* En outre A – A’ = Error!.
Propriété :
Soient A, B et C trois matrices de dimensions n  p.
Soient k et k’ deux nombres complexes.
On a alors les assertions suivantes :
 A + B = B + A. ( la somme est commutative).
 (A + B )+ C = A + (B + C). ( la somme est associative).
 (kk’) A = k (k’A).
 k (A + B) = kA + kB. La loi  est distributive par rapport à la somme.
 (k + k’) A = kA + k’A.
Démonstration :
Il suffit de le faire sur un coefficient et d’utiliser les propriétés des nombres complexes.
C] Multiplication de deux matrices de bonnes dimensions
1)
Produit d’un vecteur ligne par un vecteur colonne de même dimension
Définition :
On appelle produit du vecteur ligne(a1
an) par le vecteur colonne ( b1;.;.;;bn ) :
Le nombre a1b1 + a2b2 +…………….+anbn
On l’écrit :
an ) ( b1;.;.;;bn ) = a1b1 + a2b2 +…………….+anbn
( a1
Exemples :
i) Avec les leurs.
ii) On reprend la station essence et on veut calculer la recette du mardi sachant que le
prix du super est 1,23€ et celui du gazole est de 1,01€.
D’où
 1 
( 1 800 2 500 )  23;1  =
 01 
2)
Cas général :
Définition :
On appelle produit d’une matrice A de dimension n x p par une matrice B de dimension p x s
la matrice AB de dimension n x s obtenue de la façon suivante :
Le coefficient de la lème ligne et de la kème colonne est le produit du vecteur ligne l de
A par le vecteur colonne k de B.
Faire un dessin.
-6-
Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique
Remarque :
Si A est une matrice carrée on note A² = A x A.
Exemples :
Faire des exemples avec leurs matrices !
ATTENTION :
AB  BA et parfois cela n’a pas de sens.
Théorème :
Soient A, B, et C trois matrices dont les dimensions permettent les calculs suivants et k un
réel.

A(BC) = (AB)C = ABC. ( Associativité du produit ).

A ( B + C ) = AB + AC. ( Distributivité à gauche du produit par rapport à la
somme ).

( A + B ) C = AC + BC. ( Distributivité à droite du produit par rapport à la
somme ).

( k A ) B = A ( k B ) = k ( A B ) = k A B.
Démonstration :
ADMIS
Exercices 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14 et 15p254.
Exercice 20p255.
Exercices 22, 25 et 27p256.
Introduction en parlant de +, – x et …
III Inverse d’une matrice
A] Définition
Définition :
La matrice unité d’ordre n est la matrice d’ordre n définie par :

ai,j = 1 si i = j.

ai,j = 0, si i  j.
Exemple :
I3 = ( 1; 0; 0;0; 1; 0;0; 0; 1 ).
Remarque :
Soit A une matrice de dimensions n x n, on a alors A x In = In x A = A.
Le faire avec une matrice 2x2.
Définition :
Soit A une matrice carrée de dimensions n. On appelle inverse la matrice de A si elle existe la
matrice B carrée de dimension n telle que AB = BA = In.
On la note A-1.
Remarques :

Cette matrice n’existe pas toujours.

Pour obtenir cette matrice on peut utiliser la calculatrice.
B] Utilisation de l’inverse pour résoudre des systèmes d’équations
Exemple :
On cherche à résoudre le système suivant : { x + y + z = 1 ; x + 2y + z = 3 ; 2x + y = 4.
-7-
Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique
On pose alors la matrice A et le vecteur colonne B.
A = ( 1; 1; 1;1 ; 2; 1;2; 1; 0 ) et B = ( 1;3;4 ).
On pose aussi X = ( x;y;z ).
Ainsi résoudre le système revient à résoudre AX = B.
On cherche alors A-1 avec la calculatrice par exemple.
Ainsi ( x;y;z ) = A-1B.
On a donc les solutions du système.
Exercice 16p254.
Exercice 28p256.
Exercice 29p257.
IV Utilisation du calcul matriciel
A] Matrices associées à quelques transformation du plan
Le plan complexe est rapporté à un repère (OError!Error!).
1)
Rotation de centre O
Propriété :
Considérons la rotation de centre O et d’angle . On la note r .
Soit M le point d’affixe z = x + iy.
Si M’ = r (M) est d’affixe z’ = x’ +iy’, alors on a z’ = ei  z.
SSI z’ = (cos  + i sin ) ( x + iy).
SSI { x’ = x cos  – y sin  ; y’ = x sin  + y cos .
SSI ( x’;y’ ) = R ( x;y ). En posant R = ( cos ; –sin ;sin ; cos  ).
2)
Homothéties de centre O et de rapport k/
Propriété :
En procédant de même on démontre alors que si M’ est le transformé de M par l’homothétie
de centre O et de rapport k, alors on a :
( x’;y’ ) = H ( x;y ). En posant H =k Id2.
3)
Similitude de centre O, de rapport k et d’angle 
Propriété :
En procédant de même on démontre alors que si M’ est le transformé de M par la similitude
de centre O, d’angle  et de rapport k, alors on a :
( x’;y’ ) = S ( x;y ). En posant S = ( k cos ; –k sin ;k sin ; k cos  ).
Exercice 17p255.
Exercice 30p257.
B] Quadripôles linéaires
1)
Définition :
Définition
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Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique
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Chapitre 13 : BTS 2 électrotechnique