Bernard

Examen de Probabilités discrètes Juin 2003 : corrigé-type
La sécurité des bateaux-navettes de la Cie JASON-ARGONAUTH
La Cie de bateaux-navettes JASION-ARGONAUTH de la cité balnéaire de LAS MEDUSAS
doit équiper ses navires d’un nouveau système de sécurité qui a pour but de les empêcher de
quitter la plage quand le passerelle n’est pas totalement repliée. Les instructions de la Cie sont
de faire en sorte que, dans la mesure du possible, le bateau ait quitté la plage 45 secondes au
plus après que le dernier passager ait été embarqué.
Pour pouvoir enclencher la marche arrière et permettre ainsi au navire de quitter la plage, il
faut que l’information B : « Le moteur de relevage de la passerelle ne fonctionne pas. » soit
vraie et que, simultanément, l’information A : « La passerelle ne touche plus la plage. » soit
également vraie.
Ces informations sont vérifiées par trois témoins : un pour chacun des deux détecteurs de
contact placés l’un à droite, l’autre à gauche de l’extrémité extérieure de la passerelle ; le
troisième témoin atteste du fonctionnement ou non du moteur de relevage de la passerelle.
Le détecteur droit se déclenche dans 85% des cas avant que le délai de 45 secondes soit
écoulé après que le bord de la passerelle ait quitté la plage, le détecteur gauche, dans 75% des
cas.
Il suffit qu’un seul des deux détecteurs soit déclenché pour que l’information A soit vraie.
Le moteur de relevage de la passerelle à débrayage automatique fonctionne normalement 25
secondes puis s’arrête automatiquement. Cependant dans 3% des cas, il faut une intervention
humaine pour l’arrêter, ce qui prend toujours plus d’une minute. L’arrêt automatique ou
manuel du moteur rend vraie l’information B.
Tous les événements sont considérés comme indépendants.
a) Quelle est la probabilité que le prochain départ de la « Toison d’or III », le nouveau
navire de la Cie au départ de la plage de LAS MEDUSAS se fasse dans le délai de 45
secondes recommandé dans les instructions de la Cie ?
Soit les événements suivants :
Q : « Le bateau quitte la plage dans les délais recommandés. »
M : « Le moteur du treuil est arrêté dans les 45 secondes qui suivent son démarrage. »
P : « La passerelle a quitté la plage dans les délais. »
DG : « Le détecteur gauche s’est déclenché dans les délais requis. »
DD : « Le détecteur droit s’est déclenché dans les délais requis. »
On sait que :
P(M) = 1 – 0,03 = 0,97 ; P(DG) = 0,75 et P(DD) = 0,85.
On cherche : P(Q) = P(M)P(P) Or : P(P) = P(DGDD) = P(DG) + P(DD)-P(DGDD) =
0,75 + 0,85 – 0,75.0.85 = 1,60 – 0,6375 = 0,9625.
Donc : P(Q) = 0,97.0,9625 = 0,933625 = 93,3625 %.
b) Quid si les deux détecteurs de contacts doivent être tous deux déclenchés pour rendre
vraie l’information A ?
On cherche toujours : P(Q) = P(M)P(P).
Mais maintenant : P(P) = P(DGDD) = P(DG).P(DD) = 0,75.0.85 = 0,6375.
Donc : P(Q) = 0,97.0,6375 = 0,618375 = 61,8375 %.

Vaisselle au camping
Aline et Bernard qui résident au camping du Rio BÔ ont décidé de dispenser de vaisselle celle
ou celui qui remportera le tournoi de belote de l’apéritif. Le tournoi est remporté par un joueur
quand ce joueur remporte deux jeux consécutifs ou qu’il a remporté trois jeux au total. Les
compétences et l’entraînement de chacun en cette matière étant très différents, les probabilités
conditionnelles de gagner un jeu en fonction de la situation ou de l’issue du jeu précédent sont
données dans le tableau infra (par exemple : 5/8 signifie qu’Aline a 62,5% de chances de
gagner le premier jeu du tournoi quotidien ; 1/4 signifie que Bernard à 25% de chances de
gagner le jeu en cours si Aline a gagné le précédent.) :
Probabilité de gagner le jeu en cours en
fonction de la situation précédente.
Pas de jeu
précédent ce
jour-là.
Le jeu précédent a été
gagné par :
Aline
Bernard
Aline
5/8
3/4
3/8
Bernard
3/8
1/4
5/8
Le séjour au camping dure 20 jours, il n’y a qu’un apéritif et qu’une vaisselle par jour.
a) Combien de jeux le tournoi de belote quotidien comptera-t-il au maximum ?
Solution par le diagramme en arbre :
Soit A : « Aline gagne le jeu en cours. », B : « Bernard gagne le jeu en cours. », et A : « Aline
gagne le tournoi du jour. », B : « Bernard gagne le tournoi du jour. »
Donc le tournoi de belote peut compter 5 jeux au maximum.
A
B
B
A
B
A
A
B
A
B
A
A
B
B
A
B
B
A
5/8
3/8
3/4
3/4
3/4
3/4
1/4
1/4
1/4
1/4
3/8
3/8
3/8
3/8
5/8
5/8
5/8
5/8
a) 15/32
e) 81/8192
c) 45/8192
d) 27/256
b) 45/1024
f) 25/256
g) 75/8192
h) 27/8192
i) 15/64
j) 45/2048

b) Quelle est la probabilité pour Aline de gagner le tournoi un jour donné ?Pour Bernard ?
Les probabilités jointes de gagner pour Aline sont données par les résultats supra a), b), c), d)
et e) ; pour Bernard, il s’agit des résultats f), g), h), i) et j). Donc la probabilité totale de A est
égale à la somme des probabilités jointes de A puisque les différentes possibilités de victoire
dans le tournoi sont mutuellement exclusives, donc P(A) = 5190/8192 = 0,6335 et P(B) = 1 –
P(A) = 0,3665.
c) A combien de vaisselles doivent s’attendre chacun des joueurs pour toute la durée du
séjour ?
Comme le séjour dure 20 jours, le nombre de vaisselles auxquelles Bernard doit s’attendre
(approche fréquentiste des probabilités, ou raisonnement binomial) = 20.P(A) = 12,67  13 et
donc Aline doit s’attendre à approximativement 20 – 13 vaisselles, c’est-à-dire 7.

La chaîne téléphonique
Les 10 élèves de la classe de moniteurs de la plaine de jeux de la localité de LAS MEDUSAS
ont organisé entre eux une chaîne téléphonique via les téléphones mobiles de chacun qui
permet théoriquement d’avertir tous les membres du groupe de la non organisation d’un cours
en cas d’intempéries rédhibitoires. La chaîne est organisée selon l’ordre alphabétique des
prénoms des élèves et il n’est pas prévu de déroger à cette organisation.
Il se fait que ce type d’intempéries crée des difficultés de transmission des signaux de
téléphones mobiles de telle sorte qu’une communication entre deux téléphones en ces
circonstances ne peut s’établir qu’avec une probabilité de 90%.
a) Si le 1er élève de la classe qui est aussi le premier dans l’ordre alphabétique, logeant près
du centre de formation, est toujours averti personnellement et oralement par un des
formateurs de la non tenue de la séance du jour à cause des intempéries, quelle est la
probabilité que la chaîne soit interrompue ces jours-là ?
Soit X, le nombre de communications 1 à 1 réalisées avant une interruption de la chaîne par
les intempéries ou avant la fin de la chaîne : X = 0,1, 2, …, 9 puisqu’il faut que 9
communications 1 à 1 soient réalisées pour que la chaîne soit complète.
Chaque tentative de communication 1 à 1 peut être considérée comme une épreuve de
Bernouilli avec une probabilité de succès de 0,9.
La tentative de réaliser une chaîne complète peut être vue comme une tentative de réaliser 9
succès consécutifs lors de la réalisation de 9 épreuves de Bernouilli. X n’est cependant pas
distribué comme une variable binomiale car la chaîne est interrompue dès qu’un échec se
produit, donc le nombre d’épreuves de Bernouilli effectivement réalisées n’est pas
nécessairement stable d’une situation à l’autre nécessitant l’activation de la chaîne.
Soit I, l’événement : « La chaîne est interrompue. ». Pour que la chaîne soit interrompue, il
suffit que 9 succès ne se réalisent pas consécutivement,
donc P(I) = 1 – P(9) = 1 – 0,99= 1 – 0,3874 = 0,6126.
b) Quel est le nombre de personnes auquel on doit s’attendre qui ne seront pas contactées
suite à une interruption de la chaîne et donc qui se présenteront en vain au centre de
formation un jour d’intempéries ?
Pour répondre à cette question, il nous faut calculer la distribution de probabilité de Y, le
nombre de personnes non contactées, qui sera = 9 – X.
Avec P(Y = i), i = 1, 1, 2, …,9 = 0,99-i. 0,1 et P(Y=0) = 0,99.
Il s’agit bien d’une distribution de probabilité, en effet  9i=0 P(Y=i) = 1.
Preuve : (0,l.  8i=0 0,99-i) + 0,99 = 0,1.[(1-0,99)/(1-0,9)] + 0,99 = (0,1/0,1).(1 - 0,99) + 0,99 = 1.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
P(Y)
0,1
0,09
0,081
0,0729
0,0656
0,0591
0,0531
0,0478
0,0431
0,3874
1
Y.P(Y)
0,9
0,72
0,567
0,4374
0,328
0,2364
0,1593
0,0956
0,0431
0
3,4868
 9Y=0 Y.P(Y) = E(Y) = 3,4868  4 personnes. C’est-à-dire que les quatre dernières personnes
dans l’ordre alphabétique des prénoms doivent s’attendre à se rendre pour rien à la plaine de

c) Cette organisation étant insatisfaisante, il est décidé que le 1er élève contacterait tous les
autres élèves selon l’ordre alphabétique de leurs prénoms. Les coûts sont tels que le 1er
élève n’a droit qu’à un seul essai pour chacun de ses condisciples.
Quelle est la probabilité qu’il parvienne à contacter :
1. Tous les autres élèves ?
Soit Y, une V.A.D. discrète définie comme au point b) supra , mais ici Y ~Bi(9 ; 0,1).
On cherche P(Y=0) = 0,3874 ou 38,74 % . Voir table distribution binomiale syllabus.
2. 3 élèves ?
On cherche P(Y=6) = 0,0001 ou 0,01 % . Voir table distribution binomiale syllabus.
3. Au moins 4 élèves ?
On cherche P(Y5) = 0,9999 ou 99,99 % . Voir table répartition binomiale syllabus.
4. Au plus 3 élèves ?
On cherche P(Y6) = 1 – P(Y5) = 1 – 0,9999 = 0,0001 ou 0,01%. Voir table répartition
binomiale syllabus.
5. Entre 3 (inclus) et 7(inclus) élèves ?
On cherche P(2Y6) = P(Y6)–P(Y1) = 1 – 0,7748 = 0,2252 ou 22,52%. Voir table
répartition binomiale syllabus.
c) BONUS : Cette nouvelle organisation de la chaîne est-elle plus efficace que la
précédente ?
Dans ce cas ci, E(Y) = 9*0,1 = 0,9 : ce qui signifie qu’une personne en moyenne sera non
contactée ce qui prouve une meilleure organisation de la chaîne.