Exercice 1

TD N° 9
Exercice 1 :
On dispose à l’origine une source plane S d’intensité D, et en un point P de l’axe x du côté
positif un puits de même intensité.
1- Exprimer les composantes cartésiennes de la vitesse V(M) induite par l’ensemble source et
puits en fonction des coordonnées polaires r,  et r’, ’ relatives à la source et au puits
respectivement.
On fait alors tendre le puits vers la source, en maintenant le produit D.dx de leur intensité D
par leur distance dx égal à une constante numérique K. L’intensité devient donc infinie à la
limite, en même temps que la distance tend vers 0.
Le champ de vitesse limite U(M) est celui d’un doublet plan d’intensité K et d’axe x, présenté
dans le cours comme dérivé selon x du champ d’une source. Le signe du vecteur intensité du
doublet K reste à préciser. Nous convenons qu’il s’agit d’un doublet de direction –x.
2 – Vérifier que V(M) donne bien U(M) à la limite.
3 – Vérifier la nature des lignes de courant du doublet plan d’après leur équation
différentielle.
Exercice 2
Soit un tourbillon plan d’intensité C (faisant tourner le fluide dans le sens des aiguilles d’une
montre), qui à l’instant t = 0 est situé à l’origine O des axes x,y, et qui au cours du temps est
véhiculé par la translation V selon x > 0, donc décrit cet axe avec une vitesse constante V.
Dans le mouvement non permanent ainsi obtenu, la vitesse en un point et à un instant donné

est donc la somme de cette translation et de la vitesse qu’induit en ce point le tourbillon dans
sa position à cet instant.
On peut aussi regarder cette vitesse comme la somme d’une vitesse relative dans les axes x’,
y’ accompagnant le tourbillon, et de la vitesse d’entraînement de ces axes.
1 – A quoi, qualitativement, correspond alors la vitesse relative ?
Le rapport (C / V ) a la dimension d’une longueur, appelée b. On s’intéresse à la trajectoire
de la particule P qui, à l’instant t = 0, est située sur l’axe y à l’ordonnée b (positive).
2 – Quelle est la vitesse relative de cette particule P à l’instant t = 0, par suite sa vitesse
absolue ?
La vitesse relative de la particule P à t = 0 est aussi celle qu’elle aurait si elle était liée au
cercle de rayon OP, tournant avec une certaine vitesse de rotation  autour de son centre O.
3 – Que vaut  en fonction de V et C ?
Pour en déduire la vitesse absolue de la particule P, et par suite sa trajectoire ultérieure, il
suffit d’admettre que le centre du cercle en question, auquel la particule reste liée, suit le
mouvement d’entraînement en conservant sa rotation.
4 – A tout instant t > 0, il existe un point du cercle ainsi entraîné dont la vitesse absolue est
nulle. Quel est ce point ?
5 – Tout se passe alors comme si le cercle roulait sans glissement sur une certaine ligne L.
Quelle est cette ligne ?
6 – Il existe un instant t1 > 0 où la particule P vient sur L en P1. Que vaut t1 en fonction de V
et C et quelle est la position de P1 ?
7 – Quelle est la position T1 du tourbillon à l’instant t1 ?
8 – Quelles sont la position P2 de la particule et la position T2 du tourbillon à l’instant
t2 = 2 t1 ?
9 – En laissant se dérouler le temps, peut-on, dire à propos des déplacements selon x de la
particule P et du tourbillon T que :
 P va prendre une avance croissante sur T,
 C’est le contraire
 Leurs déplacements respectifs restent du même ordre ?
10 – Ces considérations conduisent à une construction géométrique de la trajectoire C de P en
en précisant les principales caractéristiques. Tracer cette trajectoire.
Un raisonnement analogue au précédent permet de définir la trajectoire d’une autre particule
se trouvant sur l’axe y à l’instant t = 0, avec la différence que le champ de vitesse induit par le
tourbillon n’est pas une rotation en bloc. Tout se passe alors comme si la particule était liée à

un disque centré sur le tourbillon et tournant sur lui-même, mais avec une vitesse de rotation
qui dépend de la particule. Il reste que ce disque a à chaque instant un point de vitesse nulle,
ce qui permet de lui affecter un rayon et de déterminer la ligne sur laquelle il roule. La
particule n’est cependant plus sur la périphérie du disque.
11- Quels sont le rayon du disque associé à la particule d’ordonnée initiale 2b et la ligne de
roulement correspondante ?
12 – Même question pour la particule d’ordonnée initiale b / 2 ?

Correction TD N° 9
Exercice 1
1- Les composantes cartésiennes du champ V(M) sont :
'r 'cos
D
r
cos
Dvx
V(M) = Vs(M) + Vp(M) =
'r 'sin
D
r
sin
Dvy
Chacune d’elles est la différence des valeurs d’une fonction de r,  et r’,  en S et P.
2- A la limite, on obtient le champs U(M) suivant :
dx
r
cos
D
x
ux
r
cos
x
Ddx 
r
cos
x
U(M) = = = K
dx
r
sin
D
x
uy
r
sin
x
Ddx 
r
sin
x
La première composante donne, à K prés :
2
22
22
2
22
222
2
22
2
22222 yx
xy
yx
x2yx
yx
x2
yx 1 yx x xr
x
x
Et la seconde
2
22
222 yx xy2
yx y xr
y
x
Ce sont bien les composantes du champ U d’un doublet.
3 – L’équation différentielle des lignes de courant de ce champ est :
yx u
dy
u
dx
,
xy2
dy
yxdx 22 
y
dy
yxxdx2 22 
Elle donne :
y
dy
yx
y
dy
y2
y
dy
y
y
dy
xydy2xdx2 22222 
soit, en posant h = x2 + y2 :
y
dy
h
dh
, Log h = Log y + Log C ; h = Cy

et finalement : x2 + y2 –Cy = 0
Il s’agit de l’équation du faisceau de cercles centrés sur l’axe y (il n’y a pas de termes en x),
passant par l’origine, et coupant l’axe y au deuxième point d’ordonnée C ; donc C en est le
diamètre.
Exercice 2
1 – La vitesse d’entraînement étant V (celle du tourbillon), la vitesse relative est celle
qu’induit au point considéré le tourbillon dans sa position à l’instant considéré.
2 – La vitesse relative de P, induite à sa position initiale par le tourbillon à l’origine, est
dirigée selon x > 0, et a pour module C/b = V. Sa vitesse absolue est donc 2 V, selon x >0
3 – Si on compte  en tours par seconde,
V = 2  b  = 2  (C/ V)    = (V2/(2  C))
Et si on compte la rotation en radians par seconde :
 = (V2/(C))
4 – Le point du cercle dont la vitesse absolue est nulle est tel que sa vitesse relative s’oppose à
V, donc est dirigé selon x- : ce ne peut être que le point inférieur du cercle, à y = -b. Et de
fait, la vitesse relative y a bien pour module V.
5 – La ligne sur laquelle roule le cercle est la droite horizontale y = - b.
6 – Pour venir sur la droite en question depuis sa position initiale, la particule considérée doit
avoir décrit dans le mouvement relatif le demi-cercle. Ainsi :
V.t1 =  b =  (C/ V), d’où t1 = ( C/ V2) ( = 1/2)
P1 est sur la droite y =- b, à une abscisse égale au déplacement du centre du cercle de t = 0 à t
= t1, soit :
x1 = V.t1 =  b
7 – La position T1 est au centre du cercle à cet instant, donc sur x à l’abscisse  b.
8 – A t2 = 2t1, la particule est revenue en haut du cercle, donc elle est à l’abscisse 2  b et à
l’ordonnée b.
9 – La particule est tantôt en avance sur le tourbillon, et tantôt en retard, mais leurs
déplacements respectifs selon x restent du même ordre.
10 – La courbe C est l’une des trajectoires de la figure suivante : elle part du point haut à
gauche, dont l’ordonnée est b. Entre ce point et celui où elle coupe l’axe des x, la particule est