4éme Année * Section : Mathématiques

4éme Année * Section : Mathématiques
Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893
Série d’exercices
Intégrales
EXERCICE N°1 :
Calculer les intégrales ci-dessous :
1)
1
3
 (x  x
1
2
5)

8)

1
2
1

x
)dx ;
2
dx ;
(2 x  1) 2
2)
6)

2
1
2
x cos( x )dx ;
0
(2 x 2  4 x)dx f (x )
x
dx ;
2
( x  4) 2

2

2
9)


2
0
7)

3
2
3)
1

0
dx
2x  1
;
4)

1
2
(2 x  1 
2
)dx
x2
1
x 2  2x
)
dx ( Verifier que f (x ) = 1 
2
( x  1) 2
( x  1)
3x 2  2 x
dx
dx ; 10)  3
2
2
2  sin x
0 ( x  x  1)
1
cos x
EXERCICE N° 2 :
2 x 3  11x 2  20 x  10
.
( x  2) 2
c
1°/ Déterminer les réels a, b et c tel que f ( x ) = a x + b +
, pour x ≠ 2.
( x  2) 2
Soit la fonction f définie sur IR\{2} par f ( x ) =
2 x 3  11x 2  20 x  10
dx .
0
( x  2) 2
EXERCICE N° 3:
1
2°/ Calculer
Soit la fonction f définie sur IR\ {2} par f (x) =
2x  1
.
( x  2) 3
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (0, i , j ).
1°/ Déterminer les réels a et b tel que pour tout x de IR \ {2}, f (x) =
a
b

pour x ≠ 2.
2
( x  2)
( x  2) 3
2x  1
dx .
( x  2) 2
EXERCICE N° 4:
1
2°/ Calculer

1
On considère la fonction f définie par f (x) =
1 x2
.
1 x  x2
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( 0 , i , j ) .
1°/ a) Etudier les variations de f et construire sa courbe Cf . ( Préciser sa tangente en 0 ).
b) En déduire que pour tout réel t de [0, +  [,
2
≤ f ( t ) ≤ 1.
3
2°/ a) En utilisant l’inégalité de la moyenne, montrer que pour tout réel x de [0, +  [,
on a
2
x ≤ F ( x ) ≤ x . En déduire la limite de F en +  .
3
b) Dresser le tableau de variation de F.
EXERCICE N° 5 :

2
1°/ Soit n  IN, In =
cos tdt . Calculer I ; I
n
0
1
et I2.
0
2°/ Démontrer la propriété suivante :  n  IN, In+2 = n1 In (1).
n2
(Utiliser une intégration par partie déduite du calcul de la dérivée de : t  cosnt sint).
3°/ En déduire que l’on a :  n  IN, I2n =
(2n)! 
.
x
(n!)2 22n 1
4°/ Démontrer à laide de (1) que le réel Un = (n + 1) In. In+1 est indépendant de n. Calculer ce nombre.
En déduire l’expression de I2n+1 en fonction de n.
Série d’exercices : Intégrales
1
Dhahbi . A
Série d’exercices 4éme Maths
EXERCICE N° 6 :
Soit la fonction f définie sur IR par : f (x) =
x2 2
.
x 2 1
1°/ a) Dresser le tableau de variation de la fonction f et tracer sa courbe représentative ( C ) dans le plan
rapporté à un repère orthonormé (O, i , j ).
b) Montrer que l’équation f ( x ) = x admet dans IR une solution unique α telle que : 1    3 .
2
2°/ On appelle g la restriction de f à IR+.
a) Montrer que g admet une fonction réciproque g -1 définie dans ]1,2]
b) Ecrire l’expression de g-1(x) pour x appartient à ]1,2].
c) Tracer la courbe (C’) de g-1 dans le repère orthonormé (O, i , j ).
3°/ Soit φ la fonction définie sur [0,  ] par : φ (x) =
4
tan x
 f (t )dt
.
0
a) Montrer que φ est dérivable sur [0,  ] et que φ’ ( x ) = tan2x + 2 .En déduire alors φ (x).
4
c) En déduire l’aire A du domaine limité par la courbe (C) et les droites d’équations respectives :
x = 0 , x = 1 et y = 1 .
EXERCICE N° 7 :
1
1°/ Pour tout entier naturel n , on considère la suite In =
xn
 1  x dx
.
0
a) Montrer que pour tout x  [0, 1] et tout entier naturel n : 0 
b) En déduire 0  In 
xn
1 x
 xn.
1
. Que peut on en conclure pour In ?
n 1
1
2°/ Justifier, pour tout entier naturel, l’existence de l’intégrale Un =
x 2 n 1
1 x
2
dx .
0
a) Démontrer que, pour tout entier naturel, on a : 0  Un et Un+1 + Un =
1
.
2(n  1)
b) Etudier les variations de la suite Un.
1
.Que peut-on déduire pour Un ?
2(n  1)
c) Démontrer que, pour tout entier naturel, on a : 0  Un 
EXERCICE N° 8:
1°/ Soit la fonction f définie sur]0, +  [par f(x) = - 1 +
x 1
.
x  2x
Etudier les variations de f. En déduire que pour tout x de]0, +  [, on a : f(x) > 0.
2
2°/ Soit g la fonction définie sur [0, +  [par g(x) = x 2  2 x - x +1.
Montrer que g est strictement croissante sur [0, +  [
x
3°/ Soit G la fonction g définie sur [0, +  [par G(x) =  t.g (t )dt .
0
a) Montrer que G est dérivable sur [0, +  [ et calculer G’(x) pour tout x de [0, +  [.
x2
b) Montrer que, pour tout x de [0, +  [, on a : G(x) ≥
.
2
G ( x)
c) En déduire lim G(x) et lim
.
x  
x  
x
d) Dresser le tableau de variation de la fonction G et donner l allure de la courbe de G représentative (C)
dans un repère orthonormé (O, i , j ).
Série d’exercices : Intégrales
2
Dhahbi . A
Série d’exercices 4éme Maths
EXERCICE N° 9 :
1
Soit n  IN, Un =  xn cos( x)dx .
2
0
1°/ Prouver que pour tout n  IN: Un  0.
2°/ a) Prouver que Un est une suite décroissante.
b) Montrer que Un est convergente.
3°/ a) Prouver que  x  [0,1], 0  xn cos(  x)  xn .
2
b) En déduire que  n  IN, on a : 0  Un  1 .
n1
c) Déterminer: lim Un
n  
EXERCICE N°10:
1
1
0
0
L’objet de cette exercice est d’étudier la suite In définie par : I0 =  1t dt et In = t n 1t dt , n  IN.
1°/ Calculer I0 et intégrer par partie pour calculer I1.
2°/ Comparer tn et t n+1 lorsque 0  t  1; en déduire que : In+1  In.
3°/ Grâce à un encadrement de 1t établir que : 1  In  2 .
n1
n1
4°/ Montrer que , pour tout t de [ 0 , 1 ] ; 0  2 - 1t  1 (1t) .
2
2 - 1
En déduire que :
 In  2 . En déduire la limite de nIn.
n1 (n1)2
n1
EXERCICE N° 11:
x
2
Soit la fonction f définie sur IR par : f (x) = 
dt .
2
1

4
t
0
1°/ a) Justifier que f est dérivable sur IR.
b) Calculer f ’( x ) et en déduire le sens de variation de f.
c) Montrer que f est impaire.
1
1
2°/ a) Prouver que pour tout réel t ≥ 0:
≥
.
1  4t 2 1  2t
b) En déduire que lim f (x) = +  .
x  
3°/ a) Montrer que f est une bijection de IR sur IR.
b) Soit g la fonction réciproque de f.
Montrer que g est dérivable sur IR et que pour tout réel x, on a : g’(x) =
1
1  4( g ( x)) 2
2
EXERCICE N° 12 :
Soient les fonctions f : x  f(x) =
x3  x2  x  5
( x  1) 2
et g(x) = x +
x
x2 1
1°/ Tracer les courbes (Cf) et (Cg) dans un repère orthonormé (0 , i , j ). ( pour (Cg) préciser sa tangente en 0
et montrer que O est un point d’inflexion).
2°/ Soit  un nombre réel strictement supérieur à 1
a) On désigne par A l’aire de la partie du plan limité par les courbes (Cf) et (Cg) et les droites
4
d’équations respectives x = 3, x =  .( on pourra vérifier que f(x) = x + 1 +
)
( x  1) 2
b) Calculer lim A et lim A
  
 1
Série d’exercices : intégrales
Pour une bonne réussite
3
Dhahbi .A
EXERCICE N°2 :
u 2 1
1°/ déterminer les réels a , b et c tels que , pour tout réel u différent de 1 :
= au + b + c .
2u 1
2 2u 1
0 2
x 1
2°/ Calculer : 
dx .
2x1
1
0
cos3 x
 12sin x dx .
3°/ Calculer :

6
EXERCICE N° 4 :
1
Dans cette exercice , on se propose d’encadrer l’intégrale : K =
e
x
2
 1 x
dx .
0
1°/ En utilisant les variations de g ( x ) = e-x+ x + 1 et h ( x ) = 1 – x +
Démontrer que pour tout x [ 0 , 1 ] ,
x2
+ e-x sur l’intervalle [ 0 , 1 ] .
2
x2
(1)
2
pour x [ 0 , 1 ] puis montrer que , pour tout x [ 0 , 1 ]
1 – x  e-x  1 – x +
2°/ Déduire de 1°/ , un encadrement de e-x2
x 2
e
x4
-x 
 1–x +
(2)
1 x
2(1 x)
x4
= x3 – x 2 + x – 1 + 1 .
1 x
1 x
Log
2
1  K  5 +
.
2
24
2
3°/ a) Montrer que pour tout x [ 0 , 1 ] :
b) Déduire alors de (2) que :
EXERCICE N° 5 :

1°/ Soit l’intégrale K = e x cos(2x)dx à l’aide de deux intégrations par parties successives ,
0
e 1
.
5

montrer que : K =


2°/ Soit I = e cos xdx
x
et J =
2
e sin
x
2
xdx .
0
0
Calculer I + J et I – J. En déduire les valeurs de I et J.
3°/ Linéariser cos2x et sin2x .Retrouver directement les valeurs de I et J à l’aide de ce résultat et de la
première question .
EXERCICE N°4 :

4

 cos
On considère les intégrales suivantes : I =
4
dx
0
2
;
J =
x
 cosdx x
4
.
0
1°/ Quelle est la dérivée de la fonction x  tan (x). En déduire I.
2°/ Soit la fonction f : [0,  ]  IR ; x  sin 3x
4
cos x
.
a) Démontrer que f est dérivable sur [0,  ] et que pour tout x  [0,  ],
4
4
f ’( x ) =
3 - 2
cos 4 x cos 2 x
b) Déduire du calcul précédent une relation entre I et J, puis calculer J.
EXERCICE N°13 :
Soit la fonction f définie sur IR par : h( x ) = x2 e-x .
1
1°/ On pose K = h(x)dx . Montrer que K = 2 - 5 .
e
0
( Ind : on pourra utiliser une méthode d’intégration par partie ou chercher une primitive H de h sous la
forme H ( x ) = ( ax2 + bx + c ) e-x , ou a , b ,c sont des réels à déterminer ).
2)/ Soit f la fonction définie par f ( x ) =
1
.
1 x 2e x
1
On pose I =
 f(x)dx
( on ne cherchera pas à calculer I ) .
0
a) ♠ Montrer que pour tout x de l’intervalle [ 0 , 1 ] , 0  x2 e-x  1 .
♠ Vérifier que pour tout u de l’intervalle [ 0 , 1 ] ; 1 – u  1  1 - u .
1u
2
b) ♠ En déduire que : 1 – k  I  1 - k .
2
♠ Donner un encadrement de I d’amplitude égal à 0,01 .
Pour une bonne réussite
Signature : Dhahbi . A
Série d’exercices :calculs d’intégrals
5
Dhahbi .A