4éme Année * Section : Mathématiques

EXERCICE N°1 :
Calculer les intégrales ci-dessous :
1)
3
12)
11
(dx
x
x
x
; 2)
2
0
2)42( dxxx
f (x ) 3)
1
012x
dx
; 4)
1
22)
2
12( dx
x
x
5)
2
12
)12( 2dx x
; 6 )
2
122 )4( dx
xx
; 7)
3
22
2
)1( 2dx xxx
( Verifier que f (x ) =
2
)1( 1
1 x
)
8)
22)cos(
dxxx
; 9)
2
0sin2
cos
dx
x
x
; 10)
1
0223
2
)1( 23 dx xx xx
EXERCICE N° 2 :
Soit la fonction f définie sur IR\{2} par f ( x ) =
2
23
)2( 1020112 xxxx
.
1°/ Déterminer les réels a, b et c tel que f ( x ) = a x + b +
2
)2( xc
, pour x ≠ 2.
2°/ Calculer
1
02
23
)2( 1020112dx xxxx
.
EXERCICE N° 3:
Soit la fonction f définie sur IR\ {2} par f (x) =
3
)2( 12 xx
.
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (0,
i
,
j
).
1°/ Déterminer les réels a et b tel que pour tout x de IR \ {2}, f (x) =
32 )2()2( 
xb xa
pour x ≠ 2.
2°/ Calculer
1
12
)2( 12 dx xx
.
EXERCICE N° 4:
On considère la fonction f définie par f (x) =
2
2
11xx x
.
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( 0 ,
i
,
j
) .
1°/ a) Etudier les variations de f et construire sa courbe Cf . ( Préciser sa tangente en 0 ).
b) En déduire que pour tout réel t de [0, + [,
3
2
≤ f ( t ) ≤ 1.
2°/ a) En utilisant l’inégalité de la moyenne, montrer que pour tout réel x de [0, + [,
on a
3
2
x ≤ F ( x ) ≤ x . En déduire la limite de F en + .
b) Dresser le tableau de variation de F.
EXERCICE N° 5 :
1°/ Soit n  IN, In =
2
0
cos tdt
n
. Calculer I0; I1 et I2.
2°/ Démontrer la propriété suivante :  n  IN, In+2 =
2
1
n
n
In (1).
(Utiliser une intégration par partie déduite du calcul de la dérivée de : t cosnt sint).
3°/ En déduire que l’on a :  n  IN, I2n =
12
22)!( )!2(
n
x
nn
.
4°/ Démontrer à laide de (1) que le réel Un = (n + 1) In. In+1 est indépendant de n. Calculer ce nombre.
En déduire l’expression de I2n+1 en fonction de n.
Série d’exercices : Intégrales 1 Dhahbi . A
4éme Année * Section : Mathématiques
Série d’exercices
Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893
Intégrales

Série d’exercices 4éme Maths
EXERCICE N° 6 :
Soit la fonction f définie sur IR par : f (x) =
1
2
2
2
x
x
.
1°/ a) Dresser le tableau de variation de la fonction f et tracer sa courbe représentative ( C ) dans le plan
rapporté à un repère orthonormé (O,
i
,
j
).
b) Montrer que l’équation f ( x ) = x admet dans IR une solution unique α telle que : 1   
2
3
.
2°/ On appelle g la restriction de f à IR+.
a) Montrer que g admet une fonction réciproque g -1 définie dans ]1,2]
b) Ecrire l’expression de g-1(x) pour x appartient à ]1,2].
c) Tracer la courbe (C’) de g-1 dans le repère orthonormé (O,
i
,
j
).
3°/ Soit φ la fonction définie sur [0,
4
] par : φ (x) =
xdttf
tan
0
)(
.
a) Montrer que φ est dérivable sur [0,
4
] et que φ’ ( x ) = tan2x + 2 .En déduire alors φ (x).
c) En déduire l’aire A du domaine limité par la courbe (C) et les droites d’équations respectives :
x = 0 , x = 1 et y = 1 .
EXERCICE N° 7 :
1°/ Pour tout entier naturel n , on considère la suite In =
1
01dx
x
xn
.
a) Montrer que pour tout x [0, 1] et tout entier naturel n : 0
x
xn
1
xn.
b) En déduire 0 In
1
1
n
. Que peut on en conclure pour In ?
2°/ Justifier, pour tout entier naturel, l’existence de l’intégrale Un =
1
02
12
1dx x
xn
.
a) Démontrer que, pour tout entier naturel, on a : 0 Un et Un+1 + Un =
)1(2 1 n
.
b) Etudier les variations de la suite Un.
c) Démontrer que, pour tout entier naturel, on a : 0 Un
)1(2 1 n
.Que peut-on déduire pour Un ?
EXERCICE N° 8:
1°/ Soit la fonction f définie sur]0, + [par f(x) = - 1 +
xx
x
2
1
2
.
Etudier les variations de f. En déduire que pour tout x de]0, + [, on a : f(x) > 0.
2°/ Soit g la fonction définie sur [0, + [par g(x) =
xx 2
2
- x +1.
Montrer que g est strictement croissante sur [0, + [
3°/ Soit G la fonction g définie sur [0, + [par G(x) =
xdttgt
0
)(.
.
a) Montrer que G est dérivable sur [0, + [ et calculer G’(x) pour tout x de [0, + [.
b) Montrer que, pour tout x de [0, + [, on a : G(x) ≥
2
2
x
.
c) En déduire
x
lim
G(x) et
x
lim
xxG )(
.
d) Dresser le tableau de variation de la fonction G et donner l allure de la courbe de G représentative (C)
dans un repère orthonormé (O,
i
,
j
).
Série d’exercices : Intégrales 2 Dhahbi . A

Série d’exercices 4éme Maths
EXERCICE N° 9 :
Soit n  IN, Un =
1
0
)
2
cos( dxxxn
.
1°/ Prouver que pour tout n  IN: Un 0.
2°/ a) Prouver que Un est une suite décroissante.
b) Montrer que Un est convergente.
3°/ a) Prouver que  x  [0,1], 0  xn cos(
)
2x
 xn .
b) En déduire que  n  IN, on a : 0  Un 
1
1
n
.
c) Déterminer:
n
lim
Un
EXERCICE N°10:
L’objet de cette exercice est d’étudier la suite In définie par : I0 =
1
0
1dtt
et In =
1
0
1dtttn
, n  IN.
1°/ Calculer I0 et intégrer par partie pour calculer I1.
2°/ Comparer tn et t n+1 lorsque 0  t  1; en déduire que : In+1  In.
3°/ Grâce à un encadrement de
t1
établir que :
1
1
n
 In 
1
2
n
.
4°/ Montrer que , pour tout t de [ 0 , 1 ] ; 0 
2
-
t1
)1(
2
1t
.
En déduire que :
1
2
n
-
2
)1( 1 n
 In 
1
2
n
. En déduire la limite de nIn.
EXERCICE N° 11:
Soit la fonction f définie sur IR par : f (x) =
xdt
t
02
41
2
.
1°/ a) Justifier que f est dérivable sur IR.
b) Calculer f ’( x ) et en déduire le sens de variation de f.
c) Montrer que f est impaire.
2°/ a) Prouver que pour tout réel t ≥ 0:
2
41
1
t
≥
t21 1
.
b) En déduire que
x
lim
f (x) = + .
3°/ a) Montrer que f est une bijection de IR sur IR.
b) Soit g la fonction réciproque de f.
Montrer que g est dérivable sur IR et que pour tout réel x, on a : g’(x) =
2
))((41
2
1xg
EXERCICE N° 12 :
Soient les fonctions f : x f(x) =
2
23
)1( 5 xxxx
et g(x) = x +
1
2x
x
1°/ Tracer les courbes (Cf) et (Cg) dans un repère orthonormé (0 ,
i
,
j
). ( pour (Cg) préciser sa tangente en 0
et montrer que O est un point d’inflexion).
2°/ Soit un nombre réel strictement supérieur à 1
a) On désigne par
A
l’aire de la partie du plan limité par les courbes (Cf) et (Cg) et les droites
d’équations respectives x = 3, x = .( on pourra vérifier que f(x) = x + 1 +
2
)1( 4 x
)
b) Calculer
lim
A
et
1
lim
A
Pour une bonne réussite
Série d’exercices : intégrales 3 Dhahbi .A

EXERCICE N°2 :
1°/ déterminer les réels a , b et c tels que , pour tout réel u différent de
2
1
:
12 1
2
u
u
= au + b +
12 u
c
.
2°/ Calculer :
0
1
2
12 1dx x
x
.
3°/ Calculer :
0
6
3
sin21cos
dx
x
x
.
EXERCICE N° 4 :
Dans cette exercice , on se propose d’encadrer l’intégrale : K =
1
01
2
dx
x
ex
.
1°/ En utilisant les variations de g ( x ) = e-x+ x + 1 et h ( x ) = 1 – x +
2
2
x
+ e-x sur l’intervalle [ 0 , 1 ] .
Démontrer que pour tout x [ 0 , 1 ] , 1 – x  e-x  1 – x +
2
2
x
(1)
2°/ Déduire de 1°/ , un encadrement de e-x2 pour x [ 0 , 1 ] puis montrer que , pour tout x [ 0 , 1 ]
- x 
x
ex
1
2
 1 – x +
)1(2
4
x
x
(2)
3°/ a) Montrer que pour tout x [ 0 , 1 ] :
x
x
1
4
= x3 – x2 + x – 1 +
x11
.
b) Déduire alors de (2) que :
2
1
 K 
24
5
+
22Log
.
EXERCICE N° 5 :
1°/ Soit l’intégrale K =
0
)2cos( dxxex
à l’aide de deux intégrations par parties successives ,
montrer que : K =
51
e
.
2°/ Soit I =
0
2
cos xdxex
et J =
0
2
sin xdxex
.
Calculer I + J et I – J. En déduire les valeurs de I et J.
3°/ Linéariser cos2x et sin2x .Retrouver directement les valeurs de I et J à l’aide de ce résultat et de la
première question .
EXERCICE N°4 :
On considère les intégrales suivantes : I =
4
02
cos x
dx
; J =
4
04
cos x
dx
.
1°/ Quelle est la dérivée de la fonction x tan (x). En déduire I.
2°/ Soit la fonction f : [0,
4
] IR ; x
x
x
3
cos
sin
.
a) Démontrer que f est dérivable sur [0,
4
] et que pour tout x  [0,
4
], f ’( x ) =
x
4
cos
3
-
x
2
cos
2
b) Déduire du calcul précédent une relation entre I et J, puis calculer J.
EXERCICE N°13 :
Soit la fonction f définie sur IR par : h( x ) = x2 e-x .
1°/ On pose K =
1
0
)( dxxh
. Montrer que K = 2 -
e
5
.
( Ind : on pourra utiliser une méthode d’intégration par partie ou chercher une primitive H de h sous la
forme H ( x ) = ( ax2 + bx + c ) e-x , ou a , b ,c sont des réels à déterminer ).

2)/ Soit f la fonction définie par f ( x ) =
x
ex  2 11
.
On pose I =
1
0
)( dxxf
( on ne cherchera pas à calculer I ) .
a) ♠ Montrer que pour tout x de l’intervalle [ 0 , 1 ] , 0  x2 e-x  1 .
♠ Vérifier que pour tout u de l’intervalle [ 0 , 1 ] ; 1 – u 
u11
 1 -
2
u
.
b) ♠ En déduire que : 1 – k  I  1 -
2
k
.
♠ Donner un encadrement de I d’amplitude égal à 0,01 .
Pour une bonne réussite
Signature : Dhahbi . A
Série d’exercices :calculs d’intégrals 5 Dhahbi .A