1. Mathématiques
  2. Trigonométrie

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Brest
mercredi 13 f´
evrier 2008
Compte rendu de l’atelier
dessin lors du Colloque
IREM de Brest 2008
Eric Rannou
Φ = 1 + √5
2
Texte de pr´
esentation de l’activit´
e
Deux heures consacr´
ees `
a dessiner des pentagones r´
eguliers tous azimuts, voil`
a ce qui
vous attend dans cet atelier. Apr`
es en avoir trac´
e individuellement `
a la r`
egle et au compas,
les pentagones r´
eguliers seront assembl´
es pour former diff´
erentes figures g´
eom´
etriques
chatoyantes.
Comme aucun pr´
erequis math´
ematiques n’est n´
ecessaire pour utiliser un compas, cette
activit´
e math´
ematique largement sous-tendue par un simple plaisir graphique est ouverte
`
a tous.
Mais bien sˆ
ur qu’il faut amener son compas, sa r`
egle et ses crayons de couleur !
Plan de l’activit´
e
•En pr´
eambule, quelques manipulations alg´
ebriques afin de d´
eterminer les valeurs
des cosinus et sinus des angles de mesure 2π/5et 4π/5.
•Dessin d’objets bidimensionnels. Trois m´
ethodes de dessin de pentagones r´
eguliers.
•Dessin d’objets tridimensionnels. Trois dessins de deux et mˆ
eme trois poly`
edres
r´
eguliers admettant des axes d’ordre 5.
D´
etermination des cosinus et sinus des angles de mesures 2π/5et 4π/5:
Soit z=eiθ = cos θ+isin θun nombre complexe de module 1mais distinct de 1. Un tel
point v´
erifie 1/z =z.
z5−1
z−1=z4+z3+z2+z+ 1
=z2(z2+z+1+z+z2)
=z2(z+z)2−2zz + (z+z)−1
=z2(2 cos θ)2−2 + 2 cos θ−1
=z2(2 cos θ)2+ 2 cos θ−1.
Soit ω=ei2π
5= cos 2π
5+isin 2π
5. Pour tout kentier, soit Mkle point d’affixe wk. Les
pentagones M0M1M2M3M4et M0M2M4M1M3sont r´
eguliers, convexe pour le premier
et ´
etoil´
e pour le second.
En utilisant, pour k´
egal `
a1ou 2, que (ωk)5=ei2kπ
55
=ei2kπ = 1 et que ωkn’est ni 1
ni 0,2 cos 2π/5et 2 cos 4π/5sont racines du polynˆ
ome X2+X−1.
Or le discriminant vaut ∆ = 12+ 4 ×1×1 = 5. Les deux racines sont oppos´
ees au signe
pr`
es l’une de l’autre en effet leur produit vaut −1. Les racines sont −Φ = −1−√5
2et
1
Φ=−1 + √5
2o`
uΦd´
esigne le nombre d’or.
Puisque 2π/5est compris entre 0et π/2, ses cosinus et sinus sont positifs donc :
cos 2π/5 = −1 + √5
4et sin 2π/5 = p1−cos22π/5 = q10 + 2√5
4.
De mˆ
eme en remarquant que 4π/5est compris entre π/2et π, son cosinus est n´
egatif
tandis que son sinus est positif, donc :
cos 4π/5 = −1−√5
4et sin 4π/5 = p1−cos24π/5 = q10 −2√5
4.
Maintenant que ces valeurs de cosinus, surtout, et de sinus sont ´
etablies, il devient possible
de construire simplement des pentagones r´
eguliers `
a la r`
egle et au compas. La clef qui
y conduit est g´
en´
eralement constitu´
ee par un triangle rectangle de cˆ
ot´
e adjacent `
a l’angle
droit en rapport 1pour 2. L’hypoth´
enuse est alors √5fois la longueur du plus court des
cˆ
ot´
es. La voie du cosinus est ouverte !
Premi`
ere m´
ethode de construction de pentagones r´
eguliers :
Pour ne pas alourdir les figures de construction
de pentagones, seule la version ´
etoil´
ee sera trac´
ee.
Toutes les constructions seront effectu´
ees dans un
rep`
ere orthonorm´
e et inscrites dans le cercle unit´
e.
Le point de coordonn´
ees (1,0) sera toujours pris
comme l’un des sommets du pentagone.
Le calcul des cosinus des angles 2π/5et 4π/5
montrent que les points de l’axe des abscisses de
coordonn´
ees ces deux cosinus sont diam´
etralement
oppos´
es sur le cercle de centre de coordonn´
ees
(1/4,0) et de rayon √5/4. Or ce cercle passe par
le point de coordonn´
ees (0,1/2) (triangle rectan-
gle de cˆ
ot´
es adjacents `
a l’angle droit de longueur
1/4et 1/2). Il suffit alors de r´
ecup´
erer les som-
mets du pentagone `
a partir de leur projection sur
l’axe des abscisses.
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Le triangle rectangle clef est cette fois de som-
mets l’origine et les points de coordonn´
ees re-
spectivement (0,1/2) et (−1,0). Il suffit tracer
deux cercles particuliers, tangents et centr´
es sur
ces points pour d´
eterminer deux des quatre som-
mets manquants du pentagone.
Le cercle de centre de coordonn´
ees respective-
ment (0,1/2) et passant par l’origine a pour rayon
1/2. Ce cercle coupe le segment joignant les deux
centres (0,1/2) et (−1,0) en un point. Ce point
se trouve donc `
a une distance √5−1
2de (−1,0).
C’est le cas aussi de deux des sommets du pen-
tagone r´
egulier. En effet :
cos 4π/5−(−1)2
+sin 4π/5−02
=−1−√5
4+ 12
+q10 −2√5
42
cos 4π/5−(−1)2
+sin 4π/5−02
=9+5−6√5 + 10 −2√5
16
=24 −8√5
16 =6−2√5
4
=5+1−2√5
4=√5−1
22
Comme la construction est sym´
etrique par rapport `
a l’axe des abscisses, la mˆ
eme propri´
et´
e
vaut pour le sommet du pentagone de coordonn´
ees (cos 6π/5,sin 6π/5) = (cos 4π/5,
−sin 4π/5).
Maintenant que la longueur du pentagone est connue, les deux sommets manquants se
d´
eduisent par simple report de cette longueur.
Cette construction est dans la pratique tr`
es instable et exige beaucoup de soins pour par-
venir `
a un dessin harmonieux. L’exactitude du trac´
e peut ˆ
etre tester bien sˆ
ur en recher-
chant les irr´
egularit´
es dans le pentagone mais aussi en sachant que les droites (M2M4),
(M1M3)et l’axe des abscisses sont concourantes en un point du cercle de centre de coor-
donn´
ees (−1,0) et de rayon √5−1
2.
Troisi`
eme m´
ethode de construction de pentagones r´
eguliers :
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Cette m´
ethode est particuli`
erement effi-
cace pour dessiner le pentagone r´
egulier.
Sa stabilit´
e permet d’obtenir facilement de
bons trac´
es.
Le triangle clef est ici de sommets l’origine
et les points de coordonn´
ees (0,1/2) et
(1,0). La m´
ethode repose sur le fait que
la bissectrice au sommet de coordonn´
ees
(0,1/2) coupe l’axe des abscisses au point
de coordonn´
ees (cos 2π/5,0). En effet :
La bissectrice a comme direction le vecteur
de coordonn´
ees (1,−1/2) + (0,−√5/2)
(diagonale d’un losange de construction).
Puisque qu’elle passe par le point de co-
ordonn´
ees (0,1/2), elle a pour ´
equation
(√5 + 1)x+ 2y= 1. D’o`
u le r´
esultat
annonc´
e.
Dessins de poly`
edres r´
eguliers :
Deux poly`
edres r´
eguliers convexes admettent des axes d’ordre 5donc des sym´
etries pen-
tagonales : le dod´
eca`
edre qui a 12 faces pentagonales et l’icosa`
edre qui lui a 20 faces
triangulaires. L’activit´
e s’´
etait fix´
e comme but de dessiner ces deux objets avec de la craie
de couleur au tableau traditionnel et avec des crayons de couleur sur des feuilles de papier.
Le choix de la projection :
Les supports recevant les futurs dessins ´
etant bidimensionnels contrairement aux objets
qui sont tridimensionnels, il ´
etait n´
ecessaire d’opter pour une projection particuli`
ere de
l’espace sur le plan. L’activit´
e ayant un caract`
ere vieillot `
a l’heure des ordinateurs,
la carte de la d´
esu´
etude s’imposait. Durant la seconde partie XIX`
eme si`
ecle, la pres-
tigieuse Zeitschrift f¨
ur Krystallographie comportait des myriades de magnifiques dessins
de poly`
edres. La plupart d’entre-eux furent r´
ealis´
es en projection qualifi´
ee ci-dessous
de Naumann du nom d’un des ´
editeurs en chef de la Zeitschrift qui a impos´
e l’usage de
cette projection. Les raisons de ce choix ne sont pas des plus claires. Elles diff`
erent
suivant les auteurs. Certains mˆ
eme la rejet`
erent lui pr´
ef´
erant une projection orthogonale.
Ce dernier type de projection s’est substitu´
e`
a la projection de Naumann d´
ebut XX`
eme
comme cons´
equence de l’av`
enement de m´
ethodes de dessin bien plus puissantes, cf. Ran-
nou E., Dessiner les cristaux sans ordinateur mais avec r`
egle et compas ! Projection
st´
er´
eographique et direction des arˆ
etes, Taol Lagad Hors-s´
erie N◦1, IREM de Brest,
2007.
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~a ~
b
~c
Les projet´
es de Naumann des trois vecteurs d’une base
orthonorm´
ee de l’espace dans une base orthonorm´
ee (~ı,~)
du plan sont respectivement ~a =−1
3~ı −1
9~,~
b=~ı −1
27~et
~c =√10
3~. Une construction g´
eom´
etrique simple permet
de r´
ealiser ses images dans le plan. Dans la pratique, des
r`
egles sp´
eciales ´
etaient utilis´
ees pour acc´
el´
erer le dessin
et limiter les multiples reports cause d’impr´
ecisions
d´
el´
et`
eres, cf. par exemple Tutton A.E.H., Crystal-
lography and Practical Crystal Measurement Vo-
lume I, Macmillan & Co., limited, London 1922,
p. 400-401. Lors de l’animation une telle r`
egle en papier ´
epais a ´
et´
e distribu´
ee. Son
dessin figure page suivante. Elle permet un report ais´
e des coordonn´
ees.
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