Vecteurs et applications linéaires - Académie de Nancy-Metz

Vecteurs et applications linéaires
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Vecteurs et applications linéaires
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1
Applications linéaires dans les espaces Rn
2
Sous-espaces vectoriels et applications linéaires
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Plan
1
Applications linéaires dans les espaces Rn
2
Sous-espaces vectoriels et applications linéaires
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Définition
Soit A une matrice de taille (n, m). Pour tout vecteur X de Rm vu comme
une matrice colonne, le produit AX est une matrice colonne de taille n,
donc un vecteur de Rn . Ainsi, on peut définir grâce à A une application
(une fonction) définie par fA (X ) = AX . Plus précisément
fA :
Rm −→ Rn
X → Y = AX
On dit que fA est l’application linéaire associée à A.
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Proposition
L’application linéaire fA vérifie
1
∀X1 , X2 ∈ Rm , fA (X1 + X2 ) = fA (X1 ) + fA (X2 )
2
∀X ∈ Rm , λ ∈ R, fA (λX ) = λfA (X )
Ces deux propriétés (qui sont évidentes grâce aux propriétés des matrices)
sont les propriétés fondamentales des applications linéaires.
1 2 2
Exemple: Soit A =
. L’application linéaire associée à A est
3 −2 1
3
2
 R −→ R
x
fA :  
x + 2y + 2z
y
→
3x − 2y − z
z
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Définition générale
Définition
Une application f de Rm dans Rn est dite linéaire si elle vérifie les deux
propriétés :
1
∀X1 , X2 ∈ Rm , f (X1 + X2 ) = f (X1 ) + f (X2 )
2
∀X ∈ Rm , ∀λ ∈ R, f (λX ) = λf (X )
Remarque: on peut condenser (1) − (2) en : ∀X1 , X2 ∈ Rm , ∀λ ∈ R,
f (λX1 + X2 ) = λf (X1 ) + f (X2 ).
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Théorème
Si f : Rm Rn est une application linéaire, alors il existe une unique matrice
A de taille (n, m) telle que, pour tout X ∈ Rm , f (X ) = AX . Cette matrice
A est appelée la matrice de l’application linéaire f dans les bases
canoniques.
Ce théorème signifie que, dans les espaces Rm , il n’y a pas d’autres
applications linéaires que celles créées par les matrice. Toutes les propriétés
qu’on va voir vont découler des propriétés des matrices. On verra plus
tard, dans des espaces vectoriels plus généraux, d’autres types
d’applications linéaires.
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Proposition
Soient f , g deux applications linéaires de Rm dans Rn de matrice A et B
dans les bases canoniques. Soit λ un réel. Alors les applications f + g et
λf sont des applications linéaires, et leurs matrices dans les bases
canoniques sont A + B et λA respectivement.
Proposition
Les colonnes de la matrices A sont les images par f des vecteurs de la base
canonique de Rm . C’est-à-dire : la première colonne de A est f (1, 0, 0 . . . ),
la deuxième colonne de A est f (0, 1, 0, . . . ), ... et la dernière colonne est
f (0, . . . , 0, 1).
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Composition et inverse
Théorème
Soient f Rn → Rm et g : Rp → Rn deux applications linéaires de matrices
A et B dans les bases canoniques. Alors l’application composée
f ◦ g : Rp → Rm définie par ∀X ∈ Rp , f ◦ g (X ) = f (g (X )) est linéaire et
sa matrice est le produit AB (dans cet ordre ! !).
Démonstration. Pour tout X ∈ Rp , on a g (X ) = BX et pour tout
Y ∈ Rn , on a f (Y ) = AY . Comme g (X ) ∈ Rn , on prend Y = g (X ) et on
remplace : f (g (X )) = Ag (X ) = A(BX ) = (AB)X .
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Théorème
Soit f : Rn → Rn une application linéaire de matrice A telle que f soit
bijective. C’est à dire que f admet une application réciproque f (−1) définie
par
∀X ∈ Rn , f (X ) = Y ⇔ X = f (−1) (Y ).
Alors, l’application f (−1) est aussi linéaire. De plus, la matrice A est
inversible et A−1 est la matrice de f (−1) dans les bases canoniques.
Remarque: Si on connait A la matrice de f et que A est inversible, alors f
est bijective et calculer A−1 permet de trouver f (−1) .
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Exemple: Soit f l’application linéaire de matrice A =
1 1
, c’est à
−1 0
dire que f : R2 → R2 est défini par
x
x
1 1
x
x +y
∀
∈ R2 , f
=
=
y
y
−1 0
y
−x
La matrice A est inversible et son inverse est
A−1
0 −1
=
. Donc f est
1 1
bijective et f (−1) : R2 → R2 est défini par
x
0 −1
x
−y
2
(−1) x
∀
∈R , f
=
=
y
y
1 1
y
x +y
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Système d’équations linéaire
Soit S un système d’équation linéaire s’écrivant sous la forme AX = B. La
matrice A de taille (n, m) des coefficients du système est aussi la matrice
d’une application linéaire f : Rn → Rm . Ainsi
AX = B ⇔ f (X ) = B
Résoudre le système est équivalent à rechercher les antécédents du vecteur
B par l’application f .
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Bases et applications linéaires
Par définition, les applications linéaires sont définies en base canonique de
manière implicite. Mais il peut être utile de changer de base pour simplifier
les calculs ou obtenir des propriétés particulières.
Soit f : Rn → Rm de matrice A dans les bases canoniques. On va exprimer
f en changeant les bases de l’espace de départ et de l’espace d’arrivée (qui
ne sont pas les mêmes). On considère donc deux bases :
une base Bn de l’espace de départ Rn . Cette base a une matrice de
passage Q de taille (n, n). Tout vecteur X de Rn a pour nouvelles
coordonnées Y 0 dans la base Bn , avec X = QX 0 .
une base Bm de l’espace d’arrivée Rm . Cette base a une matrice de
passage P de taille (m, m). Tout vecteur Y de Rm a pour nouvelles
coordonnées Y 0 dans la base Bn , avec Y = PY 0 .
On reporte dans f en écriture matricielle : Y = f (X ) s’écrit alors
Y = AX ⇔ PY 0 = AQX 0 ⇔ Y 0 = P −1 AQX 0
ce qui donne le théorème suivant :
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Théorème
Soit f : Rn → Rm défini par f (X ) = AX de matrice A. Soient une base Bn
de l’espace de départ Rn (matrice Q) et une base Bm de l’espace d’arrivée
Rm (matrice P). Alors, les coordonnées Y 0 de f (X ) calculées dans la base
Bm se calculent par Y 0 = A0 X 0 avec
A0 = P −1 AQ
et X 0 les coordonnées de X en base Bn .
Remarque:
A0 a le même format que A.
Si l’espace d’arrivée et l’espace de départ sont les mêmes, on peut
choisir de prendre la même base pour l’arrivée et le départ, ou alors
deux bases différentes du même espace.
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1 2
. On
0 −1
2
considère la base B = ((1, 0), (−1,1)) de R
pour l’arrivée et le départ. Sa
1 −1
matrice de passage est donc P =
= Q. Soit le vecteur
0 1
0
x
x
X =
en base canonique et X 0 =
ses coordonnées en base B.
y
y0
Alors Y = f (X ) calculé en base B est
0 0
1 1
1 2
1 −1
x
1 0
x
Y 0 = P −1 APX 0 =
=
0 1
0 −1
0 1
y0
0 −1
y0
Exemple: Soit f l’application linéaire de matrice A =
=
x0
−y 0
On verra plus tard qu’il s’agit donc d’une symétrie par rapport à l’axe D
de vecteur directeur (1, 0), parallèlement à l’axe D 0 de vecteur directeur
(−1, 1)
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Définition
Deux matrices A et B de même format (n, m) sont dites équivalentes s’il
existe P une matrice carrée inversible de taille m et Q une matrice carrée
inversible de taille n telles que
A0 = P −1 AQ
Remarque: Deux matrices équivalentes signifient qu’elles sont les matrices
de la même application linéaires, mais en considérant des bases différentes.
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Plan
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Applications linéaires dans les espaces Rn
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Sous-espaces vectoriels et applications linéaires
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Noyau et Image
Proposition
Soit f : Rm → Rn une application linéaire.
Si E est un sous-espace vectoriel du départ Rm , alors l’image
G = f (E ) défini par
G = f (E ) = {Y = f (X ),
avec X ∈ E }
est un sous-espace vectoriel de l’arrivée Rn . L’image d’un s.e.v par
une application linéaire est un s.e.v.
Si E 0 est un sous-espace vectoriel de l’arrivée Rn , alors l’image
réciproqueG 0 = f −1 (E 0 ) défini par
G 0 = f −1 (E 0 ) = {X ∈ Rm ,
∃Y ∈ E 0 , Y = f (X )}
est un sous-espace vectoriel du départ Rm . L’image réciproque d’un
s.e.v par une application linéaire est un s.e.v.
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Il existe deux sous-espace vectoriel particulier pour une application
linéaire : l’image de tout et l’image réciproque du vecteur nul.
Définition
Soit f : Rm → Rn une application linéaire.
L’image f (Rm ) de Rm par f est appelée image de f et est notée Im f :
Im f = {Y = f (X ),
avec X ∈ Rm }
En particulier, Im f est un s.e.v de Rn .
L’image réciproque de {O} par f s’appelle le noyau de f . On le note
Ker f :
Ker f = {X ∈ Rm |f (X ) = O}
En particulier, Ker f est un s.e.v de Rm .
Remarque: Le noyau et l’image contiennent chacun le vecteur nul (de la
bonne taille).
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Technique: Pour rédiger la recherche d’un noyau ou d’une image, voilà les
débuts de rédaction obligatoire :
(Noyau) Soit X ∈ Rm (départ). On a :
X ∈ Ker f si, et seulement si, f (X ) = O (vecteur nul de taille n).
Puis on résoud l’équation pour trouver toutes les solutions X . Ces
solutions forment Ker f .
(Image) Soit Y ∈ Rn (arrivée). On a :
Y ∈ Im f si, et seulement si, il existe X ∈ Rn tel que f (X ) = Y .
Et on cherche à résoudre l’équation. Mais attention, ce n’est pas les
solutions X qu’on veut ! ! Ce qu’on veut savoir, ce sont les
conditions sur Y pour avoir des solutions. (équations auxiliaires....).
Les Y vérifiant ces conditions forment alors Im f .
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Comme Im f est un s.e.v de Rn et Ker f est un s.e.v de Rm , ils ont chacun
une dimension. Ces dimensions sont reliées par une formule.
Théorème
formule du rang
dim Im f + dim Ker f = dim( départ )
Remarque: Ce qu’on appelle le rang de f , c’est le nombre dim Im f .
Exemple: Déterminer l’image et le noyau de l’application linéaire
f :
R2 → R3 .
(x, y ) 7→ (x + y , x − y , 2x − 3y )
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injectives, surjectives, bijectives
Définition
Soit f : Rm → Rn une application linéaire. On dit que f est :
injective si tout élément de l’ensemble d’arrivée Rn admet au plus un
antécédent par f , autrement dit, si et seulement si
∀X1 , X2 ∈ Rm , f (X1 ) = f (X2 ) ⇒ X1 = X2 .
surjective si tout élément de l’ensemble Rn admet au moins un
antécédent par f , autrement dit, si et seulement si
∀Y ∈ Rn , ∃X ∈ Rm , f (X ) = Y .
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Définition
bijective si f est à la fois injective et surjective, c’est-à-dire si tout
élément de l’ensemble Rn admet exactement un antécédent par f ,
autrement dit, si et seulement si
∃ !X ∈ Rm
∀Y ∈ Rn ,
, fX ) = Y .
il existe un unique Remarque: Si f est bijective, alors elle admet une application réciproque
f (−1) : Rn → Rm . De plus f −1 la bijection réciproque de f vérifie
f ◦ f −1 (Y ) = Y pour tout Y ∈ Rn et f −1 ◦ f (X ) = X pour tout X ∈ Rm .
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Proposition
Soit f : Rm → Rn une application linéaire.
1
f est injective si et seulement si Ker f = {Om }.
2
f est surjective si et seulement si Im f = Rn .
3
f est bijective si et seulement si Ker f = {OE } et Im f = Rn .
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La proposition précédente est valable pour des espaces vectoriels plus
généraux. Quand on est dans les espaces Rn , on a même beaucoup plus
simple en étudiant les dimensions.
Proposition
Soit f : Rm → Rn une application linéaire.
1
f est injective si et seulement si dim Ker f = 0.
2
f est surjective si et seulement si dim Im f = n.
3
Dans le cas où n = m, alors on a les équivalences suivantes : f est
bijective ⇔ f est injective ⇔ f est surjective.
Démonstration. La dernière propriétés vient du théorème du rang. Dans
le cas n = m, on sait que dim Ker f + dim Im f = n. Donc quand
dim Im f = n alors dim Ker f = 0 et réciproquement. Donc surjectif
entraine injectif, donc bijectif, et inversement.
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