Vecteurs et applications linéaires - Académie de Nancy-Metz

Vecteurs et applications lin´eaires
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1Applications lin´eaires dans les espaces Rn
2Sous-espaces vectoriels et applications lin´eaires
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Plan
1Applications lin´eaires dans les espaces Rn
2Sous-espaces vectoriels et applications lin´eaires
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D´efinition
Soit A une matrice de taille (n,m). Pour tout vecteur X de Rmvu comme
une matrice colonne, le produit AX est une matrice colonne de taille n,
donc un vecteur de Rn. Ainsi, on peut d´efinir grˆace `a A une application
(une fonction) d´efinie par fA(X) = AX . Plus pr´ecis´ement
fA:Rm−→ Rn
X→Y=AX
On dit que fAest l’application lin´eaire associ´ee `a A.
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Proposition
L’application lin´eaire fAv´erifie
1∀X1,X2∈Rm, fA(X1+X2) = fA(X1) + fA(X2)
2∀X∈Rm, λ ∈R, fA(λX) = λfA(X)
Ces deux propri´et´es (qui sont ´evidentes grˆace aux propri´et´es des matrices)
sont les propri´et´es fondamentales des applications lin´eaires.
Exemple: Soit A=122
3−2 1. L’application lin´eaire associ´ee `a Aest
fA:
R3−→ R2
x
y
z
→x+ 2y+ 2z
3x−2y−z
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