Conservatoire National des Arts et Métiers

Conservatoire National des Arts et Métiers
Service de Physique dans ses rapports avec l'industrie
PHR 101
"Principes et outils pour l'analyse et la mesure"
LA ROTATION – LA VIBRATION
ET
L'ENERGIE MOLECULAIRE
N. FOURATI_ENNOURI

Leçon n°3 PHR 101
2 N. FOURATI_ENNOURI
La Rotation, la vibration et l'énergie moléculaire
1. Rappels de mécanique
1.1. Centre de masse
Soit un système de points matériels Mi de masse mi et de rayon vecteur ii r OM=
 (Figure 1).
M1
M4
Mi
M2
M3
r1
r3
r2
ri
r4
O
Figure. 1
Le centre de masse est le point G défini par :
iii
i
ii
i
i
mOM mr
OG mM ==
∑∑
∑
 [4.1]
où M est la masse totale du système.
A partir de [4.1], on peut déduire la relation :
ii
imGM 0
→→
=
∑ [4.2]
En effet :
i
ii i ii
ii i
MOG m OM m (OM OG) 0 m GM 0
→→
=⇒−=⇒=
∑∑ ∑

Leçon n°3 PHR 101
3 N. FOURATI_ENNOURI
Exemple : Trouver le centre de gravité de trois masses alignées,
m1 = 2m ; m2 = 3m et m3 = m, situées respectivement à
1m ; 6m et 10m d’une origine O.
Réponse
G peut être déterminé à partir de la relation [4.1], on a donc :
iii
i12 3
12 3
ii
i123
i
123
mOM mr mOM mOM mOM
OG mM mmm
2mOM 3mOM mOM
OG 2m 3m m
++
==⇒ ⇒
++
++
=++
∑∑
∑
Les vecteurs i
OM
 sont colinéaires et ont le même sens par conséquent :
123
2m OM 3m OM m OM
OG 2m 3m m
++
=++
Application numérique : 2136110 30
OG 5m
231 6
×+× +×
===
++
1.2. Le moment d’inertie
Soit un système composé de deux particules m1 et m2 reliées entre elles par une tige de masse
négligeable. L'ensemble est en rotation à une vitesse angulaire ω (en rad/s) autour d'un axe situé à une
distance r1 de m1 et r2 de m2 (Figure 2).
Figure 2
O
2 m 3 m m

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En rotation, c'est le moment d'inertie I qui représente la mesure de l'opposition qu'offre ce système à
voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe.
L'expression du moment d'inertie du système est donnée par la relation :
I m r m r
22
11 22
=+ [4.3]
Son unité est le kg.m².
Cette expression met en évidence l'importance qu'a la distribution de la masse autour de l'axe de
rotation. Ainsi, plus la masse est proche de l'axe de rotation, plus l'inertie de rotation (le moment
d'inertie) sera petite (et vice-versa bien sûr). De façon plus générale, pour un système composé
de n particules (masses ponctuelles), le moment d'inertie est donné par :
i
I m r m r m r ... m r
222 2
ii 11 22 nn
==+++
∑ [4.4]
Dans cette expression, mi représente la masse de la ième particule et ri le rayon de la trajectoire
circulaire qu'elle décrit lorsque le système est en rotation.
1.3. Vecteur moment cinétique
Dans le cas des rotations, la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité de
mouvement est le vecteur moment cinétique (ou moment angulaire) L
1) Dans le cas d'un objet ponctuel : le moment cinétique se définit par :
Lrp
=
∧
[4.5]
r
 étant vecteur position du point par rapport à une origine qu'il faut spécifier et p  sa quantité de
mouvement.
L
 est donc un vecteur perpendiculaire au plan formé par r
et p . Sa grandeur, ou norme, est :
Lrpsin
=
××θ
 [4.6]
θ est l'angle entre r
 et p
.

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2) Dans le cas d'un solide:
Le moment cinétique total d'un solide en rotation est donné par la somme vectorielle des
moments angulaires de tous les points qui constituent le solide :
iii
ii
LL rp
=
=∧
∑
∑
 [4.7]
La direction du vecteur L
 coïncide dans ce cas avec l'axe de rotation si celui-ci est un axe de
symétrie du solide.
2. La rotation de la molécule
2.1. L'atome en mouvement circulaire uniforme
En mécanique classique l'énergie cinétique Ec de cet atome est :
2
c1
Emv
2
= [4.8]
L’énergie cinétique varie continûment avec la vitesse v.
Rappelons l’expression de la vitesse en coordonnées polaires :
r
vruru
θ
=+ω
 [4.9]
ω vitesse angulaire de l'atome (rad.s-1).
Figure 3
Atome en mouvement circulaire
uniforme autour du point o.
Soit un atome de masse m se déplaçant sur une
trajectoire circulaire de rayon r constant avec
une vitesse
v
. La trajectoire est dans un plan.