La Rotation, la vibration et l`énergie moléculaire Cas des molécules

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La Rotation, la vibration et l'énergie moléculaire
Cas des molécules diatomiques
1. Rappels de mécanique
1.1. Les coordonnées polaires
Dans le système de coordonnées polaires, le point M est
parfaitement repéré si
- on connaît la distance OM = r
- l'angle θ que fait le segment (OM) avec l'axe (Ox)
Pour exprimer le vecteur position
OM
uuuur
, on introduit une nouvelle base orthonormée
(
)
r
u ,u
θ
uur uur
r
u
r
= vecteur unitaire suivant la direction de
OM
uuuur
u
θ
r
= vecteur unitaire
r
u
⊥
r
et on a :
r
OM = r u
uuuur r
1.2. Le mouvement circulaire uniforme (MCU)
Le mouvement circulaire uniforme (MCU) traduit le déplacement
d'un objet sur un cercle et à vitesse angulaire constante ω. Il est
intéressant d'étudier ce mouvement qui, tout en se déroulant à vitesse
constante, est produit par une accélération non nulle.
Dans la base orthonormée
(
)
r
u ,u
θ
uur uur
, on a :
{
{
rr
0
r22
r
r
dOM
v R u R u R u OM = R u
dt
OM = R u v R u
du
dv
a R R u
a R u
dt dt
θ θ
ω
θ
θ
= = + θ = ω
⇒ ⇒ = ω
= = ω = − ω = − ω
uuuur
r r uur uur
uuuur r
&
&
uuuur r r uur
uur
r
r r
r r
Dans le cas d’un MCU, la vitesse est toujours tangente à la trajectoire, l’accélération est
centripète.
y'
x'
O
M
y
x
JI
i
j
r
ϕ
ϕϕ
ϕ
θ
r
u
uur
u
θ
uur
O
M
M

Leçon n°4
PHR 101
2
N. Fourati_Ennouri
1.3. Centre de masse Soit un système discret formé de i points matériels M
i
de
masse m
i
et de rayon vecteur
i
i
r OM
=
r uuuuur
.
Le centre de masse est le point G défini par :
i i i
i
i i
i
i
m OM m r
OG m M = =
∑ ∑
∑
uuuur
r
uuur
[4.1]
où M est la masse totale du système.
A partir de la relation [4.1] on peut déduire la relation :
i i
i
m GM 0
→ →
=
∑
[4.2]
En effet :
i
i i i i i
i i i
MOG m OM m (OM OG) 0 m GM 0
→ →
=⇒− = ⇒=
∑ ∑ ∑
uuur uuuur r uuuur r
Exemple :
Trouver le centre de gravité de trois masses alignées,
m1 = 2m ; m2 = 3m et m3 = m, situées respectivement à
1m ; 6m et 10m d’une origine O.
Réponse
G peut être déterminé à partir de la relation [4.1], on a donc :
i i i
i1 2 3
1 2 3i i
i 1 2 3
i
1 2 3
m OM m r m OM m OM m OM
OG m M m m m
2mOM 3mOM mOM
OG 2m 3m m
+ +
= = ⇒ ⇒
+ +
+ +
=+ +
∑ ∑
∑
uuuur ruuuur uuuur uuuur
uuur
uuuur uuuur uuuur
uuur
Les vecteurs
i
OM
uuuur
sont colinéaires et ont le même sens par conséquent :
O
2 m 3 m m
M
1
M
4
M
i
M
2
M
3
r
1
r
3
r
2
r
i
r
4
O

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3
N. Fourati_Ennouri
1 2 3
2m OM 3m OM m OM
OG 2m 3m m
+ +
=+ +
uuuuur uuuuur uuuuur
uuur
Application numérique :
2 1 3 6 1 10 30
OG 5m
2 3 1 6
× + × + ×
= = =
+ +
1.4. Le moment d’inertie
Soit un système composé de deux particules m
1
et m
2
reliées entre
elles par une tige de masse négligeable. L'ensemble est en rotation
à une vitesse angulaire ω (en rad/s) autour d'un axe situé à une
distance r
1
de m
1
et r
2
de m
2
.
En rotation, c'est le moment d'inertie I qui représente la mesure de l'opposition qu'offre ce système à
voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe.
L'expression du moment d'inertie du système est donnée par la relation :
I m r m r
= +
2 2
1 1 2 2
[4.3]
Son unité est le kg.m².
Cette expression met en évidence l'importance qu'a la distribution de la masse autour de l'axe de
rotation. Ainsi, plus la masse est proche de l'axe de rotation, plus l'inertie de rotation (le moment
d'inertie) sera petite (et vice-versa bien sûr). De façon plus générale, pour un système composé
de n particules (masses ponctuelles), le moment d'inertie est donné par :
i
I m r m r m r ... m r
2 2 2 2
i i 1 1 2 2 n n
= = + + +
∑
Dans cette expression, m
i
représente la masse de la i
ème
particule et r
i
le rayon de la trajectoire
circulaire qu'elle décrit lorsque le système est en rotation.
1.5. Vecteur moment cinétique
Dans le cas des rotations, la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité de
mouvement est le vecteur moment cinétique (ou moment angulaire)
L
ur

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4
N. Fourati_Ennouri
1) Dans le cas d'un objet ponctuel, le moment cinétique se définit par :
L r p
= ∧
ur r r
[4.4]
r
r
étant le vecteur position du point par rapport à une origine qu'il faut spécifier et
p
r
sa quantité
de mouvement.
L
ur
est donc un vecteur perpendiculaire au plan formé par
r
r
et
p
r
. Sa grandeur, ou norme, est :
L r p sin r m v sin
= θ = θ
θ est l'angle entre
r
r
et
p
r
.
2) Dans le cas d'un système discret formé de n particules en rotation, le moment cinétique total
est donné par :
i i i
i 1, n i 1, n
L L r p
= =
= = ∧
∑ ∑
ur uur r uur
[4.5]

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5
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2. La rotation de la molécule diatomique
2.1. La molécule en rotation autour de son centre de gravité
Du point de vue de la mécanique classique, une molécule diatomique peut être considérée
comme un rotateur rigide formé de deux particules M
1
et M
2
de masses respectives m
1
et m
2
.
Appelons G le centre de gravité du système.
On définit les 2 vecteurs :
1 1 2 2
r GM et r GM
= =
uur uuuuur ur uuuuur
G étant le centre de gravité du système 
i i 1 1 2 2
i
m r 0 m r m r 0
=⇒+ = ⇒
∑
uur ur r
r
r
Par conséquent :
1 1 2 2
m r m r
=
Appelons r : distance interatomique = longueur de liaison de la molécule diatomique :
1 2
r r r
= +
A partir des deux précédentes relations on obtient :
2
11 2
1
21 2
=
+
=
+
m
r r
m m
m
r r
m m
[4.6]
Quand la molécule pivote autour de son centre de gravité, les atomes de masse m1 et m2 ont la
même vitesse angulaire ω :
1 1
2 2
v r
v r
=
=
ω
ω
[4.7]