TD 1 Mercredi 19 septembre Mathématiques Discrètes Exercice 1

L3 - 2012/2013 - TD 1
Mercredi 19 septembre
Mathématiques Discrètes
Exercice 1, Jeux de dés 1
On considère deux dés à six faces, l’un est équilibré, l’autre est truqué.
Question 1 Décrire l’espace de probabilité.
Question 2 Quelle est la probabilité de faire un double ? Quelle est la probabilité que la somme des dés soit égale à 7 ?
On lance maintenant trois dés équilibrés.
Question 3 Pourquoi obtient t’on plus souvent un total de 10 points q’un total
de 9 points? Commencez par écrire toutes les manières d’obtenir 9 et 10 points
avec 3 dés.
Exercice 2
On considère une famille à n enfants, n ≥ 2. On appelle A l’événement, la
famille est constituée d’enfants des deux sexes, et B l’événement au plus une
des enfants est une fille.
Question 4 Quel est l’espace de probabilité? Décrivez les événement A et B
dans cette espace.
Question 5 Calculer P(A ∩ B) et P(A)P(B); comparer ces quantités.
Exercice 3, Jeux de dés 2
Nous allons considérer un jeu de dés avec 4 dés à 20 faces chacun. On
considérera ces dés non truqués. A chaque lancer, un nombre de points est
attribué : Si tous les dés ont un résultat différent le nombre de points est nul.
S’il existe une paire, un triplet ou un carré du nombre a, le nombre de points
est égal à a. S’il existe deux paires du nombre a et b (a 6= b), le nombre de
points est égal à a + b.
Question 6 Quel est l’espace de probabilité, quelle est la distribution de probabilité ?
Question 7 Quelle est la probabilité de faire un score nul ?
Question 8 Soit a entre 1 et 20. Déterminer la probabilité d’avoir exactement
k nombres a parmi les dés lancés.
Soit Xa la variable aléatoire valant 1 si a apparaît au moins deux fois dans les
lancers et 0 sinon.
Question 9 Déterminer la loi suivie par Xa et exprimer le gain du jeu à l’aide
de ces variables. Calculer l’espérance du gain.
Question 10 Quelle est la probabilité de faire exactement 8 points ?
On autorise maintenant de relancer une fois entre 0 et 4 dés.
B. Barbot
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E.N.S. de Cachan
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Mercredi 19 septembre
Mathématiques Discrètes
Question 11 Quelle est la meilleure stratégie après avoir obtenu 11−7−2−2?
Exercice 4,Penney’s game
Alice et Bob jouent à un jeu sur une séquence de jets d’une pièce. La pièce
tombe sur pile (P) avec probabilité p et sur face (F) avec probabilité 1 − p. La
pièce est relancée jusqu’à ce que l’un des motifs suivants apparaisse : Si le motif
PPF apparaît, Alice gagne. Si le motif PFF apparaît, c’est Bob qui gagne.
Question 12 Définir l’espace de probabilité.
Question 13 Montrer qu’avec probabilité 1, l’un des motifs apparaît. C’est
équivalent de montrer que la probabilité d’une partie infinie sans gagnant est
nulle.
Question 14 Si vous deviez parier sur un joueur, lequel choisiriez-vous ?
Question 15 Définir l’ensemble des parties gagnantes pour Alice SA , pour Bob
SB et l’ensemble des séquences qui ne comportent pas encore de gagnant N .
On sait que Sa ] Sb = Ω. On peut remplacer cette relation ensembliste par
une relation sur des probabilités : ∀x ∈ Ω, P(x ∈ Sa ) + P(x ∈ Sb ) = 1.
Question 16 Trouver deux autres relations reliant les ensembles SA , SB , N
et les motifs gagnants.
Question 17 Résoudre le système obtenu en remplaçant les relations ensemblistes par des relations probabilistes. Conclure sur l’équité du jeu.
Question 18 Trouver une valeur de p qui rende ce jeu équitable.
B. Barbot
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E.N.S. de Cachan