A Mathematicians` View of Geometrical Unification of General

arXiv:1512.04523v2 [math.DG] 4 Dec 2016
A Mathematicians’ View
of Geometrical Unification
of General Relativity and Quantum Physics
La physique vue autrement
L’univers sans foi ni loi
Comment regarder intelligemment un univers totalement anarchique
Michel Vaugon
Ancien professeur de mathématiques et directeur de thèses
de l’Université Pierre et Marie Curie
[e-mail]
Octobre 2015

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Abstract
This document contains a description of physics entirely based on a geometric presentation :
all of the theory is described giving only a pseudo-riemannian manifold (M, g) of dimension n
>5 for which the g tensor is, in studied domains, almost everywhere of signature (-, -, +, ...,
+). No object is added to this space-time, no general principle is supposed. The properties we
impose to some domains of (M, g) are only simple geometric constraints, essentially based on
the concept of “curvature”. These geometric properties allow to define, depending on considered
cases, some objects (frequently depicted by tensors) that are similar to the classical physics ones,
they are however built here only from the g tensor. The links between these objects, coming from
their natural definitions, give, applying standard theorems from the pseudo-riemannian geome-
try, all equations governing physical phenomenons usually described by classical theories, in-
cluding general relativity and quantum physics. The purely geometric approach introduced hear
on quantum phenomena is profoundly different from the standard one. Neither Lagrangian or
Hamiltonian is used. This document ends with a quick presentation of our approach of complex
quantum phenomena usually studied by quantum field theory.

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Résumé
Ce texte propose une description de la physique fondée entièrement sur une présentation
géométrique : toute la théorie est décrite à partir de la simple donnée d’une variété pseudo-
riemannienne pM,gqde dimension ną5 pour laquelle le tenseur gest, dans les domaines
étudiés, presque partout de signature p´,´,`,...,`q. Aucun objet n’est ajouté à cet espace-
temps, aucun principe général n’est supposé. Les propriétés particulières que l’on impose à cer-
tains domaines de pM,gqsont de simples conditions géométriques essentiellement basées sur
la notion de courbure. Ces propriétés géométriques permettent de définir, suivant les cas consi-
dérés, des objets (souvent représentés par des tenseurs) qui s’apparentent à ceux de la physique
classique mais qui, ici, ne sont construits qu’à partir du tenseur g. Les liens de dépendance entre
ces objets, qui viennent de leurs définitions naturelles, permettent d’obtenir, par la seule applica-
tion de théorèmes standard de géométrie pseudo-riemannienne, toutes les équations qui gèrent
la description des phénomènes physiques habituellement décrits par les théories classiques, y
compris la théorie de la relativité générale et la physique quantique. Aucun lagrangien ou ha-
miltonien n’est utilisé. Les domaines de l’espace- temps pM,gqque l’on étudie sont localement
difféomorphes à ΘˆKoù Θest un ouvert de R4et Kest une variété compacte. Le premier signe
négatif de la signature de gest relatif à Θ, le second signe négatif (correspondant à une autre
notion de « temps ») est relatif à Ket celui-ci est un ingrédient essentiel dans la description de
l’électromagnétisme.
Deux types différents d’approximations permettent de retrouver les équations habituelles de
la physique :
-Un premier type d’approximations consiste à négliger certains phénomènes liés à la variété
compacte Ket ceci permet de retrouver les équations de la physique non quantique (la relativité
générale incluant l’électromagnétisme).
-Un deuxième type d’approximations consiste à supposer que le tenseur gest « lié » à la
métrique de Minkovski sur Θ, mais dans ce cas on tient compte précisément des caractéristiques
de la variété compacte K. On retrouve alors en particulier les résultats qualitatifs et quantita-
tifs habituellement obtenus par la physique quantique classique, ceci sans utiliser la moindre
axiomatique de cette dernière. Le regard purement géométrique proposé ici sur les phénomènes
quantiques est profondément différent de celui des théories standard.
Ce texte se termine par une présentation rapide de la manière dont on aborde, avec la théorie
présentée ici, l’étude des phénomènes quantiques complexes traités par la théorie quantique des
champs.

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Avant-propos
Ce que je vais présenter ici peut être considéré comme le prolongement de ce qui a été écrit
dans les manuscrits [4], [5] et [6] puis dans l’article [7]. Cependant, la présentation sera telle
qu’il n’est pas nécessaire de consulter ceux-ci pour la lecture de ce papier.
Cette théorie a été élaborée avec la participation amicale de :
´Stéphane Collion : Docteur d’Université en Mathématiques, agrégé de Mathématiques,
commandant de bord à Air-France.
´Marie Dellinger : Docteur d’Université et agrégée deMathématiques, professeur en classe
préparatoire à l’ENCPB.
´Zoé Faget : Docteur d’Université en Mathématiques, Docteur d’Université en Informa-
tique, Maître de conférences à l’Université de Poitiers, détachée en CPGE.
´Emmanuel Humbert : Docteur d’Université et agrégé de Mathématiques, professeur et
directeur de thèses de l’Université de Tours.
´Benoît Vaugon : Mathématicien, Physicien, Docteur d’Université en Informatique.
´Claude Vaugon : Professeur agrégée de Mathématiques au lycée Jean de La Fontaine de
Château-Thierry.

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Introduction
Ce papier commence par un exposé rapide des considérations qui nous ont amenées à la
théorie qui va être présentée ici. Elles sont liées au regard (personnel) porté sur la physique du
siècle dernier que je résume en trois étapes caractéristiques qui concernent ce que l’on appelle
communément la « physique classique » (non quantique).
1ère étape
L’espace-temps est modélisé par RˆR3(ou mieux par un espace affine), Rpour le temps
considéré comme absolu, R3pour l’espace que l’on suppose muni du produit scalaire euclidien.
Dans cet espace existent des « objets physiques » que l’on modélise par des « courbes » de l’es-
pace (pour des particules par exemple), des champs de tenseurs : fonctions, champs de vecteurs,
formes différentielles, etc. (pour des « fluides », des champs électriques et magnétiques, des
fonctions densité de masse ou de charge électrique, par exemples). On considère que ces objets
physiques n’ont aucune influence sur les notions de temps et de distance données d’une manière
absolue dans RˆR3. Ces objets sont régis par des lois et respectent certains principes. Ces
lois sont écrites relativement à des observateurs particuliers de l’espace-temps que l’on qualifie
souvent d’« observateurs galiléens ». On peut citer : les lois de Newton pour la gravitation, les
lois de Maxwell pour l’électromagnétisme. Les principes admis sont : l’invariance des lois lors
des changements d’observateurs galiléens, l’homogénéité et l’isotropie de l’espace. Ce modèle
est mis en défaut essentiellement par la constatation expérimentale de la constance absolue de
la vitesse de la lumière et le fait que les équations de Maxwell ne sont pas invariantes lors des
changements d’observateurs galiléens. Ce qui amène à la deuxième étape.
2ème étape (la théorie de la relativité restreinte)
L’espace-temps est modélisé par R4(ou mieux un espace affine) qui est maintenant muni
d’une forme quadratique de Lorentz : qpt,x,y,zq “ ´c2t2`x2`y2`z2. Les notions d’espace et
de temps sont alors intimement liées (le temps n’est plus absolu). Ce modèle rend parfaitement
cohérent le fait que la vitesse de la lumière soit une constante absolue. Les objets physiques sont
modélisés comme on l’a présenté dans la première étape et il n’ont toujours aucune influence
sur les notions de temps et de distance données par la forme quadratique de Lorentz. Les lois
de Maxwell respectent maintenant le nouveau principe d’invariance par transformations de Lo-
rentz (qui remplacent les transformations de Galilée). Cependant, les lois de Newton, servant à
décrire les phénomènes gravitationnels, deviennent totalement inadaptées à ce nouvel espace-
temps (muni de la forme quadratique de Lorentz). L’idée fondamentale qui résout le problème
est dans la troisième étape.
3ème étape (la théorie de la relativité générale)
L’espace-temps est maintenant modélisé par une variété Mde dimension 4 munie d’un
tenseur lorentzien gdont la signature, en chaque point de M, est p´,`,`,`q. Autrement dit,
l’espace tangent en chaque point de Mest muni d’une forme quadratique de Lorentz. Les objets
physiques sont encore représentés par des champs de tenseurs définis sur la variété M. À chaque