´Eléments finis pour le remplissage `a haut nombre de Reynolds

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eme Congr`
es Franc¸ais de M´ ecanique Marseille, 24-28 aoˆ ut 2009
´
El´ ements finis pour le remplissage ` a haut nombre de Reynolds
G. FRANC¸OISa, E. HACHEMa, T. COUPEZa
a. Center for Material Forming (CEMEF), MINES ParisTech - CNRS UMR 7635
Rue Claude Daunesse - BP 207
06 904 Sophia Antipolis cedex - France
R´ esum´ e :
Afin de simuler la fonderie de pi` eces de grandes dimensions (au del` a du m` etre), nous employons une m´ ethode ´ el´ ements
finis stabilis´ ee coupl´ ee avec une approche monolithique pour la r´ esolution de l’´ ecoulement. L’´ evolution des interfaces
est repr´ esent´ ee par une m´ ethode LevelSet locale ` a r´ einitialisation convective. Le caract` ere turbulent est pris en compte
par un mod` ele LES dynamique de Germano. Enfin, apr` es avoir compar´ e nos r´ esultats ` a diff´ erents cas de r´ ef´ erence, nous
r´ ealisons notre propre maquette exp´ erimentale.
Abstract :
In order to simulate the casting of large specimens (over one meter), a stabilized monolithic finite element formulation is
used for flow resolution. The evolution of the interfaces is obtained by a local LevelSet method with convective reinitiali-
sation. Turbulent behavior is taken into account by a Germano dynamic LES model. Finally, our method is validated by
comparing simulation results to several reference cases, and to our own experimental data.
Mots clefs : Level-Set, approche monolithique, Large Eddy Simulations (LES)
1 Introduction
La simulation du remplissage ` a grand Reynolds, trouvant de nombreuses applications telles que le compor-
tement de vagues ou encore la simulation de proc´ ed´ es industriels (fonderie, trempe,. . .), met en jeu plusieurs
outils num´ eriques. Le couplage entre la turbulence et le calcul multiphasique est en effet un enjeu important
pour la mod´ elisation de tels proc´ ed´ es.
Afin de d´ ecrire de mani` ere pr´ ecise l’interface, nous avons choisi une m´ ethode Level-Set locale ` a r´ einitialisation
convective [1, 2], permettant le transport de la fonction sans la d´ egrader. Cette m´ ethode r´ eduit le coˆ ut de calcul
et permet de s’affranchir des pas de r´ einitialisation.
Une m´ ethode de turbulence dite ”Large Eddy Simulation” (LES), bas´ ee sur un filtrage g´ eom´ etrique des va-
riables, est utilis´ ee pour simuler l’´ ecoulement. La viscosit´ e turbulente sera calcul´ ee explicitement en fonction
des r´ esultats ` a l’incr´ ement pr´ ec´ edent. Cependant, il convient de reformuler les ´ equations de Navier-Stokes
filtr´ ees lorsque plusieurs fluides sont en pr´ esence [3] (par ex. air/eau).
Apr` es avoir pos´ e les diff´ erentes ´ equations du probl` eme, nous allons appliquer cette m´ ethode ` a un cas de
r´ ef´ erence, mais ´ egalement ` a notre propre maquette exp´ erimentale.
2´ Equations du probl` eme
Les ´ equations de Navier Stokes pour l’´ ecoulement de fluides visqueux incompressibles sont les suivantes :
ρ∂u
∂t +ρu∇ · u+∇p− ∇ · (2ηS) = f
∇ · u= 0
(1)
o` uρ,u,p,η,Set fsont respectivement la masse volumique, la vitesse, la viscosit´ e dynamique, le tenseur des
taux de d´ eformation et les forces volumiques.
Dans notre approche monolithique, les donn´ ees physiques que sont la masse volumique et la viscosit´ e d´ ependent
d’une fonction de phase αvariable en temps et en espace. Pour un ´ ecoulement diphasique, on m´ elange les pro-
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pri´ et´ es de la fac¸on suivante :
ρ=H(α)ρ1+ (1 −H(α))ρ2
η=H(α)η1+ (1 −H(α))η2
(2)
H(α) = ½1dans le fluide 1
0dans le fluide 2 (3)
Compte tenu de la non co¨ ıncidence de l’interface avec le maillage, la fonction Heaviside H(α)prend des
valeurs interm´ ediaires pr` es de l’interface. Afin de respecter le haut niveau de perturbation de l’interface, nous
ne m´ elangeons que les ´ el´ ements travers´ es par une loi constante par ´ el´ ement, ainsi dans chaque ´ el´ ement Kde
volume |K|, on a :
H(α) = |Ω1∩K|
|K|(4)
2.1 Capture d’interface
La m´ ethode de capture d’interface choisie est une m´ ethode level-set am´ elior´ ee, introduite en [1, 2]. On mo-
difie la fonction transport´ ee par une fonction trigonom´ etrique locale de la distance ` a l’interface. L’´ equation
de transport est combin´ ee ` a l’´ equation de r´ einitialisation, par la m´ ethode dite de ”r´ einitialisation convective”.
L’´ equation modifi´ ee sera la suivante :
∂α
∂t +u.∇α+λs Ã|∇α| − r1−³π 2Eα´2!= 0
α(t= 0, x) = α0(x)
(5)
o` usest le signe de la fonction α, et λune constante d´ ependant de la discr´ etisation spatiale et temporelle,
typiquement λ=h/∆t.
Cette nouvelle approche permet de r´ eduire le temps de calcul tout en s’affranchissant des pas de r´ einitialisation.
L’´ equation de transport, tout comme l’´ equation de Navier-Stokes est r´ esolue par une approche ´ el´ ements finis
stabilis´ ee. Ces solveurs sont d´ ej` a impl´ ement´ es dans notre code parall´ elisable CIMlib. Ces m´ ethodes s’av` erent
ˆ
etre stables et ne g´ en` erent pas d’oscillations num´ eriques.
2.2 Tension de surface
La formulation du terme de tension de surface est la suivante :
FT S =σκnΓ(6)
o` uσest une constante d´ ependant des fluides consid´ er´ es, κest la courbure d’interface et nΓest la normale ` a
l’interface.
Comme il a ´ et´ e d´ emontr´ e en [4], la courbure d’interface peut ˆ etre calcul´ ee directement ` a partir de la normale ` a
l’aide d’une divergence volumique :
κ=−∇ · n(7)
avec nd´ efini comme un terme volumique, tel que n(M∈Γ) = nΓ.
`
A partir de la fonction level-set, nous pouvons la d´ efinir de la mani` ere suivante :
n=∇α
|∇α|(8)
Cependant, pour une repr´ esentation lin´ eaire de la fonction level-set, on obtient une interpolation de la normale
constante par ´ el´ ement, soit une courbure nulle. Il reste n´ ecessaire de projeter la formulation de la normale dans
l’espace des fonctions continues et lin´ eaires par ´ el´ ement.
Le mod` ele ”Continuum Surface Force” introduit en [5] nous permet maintenant de transformer ce terme sur-
facique en terme volumique. La m´ ethode consiste ` a multiplier la force de tension de surface par une fonction
dirac approch´ ee et liss´ ee δE
Γ(α). Le nouveau terme `
a int´ egrer dans l’´ equation de Navier-Stokes s’exprime de la
mani` ere suivante :
fT S (α) = σ∇ · (∇α)∇α.δE
Γ(α)(9)
2

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Une approximation trigonom´ etrique de la fonction dirac a ´ et´ e impl´ ement´ ee :
δE
Γ(α) = 
0si |α|> E
1
2Eh1 + cos ³πα 2E´i si |α|< E (10)
E, la demi ´ epaisseur, d´ ependant de la taille de maille, typiquement E= 2h.
2.3 Calcul de turbulence
2.3.1 ´ Equations filtr´ ees
La m´ ethode LES sera utilis´ ee pour le calcul de la viscosit´ e turbulente. Cette m´ ethode, bas´ ee sur un filtrage
spatial des variables, sert ` a r´ esoudre les grandes ´ echelles de l’´ ecoulement et ` a mod´ eliser les petites ´ echelles.
L’effet de la turbulence sera repr´ esent´ e par une viscosit´ e tubulente, calcul´ ee de mani` ere explicite.
Comme d´ emontr´ e dans [3], l’´ equation de l’´ ecoulement multi-fluide filtr´ ee s’´ ecrit de la mani` ere suivante :
∇ · ˜ u=σ0
¯ρ∂˜
u
∂t +∇ · (¯ρ˜
u⊗˜ u) + ∇ · (−2¯µ¯ ε+ ¯p1l)−¯ρg−¯σ¯κ¯ nΓδ=
3
X
i=0
τi
(11)
o` u l’op´ erateur ·repr´ esente le filtrage spatial et l’op´ erateur ˜ ·le filtrage pond´ er´ e par le par la masse volumique,
soit ˜ Φ = ρΦ/¯ρ.
τ0=−ρ∂u
∂t + ¯ρ∂˜
u
∂t (12)
τ1=−∇ · (ρu⊗u−¯ρ˜ u⊗˜ u)(13)
τ2=−∇ · (µε(u)−¯µε(¯ u)) (14)
τ3=σκnΓδ−σ¯κ¯ nΓδ(15)
De nouveaux termes τiet σ0, dus ` a la pr´ esence d’un ´ ecoulement multifluides turbulent, apparaissent dans les
´
equations. Ces termes τ0,τ1,τ2,τ3sont li´ es respectivement ` a l’acc´ el´ eration, ` a l’inertie, ` a la viscosit´ e, puis
au terme surfacique. Comme observ´ e dans [3, 6], les termes τ0et τ2sont n´ egligeables. Le terme σ0li´ e` a
la compressibilit´ e reste relativement petit, nous le consid` ererons dans un premier temps n´ egligeable, mais il
faudra par la suite le traiter par un calcul de compressibilit´ e. Le terme τ1sera mod´ elis´ e pour introduire une
viscosit´ e turbulente [7], comme nous allons voir dans le prochain paragraphe. L’ordre de grandeur du terme
τ3, li´ e` a la tension de surface, varie quant ` a lui d’une configuration ` a une autre, il est donc ` a traiter au cas par cas.
2.3.2 Calcul de la viscosit´ e turbulente
Le mod` ele de Smagorinsky [7] consiste ` a mod´ eliser le terme τ1par un tenseur de contrainte visqueuse (soit
τ1= 2ηt∇ · ¯ ε). Pour un calcul monofluide, la viscosit´ e turbulente ηtpeut ˆ etre d´ ecrite par le mod` ele statique
suivant :
ηt= (CS∆)2¯¯¯ S¯¯(16)
o` u¯¯¯ S¯¯=q2¯ Sij ¯ Sij ,∆est la longueur de coupure du filtre, soit la taille de maille h,CSest la constante de
Smagorinsky g´ en´ eralement fix´ ee entre 0.1et 0.2. La valeur de CSest une constante empirique, mais dont la
valeur th´ eorique varie d’un ´ ecoulement ` a un autre [8].
Afin d’approcher la valeur de la constante CS, [9] introduit un mod` ele de Smagorinsky dynamique. La proc´ edure
se base sur l’utilisation d’un deuxi` eme filtre, de longueur de coupure sup´ erieure au premier. La corr´ elation entre
les variables calcul´ ees ` a l’´ echelle du maillage et leur valeur filtr´ ee permet de d´ eterminer localement la valeur
de CS. Cette proc´ edure permet un calcul plus pr´ ecis de la viscosit´ e turbulente, ainsi qu’une dissipation limit´ ee.
Soient ¯.et b.les filtres de premier et second ordre ( b ∆>¯ ∆). [9] montre que l’on peut calculer deux tenseurs L
et Mtels que :
L=C2
SM(17)
avec :
L=\
¯
u⊗¯ u−b
¯
u⊗b
¯
u(18)
M=¯ ∆2\
¡¯¯¯
S¯¯¯ S¢−b ∆2¯¯¯b¯ S¯¯¯b¯ S(19)
3

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Comme d´ emontr´ e dans [10], on peut extrapoler cette relation au cas multi-fluide en remplac¸ant le filtrageb·par
un filtrage pond´ er´ e par la masse volumique :
L=
\
¯ρ˜ u⊗˜ u
b¯ρ−c
¯ρ˜ u
b¯ρ⊗c
¯ρ˜ u
b¯ρ(20)
M=¯
∆2\
¡¯ρ¯¯¯
S¯¯¯ S¢
b¯ρ−b
∆2¯¯¯b¯ S¯¯¯b¯ S(21)
Cette nouvelle formulation permet de favoriser la turbulence du liquide le plus lourd dans les zones de m´ elange.
La contrainte CSsera finalement calcul´ ee comme dans [11] par une m´ ethode des moindres carr´ es :
C2
S=L:M
M:M(22)
3 Applications num´ eriques
3.1 Instabilit´ e de Rayleigh-Taylor
Afin de valider notre approche, on s’est dans un premier temps int´ eress´ e au cas de l’instabilit´ e de Rayleigh-
Taylor, dont l’approche analytique est d´ ecrite dans [12]. Lorsqu’un fluide est support´ e par un fluide plus l´ eger,
une instabilit´ e de Rayleigh-Taylor apparaˆ ıt. Pour une perturbation de longueur d’onde K, l’´ evolution de l’in-
terface pour de petites amplitudes suit la loi suivante :
yΓ(x) = Cent cos µ2π
Kx¶(23)
le coefficient de croissance nprend la valeur suivante lorsque les deux fluides ont une viscosit´ e nulle :
n2=Kg ·A−K2σ
g(ρ1+ρ2)¸(24)
avec Cune constante d´ ependant de la perturbation initiale, ρ1la masse volumique du fluide lourd, ρ2la masse
volumique du fluide l´ eger, g la gravit´ e, et A=ρ1−ρ2
ρ1+ρ2.
Le domaine consid´ er´ e est un rectangle de largeur 2πet de hauteur 6π, la perturbation est initi´ ee avec une
vitesse de 0.005m.s−1. Ainsi que montr´ e dans [3], le terme turbulent τ3li´ e` a la tension de surface peut ˆ etre
n´ eglig´ e. La figure 1 montre l’´ evolution de la surface ` at= 10spour diff´ erentes valeurs de la tension de surface.
(a) σ=
0.1N m−1
(b) σ=
0.3N m−1
(c) σ=
0.45N m−1
(d) σ=
0.7N m−1
FIGURE 1 – Instabilit´ e de Rayleigh Taylor, t=10s
Dans la figure 2, l’´ evolution de l’amplitude de l’instabilit´ e en fonction du temps est repr´ esent´ ee. On note une
bonne corr´ elation entre les r´ esultats analytiques et les r´ esultats num´ eriques tant que l’amplitude reste petite,
l’´ evolution se fait ensuite plus lente lorsque l’hypoth` ese des petites amplitudes n’est plus valable.
3.2 Bacs communicants
Pour se rapprocher d’un cas de remplissage en fonderie, nous avons mis en place une premi` ere maquette simple
d’´ ecoulement d’eau. Cette maquette, repr´ esent´ ee figure 3 est constitu´ ee de deux r´ eservoirs communicants, le
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FIGURE 2 – Amplitude de l’instabilit´ e de Rayleigh-Taylor en fonction du temps
premier (bac A), plac´ e en hauteur par rapport au second (bac B), est rempli d’eau alors que le second ne
contient que de l’air. L’exp´ erience d´ ebute lorsque l’on ouvre le canal entre les deux cˆ ot´ es.
Nous r´ ealisons une simulation sur un maillage ` a 1 million d’´ el´ ements. La figure 4 compare les r´ esultats
exp´ erimentaux aux r´ esultats num´ eriques. On note la bonne corr´ elation entre les deux mod` eles, bien que l’on
puisse observer entre autres une remont´ ee d’eau plus grande pour le cas num´ erique ` at= 0.58s. Cette ´ ecart
pourrait ˆ etre expliquer par la perturbation caus´ ee par l’ouverture de la vanne. La bonne correspondance entre
les r´ esultats permet cependant de valider la robustesse de notre calcul.
FIGURE 3 – Maquette exp´ erimentale
4 Conclusions et perspectives
Dans ce papier, nous avons d´ evelopp´ e une m´ ethode de calcul d’´ ecoulement multifluides turbulent. L’approche
monolithique, coupl´ ee ` a une m´ ethode Level-Set permet de prendre en compte plusieurs fluides. Cela revient
`
a r´ esoudre la mˆ eme ´ equation de l’´ ecoulement dans tout le domaine, mais avec des propri´ et´ es m´ ecaniques
diff´ erentes (viscosit´ e et masse volumique). La m´ ethode Level-Set am´ elior´ ee permet quant ` a elle le transport
des interfaces avec un coˆ ut de calcul minimis´ e sans arrˆ et pour r´ einitialisation. Enfin, un mod` ele de couplage
multifluide-LES a ´ et´ e propos´ e.
La comparaison au cas de l’instabilit´ e de Rayleigh-Taylor a permis de valider la justesse de notre calcul. Les
capacit´ es de la m´ ethode ont ´ egalement ´ et´ e test´ ees pour le cas plus complexe des bacs communicants. Le com-
portement des fluides a ´ et´ e reproduit avec fid´ elit´ e tout au long du calcul.
Afin d’am´ eliorer la mod´ elisation, et de d´ ecrire correctement le comportement des bulles d’air cr´ e´ ees lors de
l’´ ecoulement (figure 4(c)), une prochaine ´ etape serait de prendre en compte les diff´ erents termes turbulents
n´ eglig´ es dans l’´ equation (11), notamment le terme τ3, li´ e` a la tension de surface.
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