Chapitre 2 Résolution d`équations non linéaires

Chapitre 2
R´esolution d’´equations non lin´eaires
1 S´eparation des racines
On dit qu’une racine a d’une ´equation f(x) = 0 est s´eparable si on pent trouver un
intervalle [a, b]tel que αsoit la seule racine de cette ´equation dans [a, b].
Il n’y a pas de m´ethode g´en´erale pour s´eparer les racines d’une ´equation f(x)=0.
Pratiquement, en dehors de l’´etude th´eorique directe de fsi fest donn´e analytiquement,
on utilise deux types de m´ethodes : une m´ethode graphique et une m´ethode de balayage.
1.1 M´ethode graphique
Soit on trace (exp´erimentalement ou par ´etude des variations de f) le graphe de la
fonction fet on cherche son intersection avec l’axe Ox. Soit on d´ecompose fen deux
fonctions f1et f2simples a ´etudier, telles que : f=f1−f2, et on cherche les points
d’intersection des graphes de f1et f2, dont les abscisses sont exactement les racines de
l’´equation f(x) = 0.
On choisit souvent f1et f2de fa¸con `a ce que leur courbes soient des courbes connues.
1.2 M´ethode de balayage
Si fest une fonction continue dans l’intervalle [xi, xi+1]et f(xi).f(xi+1)<0alors
il existe entre xiet xi+1 au moins une racine de f(x)=0. (C’est le th´eor`eme classique
des valeurs interm´ediaires).
Il faut faire tr`es attention avec cette m´ethode car avec certaines fonctions cette
m´ethode nous cache l’existence ou le nombre de racine dans un intervalle.
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CHAPITRE 2. R´ ESOLUTION D’´ EQUATIONS NON LIN´ EAIRES
2 Approximation des racines ; M´ethodes it´eratives
2.1 M´ethode de bissection (dichotomie)
Algorithme
Donn´ees : x1,x2et k(crit`ere d’arrˆet). Il faut que f(x1).f(x2)<0
Faire : iteration =iteration + 1
xm= (x1+x2)/2,f(x1),f(x2)et f(xm)
Si (f(x1).f(xm)<0) alors x2=xmsinon x1=xm
Test d’arrˆet : Si (iteration =k) alors (x=xm) sinon reFaire
Crit`ere d’arrˆet
Soit x1et x2les bornes de l’intervalle initial et nle nombre de d´ecimales exactes
recherch´es. Le nombre d’it´erations est donn´e par :
k≥log x2−x1
0.5 10−n
log2−1(2.1)
Repr´esentation graphique
Figure 2.1 – Illustration de l’algorithme de la m´ethode Dichotomie
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CHAPITRE 2. R´ ESOLUTION D’´ EQUATIONS NON LIN´ EAIRES
2.2 M´ethode de Newton-Raphson
Algorithme
Donn´ees : x0valeur initiale de la racine et valeur admissible de l’erreur
Faire : xk+1 =xk−f(xk)
f0(xk)
Test d’arrˆet : Si (Erreur ≤) alors (x=xk+1) sinon reFaire
Crit`ere d’arrˆet
Si on veut calculer une approximation de x∗avec nd´ecimales exactes, il suffit d’aller
dans les it´erations jusqu’`a ce que |xk+1 −xk| ≤ 0.5 10−n.
Repr´esentation graphique
Figure 2.2 – Illustration de l’algorithme de la m´ethode de Newton
2.3 M´ethode de Newton-Raphson pour les polynˆomes
Si fest un polynˆome Pnde degr´e n`a coefficients r´eels, n’ayant que des racines
distinctes :
f(x) = Pn(x) = a0xn+a1xn−1+... +an−1x+anavec a06= 0
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CHAPITRE 2. R´ ESOLUTION D’´ EQUATIONS NON LIN´ EAIRES
Localisation
Le racines r´eelles de f’´equation Pn(x) = 0 sont contenues dans l’intervalle ]−T, T [
avec
T= 1 + 1
a0max
i=1,n |ai|
Nombres de racines r´eelles
Le nombre de solutions r´eelles (qui sont suppos´ees simples) de l’´equation Pn(x) = 0
est ´egale `a N(a)|N(b), o`u N(ζ)est le nombre de changement de signe de la suite
{Si(ζ)}. Les r´eels aet b´etant les extr´emit´es de l’intervalle contenant les racines.
La suite {Si(x)}est la suite de Sturm d´efinie par :
S0(x) = Pn(x)
S1(x) = P0
n(x)
S2(x) = −Reste(S0(x)/S1(x))
...
Sn(x) = −Reste(Sn−2(x)/Sn−1(x))
(2.2)
2.4 M´ethode de la s´ecante
Dans cette m´ethode on remplace la d´eriv´ee dans la formule de r´ecurrence de Newton
par le taux d’accroissement de fsur un petit intervalle.
Algorithme
Donn´ees : x0et x1deux valeurs initiale de la racine et valeur admissible de l’erreur
Faire : xn+1 =xn−f(xn)(xn−xn−1)
f(xn)−f(xn−1)
Test d’arrˆet : Si (Erreur ≤) alors (x=xn+1) sinon reFaire
Crit`ere d’arrˆet
Le mˆeme que la m´ethode de Newton.
Repr´esentation graphique
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CHAPITRE 2. R´ ESOLUTION D’´ EQUATIONS NON LIN´ EAIRES
Figure 2.3 – Illustration de l’algorithme de la m´ethode de la s´ecante
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