Chapitre 6 : La loi normale

Chapitre)6):)La)loi)normale)
I. Variables aléatoires à densité
1. Variables aléatoires continue
Définition et notation
- L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience. On
la note Ω.
- Une variable aléatoire est une fonction définie sur Ω et à valeurs dans R. On la note X.
Exemple 1 :
On lance deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On peut
définir une variable aléatoire qui, à chaque lancer, associe la somme des nombres obtenus.
Dans ce cas, l'univers Ω est l'ensemble des couples (i ; j) où i et j prennent des valeurs
entières comprises entre 1 et 6. Comme cette evariable aléatoire ne prend qu'un nombre
fini de valeurs (entiers compris entre 2 et 12), elle est dite discrète.
Définition
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire X définie sur Ω, qui peut prendre comme valeur tous les nombres
réels d'un intervalle I de R, est dite continue.
Exemple 2 :
Une entreprise produit des ampoules à basse consommation. On peut définir une variable
aléatoire X qui, a chaque ampoule produite par cette entreprise,associe sa durée de vie en
heures. Cette durée n'est pas nécessairement un nombre entier d'heures et théoriquement,
on ne connaît pas la durée maximale de vie d'une telle ampoule. Cette variable aléatoire X
est une donc continue et l'intervalle I est l'intervalle ]0 ; +∞[.
2. Fonction densité
Une fois la variable aléatoire définie, on s'intéresse à sa loi de probabilité.
- Dans le cas d'une variable aléatoire discrète, la loi de probabilité associée est
généralement donnée sous la forme d'un tableau. Elle peut aussi être donnée par
l'intermédiaire d'une formule générale. C'est le cas pour les variables aléatoires qqui
suivent une loi binomiale.

Exemple :
On vérifie que la somme des probabilités des événements ｛X = s｝(avec 2 ≤ s ≤ 12) est
bien égale à 1.
- Dans le cas d'une variable aléatoire continue, on a recours à une fonction définie Ｒ
appelée densité.
Définition
Une fonction f définie sur Ｒ est appelée fonction densité, ou densité, si :
- f est positive sur Ｒ: pour tout x, f(x) ≥ 0 ;
- f est continue sur Ｒ ;
- l'aire du domaine D, domaine délimité par la courbe Cf représentative de la fonction f
dans un repère orthogonal, et par l'axe des abscisses, est égale à 1.
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire X. Une variable aléatoire définie sur Ω, continue
de densité f.
- La probabilité de l'événement {X∈J}, où J est un intervalle de R, est notée P(X∈J) et elle
est définie comme l'airedu domaine du plan suivant :
{M(x,y) ; x ∈J et 0 ≤ y ≤ f(x)
Aire du domaine jaune = P(X∈J) = P (a ≤ X ≤ b)

1!
II. Mise en situation'
On!considère!la!superficie!de!surface!agricole!en!hectare!dans!
une!région!donnée.!Les!résultats!sont!résumés!dans!le!tableau!des!fréquences!
suivant!:!
Superficie!
en!ha!
4;4,4
⎡
⎣⎡ ⎣
4,4;4,8
⎡
⎣⎡ ⎣
4,8;5,2
⎡
⎣⎡ ⎣
5,2;5,6
⎡
⎣⎡ ⎣
5,6;6
⎡
⎣⎡ ⎣
6;6,4
⎡
⎣⎡ ⎣
Fréquence!
0,01!
0,03!
0,06!
0,1!
0,14!
0,16!
Superficie!
en!ha!
6,4;6,8
⎡
⎣⎡ ⎣
6,8;7,2
⎡
⎣⎡ ⎣
7,2;7,6
⎡
⎣⎡ ⎣
7,6;8
⎡
⎣⎡ ⎣
8;8,4
⎡
⎣⎡ ⎣
8,4;8,8
⎡
⎣⎡ ⎣
Fréquence!
0,16!
0,14!
0,1!
0,06!
0,03!
0,01!
Ce!tableau!des!fréquences!peut!être!représenté!par!le!biais!du!graphique!suivant!:!
On! remarque! que! l'allure! de! l'histogramme! peut! être! modélisée! par! une! courbe! d'une!
fonction!comme!l'illustre!le!graphique!suivant!:!
Cette!courbe!est!appelée!courbe!en!cloche!ou!encore!courbe!de!Laplace-Gauss.!

2!
On!considère! maintenant! la!variable! aléatoire! X!qui! à! chaque!exploitation! agricole! prise!au!
hasard,!associe!la!valeur!de!l'aire!de!la!surface!en!ha.!On!choisit!au!hasard!une!exploitation.!Si!
on! souhaite! calculer! la! probabilité! d'obtenir! une! superficie! comprise! entre! 6! et! 6,8! ha,! le!
calcule!se!note!p(6⩽X⩽6,8)!et!s'obtient!facilement!à!l'aide!de!l'illustration!suivante!:!
On! constate! que! la! modélisation! de! l'histogramme! par! la! courbe! de! Laplace-Gauss! est!
satisfaisante.!
III.
La'fonction'de'Laplace-Gauss
À!savoir!:!La!fonction!de!Laplace-Gauss!est!la!fonction!définie!sur!ℝ!par!
f x
( )
=1
σ 2 π
e
−1
2
x− µ
σ
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
Les!paramètres!μ!et!σ!sont!des!réels.!La!courbe!représentative!de!la!fonction!de!Laplace-Gauss!
est! la! courbe! en! cloche,! vue! précédemment.! Elle! est! axée! (axe! de! symétrie! axiale)! en! une!
droite!d'équation!x=μ!et!les!limites!aux!bornes!de!l'intervalle!de!définition!sont!nulles.!
Résultats!:!L'aire!de!la!surface!située!en!la!courbe!de!Laplace-Gauss!et!l'axe!des!abscisses!se!
calcule!par!
A=f x
( )
−∞
+∞
∫dx
!et!vaut!1.
IV.
La'loi'normale
À!savoir!:!La!loi!de!probabilité!d'une!variable!aléatoire!X!à!valeurs!dans!ℝ!est!appelée!loi!
normale!de!paramètres!μ!et!σ,!notée!𝒩(μ, σ)!lorsque,!pour!tout!nombres!réels!a!et!b,!la!

3!
probabilité! de! l'évènement! «! a⩽X⩽b! »! est! égale! à! l'aire! du! domaine! limité! par! la! courbe! de!
Laplace-Gauss!de!paramètres!μ!et!σ;!l'axe!des!abscisses!et!les!droites!d'équations!x=a!et!x=b.!
Illustration!du!calcul!p(a⩽X⩽b)!(exemple!avec!μ=6,4!;!σ=1! a=5!et!b=7!:!
Illustration!du!calcul!p(X⩽a)!(exemple!avec!μ=6,4!;!σ=1!!a=−∞!et!b=6!:!
V.
Espérance'et'variance
Propriété!:!L'espérance!mathématique!d'une!variable!aléatoire!X!distribuée!selon!la!loi!!
normale!𝒩(μ,σ)!est!notée!E(X)!et!se!calcule!par!E(X)=μ.!
Propriété!:!L'écart!type!d'une!variable!aléatoire!X!distribuée!selon!la!loi!normale!!𝒩(μ,σ)!est!
notée!σ(X)!et!se!calcule!par!σ(X)=σ.!