Mathématiques générales

Mathématiques générales
Gaetan Bisson
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Introduction
Ce cours introduit les concepts mathématiques fondamentaux en commençant par deux
éléments essentiels du langage : la logique et les ensembles. La rigeur qu’ils procurent sera alors
appliquée à l’étude des fonctions et des suites, deux objets centraux en analyse.
1

Table des matières
1 Langage mathématique 4
1.1 Ensembles de nombres classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Quanticateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Conjonction « et » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Disjonction « ou » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.3 Équivalence « équivaut à » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.4 Implication « implique » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.5 Négation « non » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.6 Identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Énoncés et preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1 Équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Démonstration par contre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.3 Démonstration par contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.4 Démonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.5 Démonstration par disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.6 Énoncés mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.1 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2 Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.3 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.4 Diérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.5 Diérence symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.6 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.7 Identités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Fonctions 13
2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Notions ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Images et préimages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Surjectivité et injectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Application réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
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2.5 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.10 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.11 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Suites numériques 24
3.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Sommations et produits formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Suites linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Suites récurrentes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Bornes et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 Sous suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3

Chapitre 1
Langage mathématique
En mathématiques, il est extrêmement important de s’exprimer sans ambiguïté. On utilise
donc un langage précis et, pour éviter les longues phrases, on a souvent recours à des formules
faisant intervenir des symboles spéciques. Les apprendre permet de lire et d’écrire les mathé-
matiques, et entraîne à penser clairement.
1.1 Ensembles de nombres classiques
En mathématiques, on travaille surtout avec les nombres suivants :
— les entiers naturels : 0, 1, 2, 3 . . . 
— les entiers relatifs : . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . . 
— les nombres rationnels : x
yavec xet yentiers et y=0(un quart, −2 3, etc.) 
— les nombres réels : quantités mesurables (nombres décimaux, 2,π, etc.) 
—
les nombres complexes : a+b i avec a et b réels pour la quantité i vériant i2=−1
1.2 Propositions
Une proposition est une phrase dont on peut armer qu’elle est soit vraie soit fausse. On
peut l’écrire soit avec des mots soit avec des symboles — tant qu’ils sont bien dénis!
Exemple. Considérons les phrases :
— « 2+3=5» : proposition vraie.
— « L’UPF est en Écosse» : proposition fausse.
— « Si x+1=2, alors x+2=3» : proposition vraie.
— « x>2» : pas une proposition! (Ça dépend de la valeur de x.)
Exemple. Ces propositions concernant les ensembles de nombres classiques sont vraies :
— Si xest dans , alors xest dans .
— Pour tout xdans , si x>2, alors x2>4.
— Si xest dans , alors x2est dans .
— Il existe un unique xdans tel que 2x=1.
— Tout réel admet un entier plus grand que lui.
1.3 Quanticateurs
Pour écrire ces propositions de manière plus succincte, on utilise les symboles :
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