4 Introduction aux ondes électromagnétiques

4 Introduction aux ondes électromagnétiques
4 Introduction aux ondes électromagnétiques
4.1 Introduction
Les phénomènesélectromagnétiquesles plus importants pour les technologies modernes,
et en particulier pour les télécommunications, sont ceux liés à la génération, propagation
et captation d’ondes électromagnétiques (ondes EM). La vie moderne nous a familiarisé
avec les ondes électromagnétiques qui ne sont plus le rayonnement mystérieux que Hein-
rich Hertz observait pour la première fois dans son laboratoire de Karlsruhe, Allemagne,
en et dont l’existence avait été prédite par James Clerk Maxwell dans ses fameuses
Équations de l’Électromagnétisme (). Dans ce chapitre, on introduit le concept d’onde
plane qui est l’expression mathématique la plus simple possible pour les champs d’une
onde EM. Après une étude simplifiée des propriétés générales de ces ondes planes, on
vérifie que ces ondes sont en effet une solution des équations de Maxwell et on examine
d’autres propriétés spécifiques, notamment la relation entre les champs électrique et ma-
gnétique d’une onde EM plane.
4.2 Concepts élémentaires
Les cours de physique nous familiarisent avec beaucoup de phénomènes ondulatoires,
dont plusieurs (oscillations d’une corde, vagues dans la surface d’un liquide) partagent
beaucoup de propriétés communes avec les ondes EM et peuvent être utilisés comme
de bonnes analogies pour les expliquer. Ainsi, tous ces phénomènes ondulatoires ont un
caractère “transverse”, car le support matériel de l’onde (atomes de la corde, molécules
d’eau dans un étang) vibrent dans une direction perpendiculaire à la direction de propaga-
tion. Les physiciens du siècle ont cru bon de postuler l’existence de “l’éther”, un milieu
dont les vibrations transverses seraient àl’origine des ondes EM. Le point de vue moderne
est que les ondes EM n’ont pas besoin d’un support matériel (elles peuvent se propager
dans le vide) et que les agents dont la vibration transverse supporte la propagation d’une
onde EM sont deux champs vectoriels, le champ électrique et le champ magnétique,qu’on
considère comme des propriétés ou des états particuliers des points de l’espace.
Plus près de notre domaine,on a vu que la généralisation de la théorie des circuits aux
lignes de transmission conduit à des tensions et des courants qui se comportent comme
des ondes, avec une amplitude, une phase, une fréquence et une vitesse (ou exposant de
propagation dans le domaine fréquentiel). Pour le cas sans pertes, on a la dépendance
mathématique classique
(4.2.1)
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4.2 Concepts élémentaires
ou en termes de phaseurs
(4.2.2)
où est un nombre complexe dont la norme (amplitude) et l’argument corres-
pondent, respectivement, à la valeur efficace et à la phase de la grandeur harmonique
représentée et où .
Il est important de rappeler que la théorie des lignes de transmission montre clairement
que tandis qu’amplitude, phase et fréquence sont imposées par le générateur, l’exposant
de propagation, et donc la longueur d’onde et la vitesse, dépendent des propriétés de la
ligne.
Si la ligne de transmission n’est pas dirigée selon l’axe mais selon une direction quel-
conque définie par un vecteur unitaire , il suffit de remplacer la coordonnée par le pro-
duit scalaire . Maintenant, à la place du produit , il est utile d’écrire .
On crée ainsi un exposant de propagation vectoriel qui inclut l’information sur la
direction de la ligne.
Il est raisonnablede s’imaginer queles champs d’une ondeEM, qui se propageselon la
direction , doivent obéir au même type de dépendance mathématique.On peut donc es-
sayer pourtoutecomposantescalaire deschampsélectrique et magnétique( ,
) une expression du type
(4.2.3)
valable en tout point de l’espace euclidien tridimensionnel.
L’exposant de propagation est désormais un vecteur
où (4.2.4)
avec, en général, trois composantes qui dépendent de la direction de propagation (coor-
donnés sphériques contenues dans le vecteur unitaire ).
Donc une expression complète pour le champ électrique (vecteur ) d’une onde EM
pourrait être :
(4.2.5)
où l’ona acceptéqueles amplitudes et phasesde chaquecomposante cartésienne peuvent
être quelconques. Une expression tout à fait identique s’appliquerait au champ magné-
tique.
Une onde EM dont les champs électrique et magnétique sont donnés par des expres-
sions du type (4.2.5) est appelée onde plane. En effet, les champs ont une amplitude
constante en tout point de l’espace et la direction de propagation est aussi un vec-
teur fixe. La seule dépendance avec les coordonnés apparaît dans le terme exponentiel
donnant la phase de l’onde. Tous les points situés dans des plans cste, perpendi-
culaires à , ont la même phase. Donc les surfaces équiphases sont des plans parallèles
et l’onde est appelé “plane”.
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Il est remarquable de constater que la notation phaseur permet de maintenir une écri-
ture très compacte. Le prix est de devoir introduire une entité mathématique hybride
(4.2.6)
qui est appelée vecteur complexe ou vecteur-phaseur et qui doit être interprétée comme
un vecteur dont les composantes cartésiennes sont des nombres complexes. L’étude
détaillée des propriétés mathématiques de ces vecteurs-phaseurs est très importante en
électromagnétisme et fera l’objet des sections suivantes.
4.3 Polarisation des champs
Considérons le vecteur-phaseur donnant l’amplitude du champ d’une onde plane. On peut
développer l’équation (4.2.6) comme :
(4.3.1)
Donc, un vecteur-phaseur peut être vu comme un vecteur dont les composantes sont des
nombres complexes mais aussi comme un nombre complexe dont la partie réelle et ima-
ginaire sont des vecteurs.
Ce dernier point de vue est très intéressant. En effet, on revient au domaine temporel
comme suivant :
(4.3.2)
et on voit que le champ est une combinaison linéaire des deux vecteurs et . Il doit
donc rester à tout moment dans le plan formé par ces deux vecteurs. On peut maintenant
se demander quelleest la variation temporelle de ce champ, c’est à dire quelle est la figure
décrite par l’extrémité du vecteur champ en fonction du temps. On appelle ce phénomène
polarisation du champ.
Le premier constat est que cette figure géométrique sera la même en tout point de l’es-
pace, car on peut compenser un changement dans en changeant l’origine de temps.
Prenons alors — pour simplifier le calcul — le point ,où
(4.3.3)
On voit alors qu’il existe une relation immédiate entre les parties réelle et imaginaire du
vecteur-phaseur et les valeurs temporelles du champ, car
(4.3.4)
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4.4 L’onde plane solution des équations de Maxwell
où l’instant (un quart de la période) correspond à . Alors, on peut réécrire
équation (4.3.3) comme
(4.3.5)
Ceci est l’équation paramétrique d’une ellipse dont
et (4.3.6)
seraient deux demi-axes conjugués.
Donc, tout champ obéissant à l’équation (4.2.5) possède une polarisation elliptique.
Deux cas particuliers sont intéressants en technologie des télécommunications :
(a) Si les deux demi-axes conjugués sont perpendiculaires et de même longueur on a
une polarisation circulaire :
et (4.3.7)
(b) Si les deux demi-axes conjugués sont colinéaires, l’ellipse dégénère en droite et on
a une polarisation linéaire :
(4.3.8)
Dans le cas général l’ellipse est quelconque et ses demi-axes majeur et mineur ainsi que
son orientation dans l’espace doivent être déterminés.
4.4 L’onde plane solution des équations de Maxwell
Tout courant électrique variant dans le temps, représenté par une densité de courant
m2, est susceptible de générer un rayonnement électromagnétique. Si le courant
agit dans un milieu linéaire des propriétés ), le champ électromagnétique est
solution des équations de Maxwell :
(4.4.1)
Ces équations seraient celles qu’on devrait résoudre (avec les conditions initiales et aux
limites adéquates) pour trouver, par exemple, les champs générés par une antenne. Ici
on considérera plusieurs simplifications supplémentaires. Tout d’abord, on fera l’hypothèse
habituelle d’un régime harmonique qui permet le remplacement . Puis on renon-
cera à étudier la génération des ondes et on se limitera à décrire leur propagation à l’ex-
térieur des sources. Finalement, on commencera par considérer le cas simple d’un milieu
sans pertes à conductivité nulle . Donc, dans la région d’intérêt, il n’y a ni courants
de source ni courants de conduction et .
Alors, la version finale des équations de Maxwell à utiliser est :
(4.4.2)
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Il n’est pas difficile de remarquer déjà à ce stade la similitude avec les équations de télégra-
phistes. Il s’agiten fait d’unegénéralisationvectorielle et tridimensionellede ces équations.
Pour compléter le traitement mathématique, on prend d’abord la divergence des équa-
tions (4.4.2) avec le résultat :
(4.4.3)
Ces équations sont aussi associées au nom de Maxwell et elles montrent qu’en dehors
des sources les champs électrique et magnétique l’ont une divergence nulle.
Maintenant, en prenant le rotationnel des équations (4.4.2) et en tenant compte des
équations (4.4.3) et de certaines propriétés du calcul vectoriel on trouve :
(4.4.4)
Ce sont des équations de Helmholtz, parfaitement analogues aux équations d’onde trou-
vées pour la tension et le courant dans une ligne de transmission.
On peut enfin vérifier par substitution directe que les expressions postulées pour les
champs d’une onde plane (voir équation (4.2.5))
(4.4.5)
sont solution des équations de Helmholtz si l’on impose la condition
(4.4.6)
On confirme donc la validité de la formulation “onde plane” pour les champs électrique et
magnétique d’une onde EM.
4.5 Relation entre les champs électrique et magnétique
L’introduction desexpressions del’ondeplane(4.4.5) dans les équationsdeMaxwell(4.4.2)
et (4.4.3) fournit la série d’équations suivant, liant les vecteurs , , d’uneonde plane :
(4.5.1)
(4.5.2)
Avant d’interpréter physiquement ces équations il faut rappeler ici que tandis que
et est un vecteur purement réel, et sont des vecteurs-phaseurs complexes va-
riant dans le temps dans un plan fixe et avec une polarisation elliptique (section 4.3). Les
équations (4.5.1) et (4.5.2) s’écrivent en termes de vecteurs réels comme :
(4.5.3)
(4.5.4)
Donc, en tout moment du temps les trois vecteurs , , définissent un trièdre trirec-
tangle. Les champs électrique et magnétique se trouvent tous les deux dans le plan per-
pendiculaire (transversal) à l’exposant de propagationet donc à la direction de propagation
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