Variables aléatoires réelles discrètes Rappels et Compléments

HEC2
Fiche P1
Variables aléatoires réelles discrètes
Rappels et Compléments
1. Soient n1 , n2 et r 3 entiers. On pose n = n1 + n2 .
Une urne contient n1 boules blanches, n2 noires et r rouges, toutes indiscernables au toucher. Un joueur
tire une boule de l'urne au hasard. Si elle est blanche, il a gagné et le jeu s'arrête. Si elle est noire, il a
perdu et le jeu s'arrête. Si elle est rouge, il retire une autre boule et les règles s'appliquent aux tirages
suivants.
(a) On suppose dans cette question que si le joueur tire une boule rouge, il la remet dans l'urne avant
de procéder au tirage suivant. Calculer la probabilité qu'il a de gagner.
(b) On suppose désormais que si le joueur tire une boule rouge, il ne la remet pas dans l'urne avant de
procéder au tirage suivant.
On note pr la probabilité de gagner quand il y a r boules rouges dans l'urne de départ.
i. Calculer p0 et p1 .
ii. Trouver une relation de récurrence entre pr et pr−1 .
iii. En déduire la valeur de pr pour tout r > 1. Que constatez vous ?
2. Trois enfants jouent avec une balle. Lorsque A a la balle, il l'envoie à B avec une probabilité de 3/4 et
à C avec une probabilité de 1/4. Lorsque B a la balle, il l'envoie à A avec une probabilité de 3/4 et à C
avec une probabilité de 1/4. Lorsque C a la balle, il l'envoie toujours à B. On désigne par An (resp. Bn et
Cn ) l'événement :"A (resp. B,C) a la balle au lancer n" et an , bn et cn les probabilités correspondantes.


an
(a) On pose Xn =  bn . Montrer qu'il existe une matrice M carrée d'ordre 3 telle que Xn+1 = M Xn .
cn
(b) Diagonaliser M et calculer M n .
(c) Calculer les limites des suites a, b et c et vérier qu'elles sont indépendantes de l'enfant qui avait la
balle au début du jeu.
3. Oral ESCP
Une cour fermée est limitée par m murs, avec m > 2. On repeint chacun des murs avec une couleur tirée
au hasard parmi un stock de p couleurs diérentes (p > 2). Les choix des couleurs sont mutuellement
indépendants.
(a) De combien de façons diérentes peut-on repeindre l'ensemble de ces murs ?
(b) i. Dans cette question on suppose que m = 2 (les murs ne sont pas rectilignes). Quelle est la
probabilité que ces 2 murs soient de couleur diérente ?
ii. Dans cette question on suppose que m = 3. Quelle est la probabilité que 2 murs ne soient jamais
de la même couleur ?
(c) On suppose désormais m quelconque et on note am,p le nombre de façons de repeindre les m murs
de sorte que 2 murs consécutifs quelconques ne soient jamais de la même couleur. Montrer que l'on
a, pour tout m > 2 :
am+2,p = (p − 2)am+1,p + (p − 1)am,p
(On envisagera les cas où les murs 1 et m + 1 sont de même couleur et de couleur diérente)
En déduire que :
am,p = (p − 1)m + (−1)m (p − 1)
Calculer alors la probabilité πm,p que 2 murs consécutifs quelconques ne soient jamais de la même
couleur.
(d) i. Quelle est la limite de (πm,p ), lorsque p est xé et m tend vers l'inni ?
ii. Quelle est la limite de (πm,p ), lorsque m est xé et p tend vers l'inni ?
iii. Quelle est la limite de (πm,m ), lorsque m tend vers l'inni ?
4. Une urne contient une proportion p de boules blanches et q = 1 − p de boules noires avec 0 < p < 1.
On eectue des tirages successifs d'une boule de cette urne, avec remise de la boule obtenue à un tirage
quelconque avant le tirage suivant, jusqu'à obtenir 2 fois de suite la même couleur et on cesse alors les
tirages. On note X le nombre de tirages ainsi eectués.
(a) Quelle est la probabilité d'obtenir 2 fois une blanche aux 2 premiers tirages ? idem avec 2 noires. En
déduire P (X = 2).
(b) Calculer la probabilité de [X = 3].
(c) Plus généralement, déterminer pour tout k > 2, P (X = k)
(On distinguera les cas k pair et k impair)
(d) Vérier que
+∞
X
P (X = k) = 1.
k=2
(e) Montrer que X admet une espérance et la calculer.
5. ESCP 2001
Soit n un entier naturel pair supérieur à 2. On considère 2 variables aléatoires X1 et X2 indépendantes
suivant une même loi uniforme sur [[1, n]].
(a) Soit a un entier de [[1, n]] et Y la variable aléatoire dénie par :
Y (ω) =
X1 (ω) si X2 (ω) 6 a
X2 (ω) si X2 (ω) > a
i. Déterminer la loi de Y (Vérier qu'il s'agit bien d'une loi).
ii. Calculer l'espérance de Y et la comparer à celle de X1 .
iii. Pour quelle valeur de a cette espérance est-elle maximale ?
(b) Soient a et b 2 entiers de [[1, n]]. On dénit la variable Z par :

X2 (ω) 6 a
 X1 (ω) si
X2 (ω) si a < X2 (ω) 6 b
Z(ω) =

X1 (ω) si
X2 (ω) > b
Déterminer la loi de Z et son espérance.
6. Oral ESCP 2002
(a) Soit X une v.a.r. prenant ses valeurs dans N.
i. Montrer que pour tout n ∈ N∗ ,
n
X
kP (X = k) =
k=0
n−1
X
P (X > k) − nP (X > n)
k=0
ii. On suppose que la variable X admet une espérance. Montrer que pour tout entier n,
0 6 nP (X > n) 6
+∞
X
kP (X = k)
k=n+1
.
En déduire que la série de terme général P (X > n) converge et que
+∞
X
P (X > n) = E(X)
n=0
.
iii. Réciproquement, on suppose que la série de terme général P (X > n) converge.
Montrer que la série de terme général nP (X = n) converge et que X admet une espérance.
(b) Un horticulteur plante n (non nul) oignons de narcisse dans un jardin. Chaque oignon est susceptible
de eurir au printemps et donne une eur avec la probabilité p; de plus s'il donne une eur une
année, il reeurit de manière certaine les années suivantes, mais s'il n'en donne pas, cela n'inue en
rien sur ce qui est susceptible de se passer les années suivantes.
Pour tout j compris entre 1 et n, on note Xj le nombre d'années nécessaires au narcisse j pour
produire une première eur. Les variables que Xj sont mutuellement indépendantes.
On note X le nombre d'années au bout duquel le jardin sera, pour la première fois, euri de n
narcisses.
i. Exprimer X en fonction des Xj et calculer P (X > k) pour k entier.
ii. En déduire que X admet une espérance et exprimer cette espérance sous la forme de la somme
d'une série.
7. (extrait EDHEC 2009)
Soient (Xi )i∈N une suite de v.a.r. dénies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P )et N une v.a.r. discrète
à valeur dans N.
On pose Z = Sup (X0 , X1 , . . . , XN ). Montrer que Z est une v.a.r.
8. Soit n un entier non nul et F la fonction dénie par

x 6 0
F (x) = 0



k
k k+1
x ∈ n ; n (k ∈ N, k 6 2n − 1) F (x) = n

2
2
2


x>1
F (x) = 1
Montrer que F est une fonction de répartition d'une v.a.r.d. X qui prend un nombre ni de valeurs, et
dont on précisera la loi. Calculer son espérance, sa variance.
9. (a) Montrer que la série double
j > 2.
(b) On pose an,p =
P
ai,j est convergente et calculer sa somme avec ai,j =
1
pour i > 2 et
ij
+∞ X
+∞
+∞ X
+∞
X
X
1
si
n
=
6
p
et
a
=
0
.
Calculer
a
et
an,p . Conclure.
n,n
n,p
n2 − p 2
n=0 p=0
p=0 n=0
(c) Montrer que la série double
P
ai,j est convergente et calculer sa somme avec ai,j =
(i + j)
.
i!j!2i+j
10. Soit α un réel positif. Pour n et p entiers naturels non nuls, on considère la série double dénie par
X
1
an,p = 2
. On pose pour tout k ∈ N∗ , uk =
an,p .
2 α
(n + p )
16n6k
16p6k
(a) Montrer que pour tout k ∈ N∗ , on a
2k + 1
2k + 1
6 uk+1 − uk 6
2α
+ 1)
(k + 1)2α
2α (k
(b) On suppose que α 6 1. Montrer que la série de terme P
général uk+1 − uk diverge. En déduire que la
suite u diverge vers +∞. Montrer que la série double an,p diverge.
P
(c) On suppose α > 1. Montrer que la suite u converge et en déduire que la série double an,p converge.
11. (a) Soit la suite (an ) dénie pour n > 0 par an =
de chacune des séries
P
an et
P
nan .
1
. Déterminer la nature et la somme éventuelle
n(n + 1)
1
2
(c) Que peut-on dire de la famille d'événements (An ) avec An = [X = n] ∪ [X = −n] pour n > 0 ?
(b) Montrer qu'il existe une variable aléatoire X à valeurs dans Z∗ telle que P (X = n) = a|n| .
(d) Montrer que l'espérance conditionnelle de X sachant An existe pour tout n ∈ N ∗ et la calculer.
(e) Montrer que la série de terme général E(X|An )P (An ) est absolument convergente et calculer sa
somme.
(f) La variable X admet-elle une espérance ?
12. Des pièces manufacturées sont numérotées 1, 2, · · · , n, · · · . Certaines pièces sont défectueuses et on procède
à un contrôle aléatoire de la production.
On note Xn (resp. Yn ) la variable de Bernoulli égale à 1 si la pièce est défectueuse (resp. contrôlée). On
suppose toutes les variables Xn (resp. Yn ) de même paramètre a (resp. b).
Enn, toutes les variables Xn (resp. Yn ) indépendantes mutuellement et les variables Xi indépendantes
des variables Yj .
(a) On pose Zn = Xn Yn , pour n > 1.
i. Donner la loi de Zn et interpréter Zn .
ii. Montrer que les variables Zn sont indépendantes.
(b) On pose Sn =
n
X
k=1
Xk et Tn =
n
X
Yk .
k=1
i. Interpréter Sn et Tn .
ii. Déterminer les lois de Sn et Tn .
iii. Donner sans calcul les espérances et variances de Sn et Tn .
(c) On note R, la v.a.r. égale au rang d'apparition de la première pièce défectueuse et contrôlée.
i. Donner la loi de R. Rappeler E(R) et V (R).
ii. Soit n et k 2 entiers tels que 1 6 k < n. Calculer P[R=n] (Xk = 1). Que vaut P[R=n] (Xk = 1)
pour k = n et k > n ?
(d) Soit U la v.a.r. égale au nombre de pièces défectueuses non décelées, avant que la première pièce
défectueuse ne soit contrôlée.
i. Déterminer la loi conditionnelle de U sachant [R = n].
ii. Donner la valeur de l'espérance conditionnelle E(U |[R = n]).
P
iii. Montrer que la série P (R = n)E(U |[R = n]) est convergente.
iv. En déduire E(U ).