Feuille TD 2 : variables aléatoires discrètes, lois de probabilités

Université de Nice-Sophia Antipolis -L2 MASS - Probabilités
Feuille TD 2 : variables aléatoires discrètes,
lois de probabilités discrètes
:
On lance deux dés à 6 faces. Donner la loi de la somme des deux résultats obtenus.
Exercice 1
:
Etant donnés un espace de probabilité ni (Ω, P) et un événement A de probabilité P(A) = p,
donner la loi de la variable aléatoire indicatrice de A : pour ω ∈ Ω,
Exercice 2
1A (ω) = 1 si ω ∈ A
1A (ω) = 0 si ω ∈
6 A.
Exercice 3
On procède à N lancers successifs d'une pièce déséquilibrée de paramètre de succès 0 < p < 1.
Donner la loi du nombre de succès.
Exercice 4
Une urne contient n boules rouges et N − n noires. On tire, sans remise, p boules parmi les N .
Donner la loi du nombre de boules rouges tirées.
:
Etant donnée une variable aléatoire X de loi uniforme sur {1, ..., N } (dénie sur un espace de
probabilité ni (Ω, P)), donner les lois de N + 1 − X et de X/N .
On suppose N = 2n. On construit alors la variable aléatoire ∀ω ∈ Ω, Y (ω) = bX(ω)/2c,
où b·c désigne la partie entière. Donner la loi de Y .
Exercice 5
Exercice 6
On rappelle qu'une variable aléatoire H est dite de loi hypergéométrique de paramètres N , n
et r si
Cnk CNr−k
−n
P{H = k} =
,
CNr
max(n − N + r, 0) ≤ k ≤ min(n, r).
Que dire de la limite de P{H = k} lorsque N tend vers l'inni et n/N tend vers p ∈]0, 1[ ? (Le
paramètre r étant xé.)
Exercice 7
En considérant l'espace produit {0, 1}N , donner une modélisation du lancer de N pièces déséquilibrées de paramètre p ∈]0, 1[. Donner alors la loi de la variable aléatoire :
N
T : ω = (ω1 , . . . , ωN ) ∈ {0, 1} 7→
Que représente T ?
k si ω1 = · · · = ωk−1 = 0 et ωk = 1,
N + 1 si ω1 = · · · = ωN = 0.
Exercice 8
Soit l'expérience aléatoire qui consiste à lancer indéniment un dé non pipé. Soit X la variable
aléatoire qui indique le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le numéro 3.
1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X .
2. Calculer la probabilité d'obtenir le numéro 3 pour la première fois au 12e lancer.
Exercice 9
Plus de 50 millions de personnes ont séjourné en chambres d'hôte l'année dernière. Le site
web nord-américain de Bed and Breakfast Inns, qui reçoit en moyenne 7 visiteurs par minute,
permet à de nombreux B&B d'attirer des clients.
1. Calculer la probabilité qu'aucun visiteur ne se connecte au site web durant une période
d'une minute.
2. Calculer la probabilité qu'au moins deux visiteurs se connectent au site durant une période
d'une minute.
3. Calculer la probabilité qu'au moins un visiteur se connecte au site web durant une période
de 30 secondes.
4. Calculer la probabilité qu'au moins cinq visiteurs se connectent au site web durant une
période d'une minute.
Exercice 10
En 2009, le taux de fréquence d'accidents par million d'heures travaillées sur le chantier de
l'EPR de Flamanville était de 39.7 (source France Inter, 06/10/2013). On note X le nombre
d'accidents qui se produiront au cours des prochaines 100 000 h. de travail. Quelle est la loi de
X ? (on suppose que le taux de fréquence d'accidents ne change pas).