Devoir surveillé n°4 de mathématique

Lycée Chrestien de Troyes DS n°4 de mathématique MP1617
Devoir surveillé n°4 de mathématique
Jeudi 24 novembre (4 heures)
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En
particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Vous êtes invité à enca-
drer les résultats de vos calculs.
Si vous êtes amené à repérer ce qui peut vous sembler être une erreur d’énoncé, vous le si-
gnalerez sur votre copie et devrez poursuivre votre composition en expliquant les raisons des
initiatives que vous avez été amené à prendre.
Exercice 1 −Sommabilité et somme de la famille µi+j
2i+j¶(i,j)∈N2
1. Soit x∈]−1;1[. Démontrer que la série X
n≥0
n(n+1)xnest convergente.
2. Soit n∈N. On pose
¯¯¯¯¯¯¯
fn: ]−1;1[ →R
x7→
n
X
k=0
xk+1.
Justifier que la fonction fnest C∞sur ] −1;1[, puis déterminer deux expressions de
f00
n(x), pour tout x∈]−1;1[.
3. Déduire de la question 2la valeur de la somme
+∞
X
n=0
n(n+1)xn, pour tout x∈]−1;1[.
4. Énoncer le théorème de sommation par paquets pour une famille ¡ai,j¢(i,j)∈N2de nombres
réels positifs ou nuls.
5. Démontrer que la famille µi+j
2i+j¶(i,j)∈N2est sommable et calculer sa somme.
Exercice 2 −Calcul de
+∞
X
n=2
(ζ(n)−1)
Dans cet exercice, zest un nombre complexe tel que |z| < 2 et ¡un,p¢est la famille de nombres
complexes définies pour net pentiers naturels, n≥2, p≥2 par :
un,p=zn
pn.
On pose pour tout réel x∈]1;+∞[, ζ(x)=
+∞
X
p=1
1
px.
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1. Énoncer le théorème de Fubini pour une famille ¡an,m¢de nombres complexes, in-
dexée par N≥2×N≥2.
2. 2.(a) Justifier que, pour tout p≥2, la série X
n≥2
un,pest absolument convergente et
calculer
Sp:=
+∞
X
n=2¯¯¯¯
zn
pn¯¯¯¯
.
2.(b) En déduire que la famille ¡un,p¢de nombres complexes est sommable.
3. 3.(a) Démontrer : +∞
X
p=2
z2
p(p−z)=
+∞
X
n=2
zn(ζ(n)−1).
On justifiera l’existence de ces deux sommes au cours de l’étude.
3.(b) En déduire la valeur de
+∞
X
n=2
(ζ(n)−1).
Exercice 3 −Majoration de fgrâce à f00
Soient a,bdes nombres réels tels que a<b. Soit f: [a;b]→Rune fonction de classe C2sur
[a;b] telle que f(a)=f(b)=0.
1. Justifier l’existence du nombre réel M:=sup
x∈[a;b]¯¯f00(x)¯¯.
2. Soit la fonction ¯¯¯¯¯¯
p: [a;b]→R
x7→ M
2(x−a)(b−x).
Étudier la concavité/convexité des fonctions f+pet f−p.
3. En déduire que :
∀x∈[a;b], |f(x)| ≤ M
2(x−a)(b−x)≤M(b−a)2 8.
Exercice 4 −Autour de l’inégalité arithmético-géométrique
1. Soit Iun intervalle de R. Soit une fonction f:I→R. Rappeler la définition de l’asser-
tion : fest concave sur I.
2. Démontrer que la fonction logarithme népérien est concave sur R>0.
3. Démontrer l’inégalité arithmético-géométrique, qui s’énonce comme suit.
∀n∈N≥2,∀(x1,...,xn)∈¡R+¢n,Ãn
Y
i=1
xi!1
n
≤1
n
n
X
i=1
xi.
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4. Soit A∈Mn(R) une matrice bistochastique, i.e. telle que :
•les coefficients de Asont positifs ou nuls ;
•la somme des coefficients de chaque ligne de Avaut 1 ;
•la somme des coefficients de chaque colonne de Avaut 1.
Soit X=
x1
.
.
.
xn
∈Mn,1(R). On suppose que les nnombres réels x1,..., xnsont positifs
ou nuls. On pose également Y=AX =
y1
.
.
.
yn
.
Démontrer :
n
Y
i=1
xi≤
n
Y
i=1
yi.
5. Expliquer comment le résultat de la question 4permet de retrouver l’inégalité arithmético-
géométrique.
Problème −Point fixe d’une fonction
Soient a,bdes nombres réels tels que a<b. Soit f: [a;b]→Rune fonction telle que f([a;b]) ⊂
[a;b]. On considère la suite (un)n∈Ndéfinie par la donnée de u0∈[a;b] et la relation de ré-
currence
un+1=f(un)
valable pour tout n∈N. On rappelle qu’un point fixe de f est une solution de l’équation
f(x)=x
d’inconnue x∈[a;b].
1. On suppose dans cette question 1que fest dilatante, i.e. que :
∀(x,y)∈[a;b]2,|f(x)−f(y)|≥|x−y|.
Démontrer que la suite (un)n∈Nconverge si et seulement si u0est un point fixe de f
(i.e. si et seulement si la suite (un)n∈Nest constante).
2. On suppose dans tout la question 2que fest contractante, i.e. que :
∃k∈[0,1[ , ∀(x,y)∈[a;b]2,|f(x)−f(y)| ≤ k|x−y|.
On se propose de démontrer que fpossède un unique point fixe.
2.(a) Démontrer que si fadmet un point fixe, alors celui-ci est unique.
2.(b) Démontrer que fest continue sur [a;b].
2.(c) Démontrer que pour tout n∈N:
|un+1−un| ≤ kn|u1−u0|.
2.(d) Démontrer que la série Xun+1−unconverge absolument.
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2.(e) En déduire que la suite (un)n∈Nconverge vers un point fixe de f.
3. 3.(a) Énoncer le théorème des accroissement finis.
3.(b) On suppose dans cette question 3.(b) que fest de classe C1sur [a;b] et que :
∀x∈[a;b], ¯¯f0(x)¯¯<1.
Démontrer que fpossède un unique point fixe.
4. On suppose dans cette question 4qu’il existe p∈N∗tel que fpest contractante, où
fpdésigne l’itérée p-ième de f. Démontrer que fpossède un unique point fixe.
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