Devoir surveillé n°4 de mathématique

Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
DS n°4 de mathématique
Devoir surveillé n°4 de mathématique
Jeudi 24 novembre (4 heures)
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En
particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Vous êtes invité à encadrer les résultats de vos calculs.
Si vous êtes amené à repérer ce qui peut vous sembler être une erreur d’énoncé, vous le signalerez sur votre copie et devrez poursuivre votre composition en expliquant les raisons des
initiatives que vous avez été amené à prendre.
i+j
Exercice 1 − Sommabilité et somme de la famille i + j
2
µ
1. Soit x ∈] − 1 ; 1[. Démontrer que la série
X
¶
(i , j )∈N2
n (n + 1) x n est convergente.
n≥0
2. Soit n ∈ N. On pose
¯
¯ f
¯ n
¯
¯
¯
¯
:
] − 1 ; 1[ →
x
n
X
7→
R
x k+1 .
k=0
Justifier que la fonction f n est C ∞ sur ] − 1 ; 1[, puis déterminer deux expressions de
f n00 (x), pour tout x ∈] − 1 ; 1[.
3. Déduire de la question 2 la valeur de la somme
+∞
X
n (n + 1) x n , pour tout x ∈] − 1 ; 1[.
n=0
¡
¢
4. Énoncer le théorème de sommation par paquets pour une famille a i , j (i , j )∈N2 de nombres
réels positifs ou nuls.
µ
¶
i+j
est sommable et calculer sa somme.
5. Démontrer que la famille i + j
2
(i , j )∈N2
Exercice 2 − Calcul de
+∞
X
(ζ(n) − 1)
n=2
¡
¢
Dans cet exercice, z est un nombre complexe tel que |z| < 2 et u n,p est la famille de nombres
complexes définies pour n et p entiers naturels, n ≥ 2, p ≥ 2 par :
u n,p =
On pose pour tout réel x ∈ ]1; +∞[, ζ(x) =
+∞
X
zn
.
pn
1
.
x
p=1 p
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¡
¢
1. Énoncer le théorème de Fubini pour une famille a n,m de nombres complexes, indexée par N≥2 × N≥2 .
2. 2.(a) Justifier que, pour tout p ≥ 2, la série
X
u n,p est absolument convergente et
n≥2
calculer
+∞
X ¯ zn
S p :=
n=2
¯ ¯
¯
¯ ¯.
¯ pn ¯
¡
¢
2.(b) En déduire que la famille u n,p de nombres complexes est sommable.
3. 3.(a) Démontrer :
+∞
X n
z2
=
z (ζ(n) − 1) .
p=2 p(p − z)
n=2
+∞
X
On justifiera l’existence de ces deux sommes au cours de l’étude.
+∞
X
3.(b) En déduire la valeur de
(ζ(n) − 1).
n=2
Exercice 3 − Majoration de f grâce à f 00
Soient a, b des nombres réels tels que a < b. Soit f : [a ; b] → R une fonction de classe C 2 sur
[a ; b] telle que f (a) = f (b) = 0.
¯
¯
1. Justifier l’existence du nombre réel M := sup ¯ f 00 (x)¯.
x∈[a ;b]
2. Soit la fonction
¯
¯ p
¯
¯
¯
¯
:
R
M
(x − a)(b − x).
2
[a ; b] →
x
7→
Étudier la concavité/convexité des fonctions f + p et f − p.
3. En déduire que :
∀ x ∈ [a ; b],
| f (x)| ≤
M
(b − a)2
(x − a)(b − x) ≤ M
.
2
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Exercice 4 − Autour de l’inégalité arithmético-géométrique
1. Soit I un intervalle de R. Soit une fonction f : I → R. Rappeler la définition de l’assertion : f est concave sur I .
2. Démontrer que la fonction logarithme népérien est concave sur R>0 .
3. Démontrer l’inégalité arithmético-géométrique, qui s’énonce comme suit.
Ã
∀n ∈ N≥2 ,
¢
+ n
∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ R
¡
,
n
Y
i =1
2/4
!1
n
xi
≤
n
1X
xi .
n i =1
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4. Soit A ∈ Mn (R) une matrice bistochastique, i.e. telle que :
• les coefficients de A sont positifs ou nuls ;
• la somme des coefficients de chaque ligne de A vaut 1 ;
• la somme
 des coefficients de chaque colonne de A vaut 1.
x1
 .. 
Soit X =  .  ∈ Mn,1 (R). On suppose que les n nombres réels x 1 , . . . , x n sont positifs
xn

y1
 . 
ou nuls. On pose également Y = AX =  .. .

yn
Démontrer :
n
Y
i =1
xi ≤
n
Y
yi .
i =1
5. Expliquer comment le résultat de la question 4 permet de retrouver l’inégalité arithméticogéométrique.
Problème − Point fixe d’une fonction
Soient a, b des nombres réels tels que a < b. Soit f : [a ; b] → R une fonction telle que f ([a ; b]) ⊂
[a ; b]. On considère la suite (u n )n∈N définie par la donnée de u 0 ∈ [a ; b] et la relation de récurrence
u n+1 = f (u n )
valable pour tout n ∈ N. On rappelle qu’un point fixe de f est une solution de l’équation
f (x) = x
d’inconnue x ∈ [a ; b].
1. On suppose dans cette question 1 que f est dilatante, i.e. que :
∀ (x, y) ∈ [a ; b]2 ,
| f (x) − f (y)| ≥ |x − y|.
Démontrer que la suite (u n )n∈N converge si et seulement si u 0 est un point fixe de f
(i.e. si et seulement si la suite (u n )n∈N est constante).
2. On suppose dans tout la question 2 que f est contractante, i.e. que :
∃ k ∈ [0, 1[ ,
∀ (x, y) ∈ [a ; b]2 ,
| f (x) − f (y)| ≤ k |x − y|.
On se propose de démontrer que f possède un unique point fixe.
2.(a) Démontrer que si f admet un point fixe, alors celui-ci est unique.
2.(b) Démontrer que f est continue sur [a ; b].
2.(c) Démontrer que pour tout n ∈ N :
|u n+1 − u n | ≤ k n |u 1 − u 0 |.
2.(d) Démontrer que la série
X
u n+1 − u n converge absolument.
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2.(e) En déduire que la suite (u n )n∈N converge vers un point fixe de f .
3. 3.(a) Énoncer le théorème des accroissement finis.
3.(b) On suppose dans cette question 3.(b) que f est de classe C 1 sur [a ; b] et que :
∀ x ∈ [a ; b],
¯ 0 ¯
¯ f (x)¯ < 1.
Démontrer que f possède un unique point fixe.
4. On suppose dans cette question 4 qu’il existe p ∈ N∗ tel que f p est contractante, où
f p désigne l’itérée p-ième de f . Démontrer que f possède un unique point fixe.
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