Cours de 3ème

Cours de 3ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai
1 | P a g e
Chapitre GM1 : Agrandissement-réduction
1/ Homothéties
2/ Effet sur les angles 
3/ Effet sur les aires et volumes 
1/ Homothéties
a/ Définition
On appelle homothétie de centre O et de rapport k (k nombre non nul) la transformation
qui, à tout point M, associe le point M' tel que :
 O, M et M' sont alignés ;
Si k > 0
O n'appartient pas au segment [MM'] et OM' = k x OM
Si k < 0
O appartient au segment [MM'] et OM' = -k x OM
Exemple :
M'
x
x
M
x
O
x
M"
M' est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport 2.
M" est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport - 2.
b/ Propriété
O
A
B
C
A’
B’
C’
Image du triangle ABC par l’homothétie
de centre O et de rapport 2.
Le triangle A’B’C’ est un agrandissement du triangle
ABC (coefficient = 2).
On peut encore dire que :
Le triangle ABC est une réduction du triangle A’B’C’
(coefficient = 1/2).

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Propriété :
Une homothétie de rapport k permet d'agrandir ou de réduire une figure.
Le coefficient d'agrandissement ou de réduction est alors :
 égal à k si k > 0 ;
 égal à l'opposé de k si k<0.
2/ Effet sur les angl
Propriété :
Aréduction, les mesures des angles sont conservées.
3/ Effet sur les aires et volumes d
Propriété :
multipliées par un même nombre k>0, alors les aires sont multipliées par k2 et les volumes par k3.
Illustration :
Le rectangle ABCD a des dimensions triples de celles
de A’B’C’D.
Son aire est égale à 9 fois celle de ABCD (9=3²).
A
B
C
D
A’
B’
C’
Le grand cube 
du petit cube.
Son volume est égale à 8 fois celui du petit cube (23=8).

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Chapitre G1 : Le théorème de Thalès et sa réciproque
1/ Agrandissement - réduction
2/ Le théorème de Thalès
3/ Des applications du théorème de Thalès
a/ 
b/ Prouver que deux droites ne sont pas parallèles
4/ La réciproque du théorème de Thalès
a/ Enoncé
b/ Un exemple
1/ Agrandissement - réduction
Agrandir ou réduire une figure consiste à multiplier toutes ses longueurs par un même nombre k
strictement positif.
Vocabulaire :  Si k>1, la figure est agrandie. Il s'agit d'un agrandissement.
Le nombre k s'appelle alors le coefficient d'agrandissement.
 Si 0<k<1, la figure est réduite. Il s'agit d'une réduction.
Le nombre k s'appelle alors le coefficient de réduction.
 Si k = 1, la figure est reproduite. Il s'agit d'une reproduction.
2/ Le théorème de Thalès
THEOREME DE THALES :
Soient (d) et (d) deux droites sécantes en un point A.
Soient B et M deux points de la droite (d) distincts de A.
Soient C et N deux points de la droite (d) distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors : 
Autre formulation :
 :
est un tableau de
proportionnalité.
Sur droite (d)
Sur droite (d')
Droites parallèles
Côtés de AMN
AM
AN
MN
Côtés de ABC
AB
AC
BC

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Configurations possibles :
3/ Des applications du théorème de Thalès
a/ 
On considère la figure suivante :
A
B
C
M
N
(d)
(d’)
4
6
5
?
A
B
C
M
N
(d)
(d’)
A
B
C
M
N
A
B
C
M
N
(d)
(BC) // (MN).
On donne : AB = 4 ;
AM = 6 ;
AC = 5.
Calculer AN.
(d’)
(d)
(d’)
* Le triangle ABC est un agrandissement du triangle AMN
(toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre
supérieur à 1).
* Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC
(toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre
compris entre 0 et 1).
* Les triangles ABC et AMN ont les mêmes angles.
* Le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC
(toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre
supérieur à 1).
* Le triangle ABC est une réduction du triangle AMN
(toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre
compris entre 0 et 1).
* Les triangles ABC et AMN ont les mêmes angles.
* Le triangle AMN est un agrandissement ou une
réduction du triangle ABC (selon les mesures de la figure).
* Les triangles ABC et AMN ont les mêmes angles.

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Les droites (BM) et (NC) sont sécantes en A.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
 : 
On remplace : 
On en déduit que : AN = 
 =7,5 (d'après l'égalité des produits en croix)
Autre façon de rédiger :
Les droites (BM) et (NC) sont sécantes en A.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
On peut affirmer que le triangle AMN est un agrandissement du triangle
ABC.
 :
 1,5.
Ainsi, les côtés du triangle AMN sont 1,5 fois plus grands que ceux du
triangle ABC.
En particulier : AN = 1,5 x AC = 1,5 x 5 = 7,5.
b/ Prouver que deux droites ne sont pas parallèles
On considère la figure suivante :
Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A.
On a : 
On constate que : 
 .
on aurait : 
 .
Donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
A
B
C
M
N
(d)
(d’)
On donne : AB = 5 ;
AM = 4 ;
AC = 4,8 ;
AN = 3,2.
(MN) et (BC) sont-elles parallèles ?