Chapitre 05 – Les nombres complexes

Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie
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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 05 – Les nombres complexes
Première partie
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
( )
O;Ä OI ;Ä OJ , appelé plan complexe.
Dans tout ce chapitre, a et b désignent des réels.
I. Forme algébrique d’un nombre complexe
1. Forme algébrique d’un nombre complexe. Affixe d’un point du plan.
Définitions :
A tout point M de coordonnées (a;b), on convient d’associer le nombre complexe
unique noté z
M
qui s’écrit z
M
=a+ib.
Réciproquement, à tout nombre complexe z=a+ib, on convient d’associer dans le
plan un point M et un seul de coordonnées (a;b).
L’ensemble de tous les nombres complexes est noté IC.
L’écriture z=a+ib avec a et b réels est appelée forme algébrique de z.
a est la partie réelle de z et on note a=Re(z)
b est la partie imaginaire de z et on note b=Im(z)
Cas particuliers :
• Si Im(z)=0, alors z=a+i×0 cad z=a.
Ainsi, tout nombre réel est un nombre complexe (IR┤ IC)
• Si Re(z)=0, alors z=ib. On dit que z est imaginaire pur.
Remarques :
• Si z
M
=a+ib et z
M′
=a′+ib′ alors : M=M′ñ z
M
=z
M′
ñ
a=a′
b=b′
• On ne peut pas comparer deux nombres complexes.
Interprétation graphique :
On dit que le point M de coordonnées ( a;b) a
pour affixe le nombre complexe z
M
=a+ib.
On dit que le point M est l’image de z
M
.
• Si z est un réel, son point image se situe sur
l’axe des abscisses (ou axe des réels).
• Si z est un imaginaire pur, son point image
se situe sur l’axe des ordonnées (ou axe des
imaginaires purs)
2. Affixe d’un vecteur.
Définition :
A tout vecteur Å u de coordonnées
a
b
, on convient d’associer le nombre complexe
unique noté z
Åu
qui s’écrit z
Åu
=a+ib.
Réciproquement, à tout nombre complexe z=a+ib, on convient d’associer dans le
plan le vecteur Å u de coordonnées
a
b
.
On dit que z
Åu
=a+ib est l’affixe du vecteur Å ude coordonnées
a
b
.
Remarque : z
Åu
=z
Åv
ñ Å u=Å v
Interprétation graphique :
z
Åu
=z
Ä
OM
=z
M

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3. Opposé d’un nombre complexe.
Définition :
L’opposé du nombre complexe
z=a+ib est le nombre complexe, noté
–z égal à –a−ib
Interprétation graphique :
• Soit M un point d’affixe z=a+ib.
L’opposé de z, noté –z est l’affixe du
point Q(-a;-b), symétrique de M par
rapport à l’origine O.
• Soit Å u d’affixe z
Åu
=a+ib.
Ainsi Å u a pour coordonnées
a
b
donc – Å u a pour coordonnées
-a
-b
et pour affixe
le complexe z
- Åu
=-a−ib. On retiendra z
- Åu
=-z
Åu
II. Règles de calculs dans IC
Somme:
z+z′=(a+ib)+(a′+ib′)=(a+a′)+i(b+b′)
Remarque :
z′−z=z′+(-z)
=(a′+ib ′)+(-a−ib)=(a′−a)+i(b′−b)
Interprétation graphique :
• Soit Å u et Å vdeux vecteurs d’affixes respectifs z
Åu
=z et z
Åv
=z′.
Alors Å u et Å v ont pour coordonnées respectives
a
b
et
a′
b′
.
Donc le vecteur Å u+Å v a pour coordonnées
a+a′
b+b′
donc pour affixe z
Åu+ Åv
=a+a′+i(b+b′). Ainsi z
Åu
+z
Åv
=z
Åu+ Åv
• Soit M et N deux points d’affixes respectives z
M
=z et z
N
=z′.
Alors M(a;b) et N(a′;b′) donc Ä MN
a′−a
b′−b
.
Donc Ä MN a pour affixe z
Ä
MN
=(a′−a)+i(b′−b)=a′+ib′−(a+ib).
Ainsi z
Ä
MN
=z
N
−z
M
Produit d’un nombre complexe par un réel k:
kz=k(a+ib)==ka+ikb
Interprétation graphique :
• Soit Å u d’affixe z
Åu
=z
Alors Å u a pour coordonnées
a
b
donc kÅ u
ka
kb
a pour affixe z
kÅu
=ka+ikb. Ainsi z
kÅu
=kz
Åu
.
• Soit M et P d’affixes respectives z
M
=z et z
P
=kz.
Alors z
Ä
OP
=z
P
=kz=kz
M
=kz
Ä
OM
=z
kÄ OM
d’où Ä OP =kÄ OM.
D’où P est l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport k.
Produit de deux nombres complexes :
Cas particuliers :
• Produit d’un réel par i:
La multiplication d’un nombre réel par i
correspond à une rotation de centre O et d’angle
π
2
Interprétation graphique :
Soit P(a;0) d’affixe z
P
=a
Soit Q(0;a) d’affixe z
Q
=ia=iz
P
Alors OP=OQ et
( )
Ä
OP ;Ä OQ =
π
2
(2π)
Donc Q est l’image de P par la rotation r de centre O et d’angle
π
2

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• Produit d’un imaginaire pur par i
On convient que la multiplication d’un imaginaire pur
par i correspond aussi à une rotation r de centre O et
d’angle
π
2
Généralisation :
zz′=(a+ib)(a′+ib′)=aa′+iab′+ia’b+i
2
bb′.
Or i
2
=-1 donc zz′=aa′−bb′+i(ab′+ba′)
Soit J(0;1) d’affixe z
J
=i
Alors K d’affixe z
K
=iz
J
=i
2
est l’image de J
par la rotation r de centre O et d’angle
π
2
. Or
ce point a pour coordonnées (-1;0) et donc
d’affixe -1. Ainsi on obtient i
2
=-1
Aucune interprétation géométrique
Inverse d’un nombre complexe :
Tout nombre complexe z non nul admet un inverse,
noté
1
z
=
1
a+ib
Aucune interprétation géométrique
Quotient de deux nombres complexes :
Si z est un nombre complexe non nul, on définit le
quotient
z′
z
par z′×
1
z
Aucune interprétation géométrique
Conséquences :
Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives z
A
, z
B
et z
C
.
• Le point I milieu de [ AB] est tel que Ä OI =
1
2
( )
Ä
OA +Ä OB donc a pour affixe z
I
=
z
A
+z
B
2
• G barycentre de (A,α),(B,β),(C,γ) est tel que Ä OG=
1
α+β+γ
( )
αÄ OA +βÄ OB +γÄ OC donc a pour affixe
z
G
=
αz
A
+βz
B
+γz
C
α+β+γ
• Méthode pour démontrer que trois points A, B et C d’affixes respectives z
A
, z
B
, z
C
sont alignés :
On considère les vecteurs Ä AC et Ä AB d’affixe z
C
−z
A
et z
B
−z
A
et en calculant k=
z
C
−z
A
z
B
−z
A
, on montre que k☻IR.
On peut en déduire ainsi que z
C
−z
A
=k
( )
z
B
−z
A
donc que Ä AC =kÄ AB
Ainsi les vecteurs Ä AC et Ä AB sont colinéaires et donc les points A, B et C sont alignés.
Remarque : même méthode pour montrer le parallélisme de deux droites.
III. Conjugué d’un nombre complexe
Définition :
Le conjugué du nombre complexe z=a+ib
est le nombre complexe a−ib noté Òz.
Remarques :
• z=z′ ñ Òz=¯z′
• Le conjugué de Òz est z cad Òz=z
• Soit M d’affixe z=a+ib .
Son symétrique M′ par rapport à l’axe des
abscisses a pour affixe le conjugué de z cad
Òz=a−ib.
• Les symétriques par rapport à l’axe des abscisses de deux points
confondus sont confondus.
• Si M′ est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses alors le
symétrique de M′ est M.

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Opérations sur les nombres conjugués :
Soient z=a+ib et z′=a′+ib′ alors Òz=a−ib.. Soit z′=a′+ib′ donc son conjugué est ¯z′ =a′−ib′.
Ainsi,
• z+Òz=2R e (z). Conséquence : z est imaginaire pur ñR e (z)=0ñ z+Òz=0 ñz=-Òz
• z−Òz=2iI m (z). Conséquence : z est réel Im (z)=0ñ z-Òz=0 ñz=Òz
• zÒz=(a+ib) (a−ib )=a
2
+b
2
. Remarque : zÒz☻IR
• Le conjugué d’une somme est la somme des conjugués : z+z′ =Òz+¯z′
• Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : zz′ =Òzׯz′
• Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués : si zý0,
z′
z
=
¯z′
Òz
Application du nombre conjugué : obtenir la forme algébrique d’un inverse ou d’un quotient :
Pour obtenir la forme algébrique de
1
z
ou
z′
z
, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z
(afin de rendre réel le dénominateur)
IV. Equations du second degré dans IC à coefficients réels
Soit l’équation a z
2
+bz+c=0 d’inconnue complexe z et où a, b et c sont des nombres réels avec a non nul.
Le discriminant de cette équation est le réel ∆=b
2
−4ac.
• Si ∆>0 alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : z
1
=
-b−∆
2a
et z
2
=
-b+∆
2a
.
• Si ∆=0 alors l’équation admet une solution réelle double : z
0
=-
b
2a
.
• Si ∆<0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : z
1
=
-b−i-∆
2a
et z
2
=
-b+i-∆
2a
V. Exercices
Pour tous ces exercices, lorsque c’est nécessaire, le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O;I;J)
Exercice 1
1. Par lecture graphique, déterminer l’affixe de chacun des points E, F,
G, H et K.
2. Pour chaque nombre complexe z
K
suivant, indiquer sa partie réelle, sa
partie imaginaire puis placer son point image M
K
dans le repère
orthonormal direct ci-contre :
z
1
=3+2i; z
2
=-3i;
z
3
=3i; z
4
=0; z
5
=-2−i
Exercice 2
A chaque nombre complexe z s’écrivant x+iy, où x et y sont des réels quelconques, on associe le nombre complexe Z=3x−y+i
Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que Z soit imaginaire pur. En déduire l’ensemble des points M d’affixe z
vérifiant la condition précédente.

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Exercice 3
1. Mettre sous forme algébrique chaque nombre complexe suivant puis identifier sa partie réelle et sa partie imaginaire :
z
1
=2+3i−4(3+5i) ; z
2
=
1
2
−4i−(3−2i) ; z
3
=(5−i)(7+4i) ; z
4
=(3−4i)(3+4i) ; z
5
=(2+3i)
2
2. Donner la forme algébrique de
1
i
, i
3
, i
4
et i
327
.
3. Calculer (1+i)
6
et (1+i)
8
Exercice 4
1. On donne F(4;0), G(3;-1) et H(-2;1). Déterminer les affixes des vecteurs Ä OF , Ä OG et Ä OH.
2. On considère les points A, B, C et I de coordonnées respectives (1;-3), (4;5), (-3;2) et (0;10).
(a) Quelles sont les affixes des points A, B et C et des vecteurs Ä AB , Ä AC et Ä BC .
(b) Soit D et E les points tels que Ä AD =2Ä AB +Ä AC et 3Ä BE =Ä BC .
Déterminer l’affixe de chacun des points D et E.
(c) Démontrer que A, D et E sont alignés.
(d) Démontrer que ( AB) et (CI) sont parallèles.
Exercice 5
Soient A, B, C, A′, B′, C′ d’affixes respectives z
A
=1−i, z
B
=2+3i, z
C
=3+i, z
A′
=-1+3i, z
B′
=3−i et z
C′
=4+i.
1. Montrer que Ä AA′+Ä BB′+Ä CC′= Å 0 .
2. Montrer que les centres de gravité G et G′ des triangles ABC et A′B′C′ sont confondus.
Exercice 6
Méthode : Pour résoudre une équation avec un nombre complexe z et son conjugué Òz, il faut écrire sous forme algébrique z=x+iy
(et donc Òz=x−iy) et résoudre alors un système d’équation d’inconnues x et y.
1. Résoudre dans IC l’équation : z
2
−2Òz+1=0
2. Résoudre dans IC l’équation : 2iz+(1−i)Òz+2=0
Exercice 7
1. Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : z
1
=
-5+i
3+2i
; z
2
=
1
4−3i
2. Mettre sous forme algébrique le conjugué Òz du complexe z dans chacun des cas suivants :
(a) z=3−4i (b) z=
1
1−i
(c) z=
3−i
1+i
Exercice 8
Soit f la fonction définie pour zý-3i par f(z)=
z−1+i
3−iz
. On pose z=x+iy où x et y sont réels.
1. Ecrire f(z) sous forme algébrique.
2. *Démontrer alors que l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit réel est un cercle privé d’un point dont on
précisera le centre et le rayon.
Exercice 9
Résoudre dans IC les équations suivantes : z
2
+2z+6=0 ; 9z
2
−6z+1=0
Exercice 10
1.
(a) Déterminer les réels a, b et c tels que z
3
−2z
2
+z−2=(z−2)
( )
az
2
+bz+c.
(b) Résoudre alors dans IC, z
3
−2z
2
+z−2=0.
2. Résoudre dans IC l’équation 2z
4
+3z
2
−2=0 (Aide : poser Z=z
2
)