Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie
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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 05 – Les nombres complexes
Première partie
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
( )
O;Ä
OI ;Ä
OJ , appelé plan complexe.
Dans tout ce chapitre, a et b désignent des réels.
I. Forme algébrique dun nombre complexe
1. Forme algébrique dun nombre complexe. Affixe dun point du plan.
Définitions :
A tout point M de coordonnées (a;b), on convient dassocier le nombre complexe
unique noté z
M
qui sécrit z
M
=a+ib.
Réciproquement, à tout nombre complexe z=a+ib, on convient dassocier dans le
plan un point M et un seul de coordonnées (a;b).
Lensemble de tous les nombres complexes est noté IC.
Lécriture z=a+ib avec a et b réels est appelée forme algébrique de z.
a est la partie réelle de z et on note a=Re(z)
b est la partie imaginaire de z et on note b=Im(z)
Cas particuliers :
Si Im(z)=0, alors z=a+i×0 cad z=a.
Ainsi, tout nombre réel est un nombre complexe (IR IC)
Si Re(z)=0, alors z=ib. On dit que z est imaginaire pur.
Remarques :
Si z
M
=a+ib et z
M
=a′+ib alors : M=M′ñ z
M
=z
M
ñ
a=a
b=b
On ne peut pas comparer deux nombres complexes.
Interprétation graphique :
On dit que le point M de coordonnées ( a;b) a
pour affixe le nombre complexe z
M
=a+ib.
On dit que le point M est limage de z
M
.
Si z est un réel, son point image se situe sur
laxe des abscisses (ou axe des réels).
Si z est un imaginaire pur, son point image
se situe sur laxe des ordonnées (ou axe des
imaginaires purs)
2. Affixe dun vecteur.
Définition :
A tout vecteur Å
u de coordonnées
a
b
, on convient dassocier le nombre complexe
unique noté z
Åu
qui sécrit z
Åu
=a+ib.
Réciproquement, à tout nombre complexe z=a+ib, on convient dassocier dans le
plan le vecteur Å
u de coordonnées
a
b
.
On dit que z
Åu
=a+ib est laffixe du vecteur Å
ude coordonnées
a
b
.
Remarque : z
Åu
=z
Åv
ñ Å
u=Å
v
Interprétation graphique :
z
Åu
=z
Ä
OM
=z
M
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3. Opposé dun nombre complexe.
Définition :
Lopposé du nombre complexe
z=a+ib est le nombre complexe, noté
z égal à –aib
Interprétation graphique :
Soit M un point daffixe z=a+ib.
Lopposé de z, noté z est laffixe du
point Q(-a;-b), symétrique de M par
rapport à lorigine O.
Soit Å
u daffixe z
Åu
=a+ib.
Ainsi Å
u a pour coordonnées
a
b
donc – Å
u a pour coordonnées
-a
-b
et pour affixe
le complexe z
- Åu
=-aib. On retiendra z
- Åu
=-z
Åu
II. Règles de calculs dans IC
Somme:
z+z′=(a+ib)+(a′+ib)=(a+a)+i(b+b)
Remarque :
z′−z=z′+(-z)
=(a′+ib )+(-aib)=(a′−a)+i(b′−b)
Interprétation graphique :
Soit Å
u et Å
vdeux vecteurs daffixes respectifs z
Åu
=z et z
Åv
=z′.
Alors Å
u et Å
v ont pour coordonnées respectives
a
b
et
a
b
.
Donc le vecteur Å
u+Å
v a pour coordonnées
a+a
b+b
donc pour affixe z
Åu+ Åv
=a+a′+i(b+b). Ainsi z
Åu
+z
Åv
=z
Åu+ Åv
Soit M et N deux points d’affixes respectives z
M
=z et z
N
=z.
Alors M(a;b) et N(a;b) donc Ä
MN
a′−a
b′−b
.
Donc Ä
MN a pour affixe z
Ä
MN
=(a′−a)+i(b′−b)=a′+ib′−(a+ib).
Ainsi z
Ä
MN
=z
N
z
M
Produit dun nombre complexe par un réel k:
kz=k(a+ib)==ka+ikb
Interprétation graphique :
Soit Å
u daffixe z
Åu
=z
Alors Å
u a pour coordonnées
a
b
donc kÅ
u
ka
kb
a pour affixe z
kÅu
=ka+ikb. Ainsi z
kÅu
=kz
Åu
.
Soit M et P daffixes respectives z
M
=z et z
P
=kz.
Alors z
Ä
OP
=z
P
=kz=kz
M
=kz
Ä
OM
=z
kÄ
OM
dÄ
OP =kÄ
OM.
D P est limage de M par lhomothétie de centre O et de rapport k.
Produit de deux nombres complexes :
Cas particuliers :
Produit dun réel par i:
La multiplication dun nombre réel par i
correspond à une rotation de centre O et dangle
π
2
Interprétation graphique :
Soit P(a;0) daffixe z
P
=a
Soit Q(0;a) daffixe z
Q
=ia=iz
P
Alors OP=OQ et
( )
Ä
OP ;Ä
OQ =
π
2
(2π)
Donc Q est limage de P par la rotation r de centre O et dangle
π
2
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Produit dun imaginaire pur par i
On convient que la multiplication dun imaginaire pur
par i correspond aussi à une rotation r de centre O et
dangle
π
2
Généralisation :
zz′=(a+ib)(a′+ib)=aa′+iab′+iab+i
2
bb.
Or i
2
=-1 donc zz′=aa′−bb′+i(ab′+ba)
Soit J(0;1) daffixe z
J
=i
Alors K daffixe z
K
=iz
J
=i
2
est limage de J
par la rotation r de centre O et dangle
π
2
. Or
ce point a pour coordonnées (-1;0) et donc
daffixe -1. Ainsi on obtient i
2
=-1
Aucune interprétation géométrique
Inverse dun nombre complexe :
Tout nombre complexe z non nul admet un inverse,
noté
1
z
=
1
a+ib
Aucune interprétation géométrique
Quotient de deux nombres complexes :
Si z est un nombre complexe non nul, on définit le
quotient
z
z
par z′×
1
z
Aucune interprétation géométrique
Conséquences :
Soient A, B et C trois points du plan daffixes respectives z
A
, z
B
et z
C
.
Le point I milieu de [ AB] est tel que Ä
OI =
1
2
( )
Ä
OA +Ä
OB donc a pour affixe z
I
=
z
A
+z
B
2
G barycentre de (A,α),(B,β),(C,γ) est tel que Ä
OG=
1
α+β+γ
( )
αÄ
OA +βÄ
OB +γÄ
OC donc a pour affixe
z
G
=
αz
A
+βz
B
+γz
C
α+β+γ
Méthode pour démontrer que trois points A, B et C daffixes respectives z
A
, z
B
, z
C
sont alignés :
On considère les vecteurs Ä
AC et Ä
AB daffixe z
C
z
A
et z
B
z
A
et en calculant k=
z
C
z
A
z
B
z
A
, on montre que kIR.
On peut en déduire ainsi que z
C
z
A
=k
( )
z
B
z
A
donc que Ä
AC =kÄ
AB
Ainsi les vecteurs Ä
AC et Ä
AB sont colinéaires et donc les points A, B et C sont alignés.
Remarque : même méthode pour montrer le parallélisme de deux droites.
III. Conjugué dun nombre complexe
Définition :
Le conjugué du nombre complexe z=a+ib
est le nombre complexe aib noté Òz.
Remarques :
z=z ñ Òz=¯z
Le conjugué de Òz est z cad Òz=z
Soit M daffixe z=a+ib .
Son symétrique M par rapport à laxe des
abscisses a pour affixe le conjugué de z cad
Òz=aib.
Les symétriques par rapport à laxe des abscisses de deux points
confondus sont confondus.
Si M est le symétrique de M par rapport à laxe des abscisses alors le
symétrique de M est M.
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Opérations sur les nombres conjugués :
Soient z=a+ib et z′=a′+ib alors Òz=aib.. Soit z′=a′+ib donc son conjugué est ¯z′ =a′−ib.
Ainsi,
z+Òz=2R e (z). Conséquence : z est imaginaire pur ñR e (z)=0ñ z+Òz=0 ñz=-Òz
zÒz=2iI m (z). Conséquence : z est réel Im (z)=0ñ z-Òz=0 ñzz
zÒz=(a+ib) (aib )=a
2
+b
2
. Remarque : zÒzIR
Le conjugué dune somme est la somme des conjugués : z+z′ =Òz+¯z
Le conjugué dun produit est le produit des conjugués : zz′ =Òzׯz
Le conjugué dun quotient est le quotient des conjugués : si zý0,
z
z
=
¯z
Òz
Application du nombre conjugué : obtenir la forme algébrique dun inverse ou dun quotient :
Pour obtenir la forme algébrique de
1
z
ou
z
z
, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z
(afin de rendre réel le dénominateur)
IV. Equations du second degré dans IC à coefficients réels
Soit léquation a z
2
+bz+c=0 dinconnue complexe z et où a, b et c sont des nombres réels avec a non nul.
Le discriminant de cette équation est le réel =b
2
4ac.
Si >0 alors léquation admet deux solutions réelles distinctes : z
1
=
-b
2a
et z
2
=
-b+
2a
.
Si =0 alors léquation admet une solution réelle double : z
0
=-
b
2a
.
Si <0 alors léquation admet deux solutions complexes conjuguées : z
1
=
-bi-
2a
et z
2
=
-b+i-
2a
V. Exercices
Pour tous ces exercices, lorsque cest nécessaire, le plan est muni dun repère orthonormal direct ( O;I;J)
Exercice 1
1. Par lecture graphique, déterminer laffixe de chacun des points E, F,
G, H et K.
2. Pour chaque nombre complexe z
K
suivant, indiquer sa partie réelle, sa
partie imaginaire puis placer son point image M
K
dans le repère
orthonormal direct ci-contre :
z
1
=3+2i; z
2
=-3i;
z
3
=3i; z
4
=0; z
5
=-2i
Exercice 2
A chaque nombre complexe z sécrivant x+iy, où x et y sont des réels quelconques, on associe le nombre complexe Z=3xy+i
Déterminer lensemble des nombres complexes z tels que Z soit imaginaire pur. En déduire lensemble des points M daffixe z
vérifiant la condition précédente.
Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie
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Exercice 3
1. Mettre sous forme algébrique chaque nombre complexe suivant puis identifier sa partie réelle et sa partie imaginaire :
z
1
=2+3i4(3+5i) ; z
2
=
1
2
4i(32i) ; z
3
=(5i)(7+4i) ; z
4
=(34i)(3+4i) ; z
5
=(2+3i)
2
2. Donner la forme algébrique de
1
i
, i
3
, i
4
et i
327
.
3. Calculer (1+i)
6
et (1+i)
8
Exercice 4
1. On donne F(4;0), G(3;-1) et H(-2;1). Déterminer les affixes des vecteurs Ä
OF , Ä
OG et Ä
OH.
2. On considère les points A, B, C et I de coordonnées respectives (1;-3), (4;5), (-3;2) et (0;10).
(a) Quelles sont les affixes des points A, B et C et des vecteurs Ä
AB , Ä
AC et Ä
BC .
(b) Soit D et E les points tels que Ä
AD =2Ä
AB +Ä
AC et 3Ä
BE =Ä
BC .
Déterminer laffixe de chacun des points D et E.
(c) Démontrer que A, D et E sont alignés.
(d) Démontrer que ( AB) et (CI) sont parallèles.
Exercice 5
Soient A, B, C, A, B, C daffixes respectives z
A
=1i, z
B
=2+3i, z
C
=3+i, z
A
=-1+3i, z
B
=3i et z
C
=4+i.
1. Montrer que Ä
AA+Ä
BB+Ä
CC′= Å
0 .
2. Montrer que les centres de gravité G et G des triangles ABC et ABC sont confondus.
Exercice 6
Méthode : Pour résoudre une équation avec un nombre complexe z et son conjugÒz, il faut écrire sous forme algébrique z=x+iy
(et donc Òz=xiy) et résoudre alors un système déquation dinconnues x et y.
1. Résoudre dans IC léquation : z
2
2Òz+1=0
2. Résoudre dans IC léquation : 2iz+(1i)Òz+2=0
Exercice 7
1. Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : z
1
=
-5+i
3+2i
; z
2
=
1
43i
2. Mettre sous forme algébrique le conjugué Òz du complexe z dans chacun des cas suivants :
(a) z=34i (b) z=
1
1i
(c) z=
3i
1+i
Exercice 8
Soit f la fonction définie pour zý-3i par f(z)=
z1+i
3iz
. On pose z=x+iyx et y sont réels.
1. Ecrire f(z) sous forme algébrique.
2. *Démontrer alors que lensemble des points M daffixe z tels que f(z) soit réel est un cercle privé dun point dont on
précisera le centre et le rayon.
Exercice 9
Résoudre dans IC les équations suivantes : z
2
+2z+6=0 ; 9z
2
6z+1=0
Exercice 10
1.
(a) Déterminer les réels a, b et c tels que z
3
2z
2
+z2=(z2)
( )
az
2
+bz+c.
(b) Résoudre alors dans IC, z
3
2z
2
+z2=0.
2. Résoudre dans IC léquation 2z
4
+3z
2
2=0 (Aide : poser Z=z
2
)
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