Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle Chapitre 05 – Les nombres complexes Première partie Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O; Ä OI ; Ä OJ ), appelé plan complexe. Dans tout ce chapitre, a et b désignent des réels. I. Forme algébrique d’un nombre complexe 1. Forme algébrique d’un nombre complexe. Affixe d’un point du plan. Interprétation graphique : Définitions : A tout point M de coordonnées ( a;b), on convient d’associer le nombre complexe unique noté zM qui s’écrit zM =a+ ib. Réciproquement, à tout nombre complexe z=a+ ib, on convient d’associer dans le plan un point M et un seul de coordonnées ( a;b). L’ensemble de tous les nombres complexes est noté C. I L’écriture z=a+ ib avec a et b réels est appelée forme algébrique de z. a est la partie réelle de z et on note a=Re( z) On dit que le point M de coordonnées ( a;b) a pour affixe le nombre complexe zM =a+ ib. b est la partie imaginaire de z et on note b=Im( z) On dit que le point M est l’image de zM . Cas particuliers : • Si z est un réel, son point image se situe sur • Si Im( z)=0, alors z=a+ i×0 cad z=a. l’axe des abscisses (ou axe des réels). Ainsi, tout nombre réel est un nombre complexe (IR┤ C) I • Si z est un imaginaire pur, son point image • Si Re( z)=0, alors z=ib. On dit que z est imaginaire pur. se situe sur l’axe des ordonnées (ou axe des imaginaires purs) Remarques : a=a′ • Si zM =a+ ib et zM′=a′+ ib′ alors : M=M′ñ zM = zM′ ñ b=b′ • On ne peut pas comparer deux nombres complexes. 2. Affixe d’un vecteur. Définition : Interprétation graphique : A tout vecteur Å u de coordonnées a b , on convient d’associer le nombre complexe unique noté z Åu qui s’écrit z Åu =a+ ib. Réciproquement, à tout nombre complexe z=a+ ib, on convient d’associer dans le plan le vecteur Å u de coordonnées a b . On dit que z Åu =a+ ib est l’affixe du vecteur Å u de coordonnées b . Remarque : z Åu = z Åv ñ Å u= Å v a z Åu =zÄ OM=zM Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie 1/5 3. Opposé d’un nombre complexe. Définition : Interprétation graphique : Soit M un point d’affixe z=a + ib. L’opposé du nombre complexe • z=a+ ib est le nombre complexe, noté L’opposé de z, noté –z est l’affixe du –z égal à –a−ib point Q(- a;- b), symétrique de M par rapport à l’origine O. • Soit Å u d’affixe z Åu =a+ ib. a -a Å b donc – u a pour coordonnées - b et pour affixe Ainsi Å u a pour coordonnées le complexe z- uÅ=- a−ib. On retiendra z- uÅ=- z Åu II. Règles de calculs dans CI Interprétation graphique : Somme: z+ z′=( a+ ib)+( a′+ ib′)=( a+ a′)+ i(b+ b′) Remarque : z′−z= z′+(- z) • Soit Å u et Å v deux vecteurs d’affixes respectifs z Åu =z et z Åv =z′. a a′ b et b′ . Alors Å u et Å v ont pour coordonnées respectives Donc le vecteur Å u+ Å v a pour coordonnées a+ a′ b+ b′ =( a′+ ib′)+(- a−ib)=( a′−a)+ i( b′−b) donc pour affixe z Åu + Åv =a+ a′+ i(b+ b′). Ainsi z Åu + z Åv =z uÅ+ Åv • Soit M et N deux points d’affixes respectives zM =z et zN =z′. Alors M( a;b) et N( a′;b′) donc Ä MN b′− b . a′− a Donc Ä MN a pour affixe zÄ MN =( a′−a)+ i( b′−b)=a′+ ib′−( a+ ib). Ainsi zÄ MN =zN −zM Produit d’un nombre complexe par un réel k: kz=k( a+ ib)==ka+ ikb Interprétation graphique : • Soit Å u d’affixe z Åu =z Alors Å u a pour coordonnées a ka Å b donc k u kb a pour affixe zk uÅ =ka+ ikb. Ainsi zk uÅ=kz uÅ . • Soit M et P d’affixes respectives zM =z et zP =kz. Alors zÄ = zP =kz= kzM = kzÄ =zk Ä d’où Ä OP =k Ä OM. OP OM OM D’où P est l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport k . Produit de deux nombres complexes : Interprétation graphique : Cas particuliers : Soit P( a;0) d’affixe zP =a • Produit d’un réel par i: La multiplication d’un nombre réel par i correspond à une rotation de centre O et d’angle π 2 Soit Q(0;a) d’affixe zQ =ia=izP Alors OP=OQ et (Ä OP ; Ä OQ )= π (2π) 2 Donc Q est l’image de P par la rotation r de centre O et d’angle π 2 Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie 2/5 • Soit J(0;1) d’affixe zJ =i Produit d’un imaginaire pur par i On convient que la multiplication d’un imaginaire pur Alors K d’affixe zK =izJ =i 2 est l’image de J par i correspond aussi à une rotation r de centre O et par la rotation r de centre O et d’angle π . Or 2 d’angle π 2 ce point a pour coordonnées (-1;0) et donc Généralisation : d’affixe -1. Ainsi on obtient i 2=-1 zz′=( a+ ib)(a′+ ib′)=aa′+iab′+ ia’b+i 2bb′. Or i 2=-1 donc zz′=aa′−bb′+i( ab′+ba′) Aucune interprétation géométrique Inverse d’un nombre complexe : Tout nombre complexe z non nul admet un inverse, Aucune interprétation géométrique 1 1 noté = z a+ ib Quotient de deux nombres complexes : Si z est un nombre complexe non nul, on définit le Aucune interprétation géométrique z′ 1 quotient par z′× z z Conséquences : Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives zA , zB et zC . z +z 1 Ä Ä OA + OB ) donc a pour affixe zI = A B ( 2 2 • Le point I milieu de [ AB] est tel que Ä OI = • G barycentre de ( A,α),( B,β),( C,γ) est tel que Ä OG= zG = • 1 OA + β Ä OB + γ Ä OC ) donc a pour affixe (α Ä α+ β+ γ αzA + βzB + γzC α+ β+ γ Méthode pour démontrer que trois points A, B et C d’affixes respectives zA , zB , zC sont alignés : On considère les vecteurs Ä AC et Ä AB d’affixe zC − zA et zB − zA et en calculant k= zC − zA , on montre que k☻IR. zB − zA On peut en déduire ainsi que zC − zA = k ( zB − zA ) donc que Ä AC = k Ä AB Ainsi les vecteurs Ä AC et Ä AB sont colinéaires et donc les points A, B et C sont alignés. Remarque : même méthode pour montrer le parallélisme de deux droites. III. Conjugué d’un nombre complexe Définition : • Soit M d’affixe z=a+ ib. Le conjugué du nombre complexe z=a+ ib Son symétrique M′ par rapport à l’axe des est le nombre complexe a−ib noté Ò z. abscisses a pour affixe le conjugué de z cad Ò z =a−ib. Remarques : • z=z′ ñ Ò z =¯ z′ • Les symétriques par rapport à l’axe des abscisses de deux points confondus sont confondus. • Le conjugué de Ò z est z cad Ò z =z • Si M′ est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses alors le symétrique de M′ est M. Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie 3/5 Opérations sur les nombres conjugués : Soient z=a+ ib et z′=a′+ ib′ alors Ò z =a−ib.. Soit z′=a′+ ib′ donc son conjugué est ¯ z′ =a′−ib′. Ainsi, • z+ Ò z =2Re( z). Conséquence : z est imaginaire pur ñRe( z)=0 ñ z+ Ò z =0 ñz=- Ò z • z− Ò z =2iIm (z). Conséquence : z est réel Im ( z)=0ñ z-Ò z =0 ñz=Ò z • zÒ z =( a+ ib) ( a−ib) =a 2 + b 2 . Remarque : zÒ z ☻IR • z +¯ z′ Le conjugué d’une somme est la somme des conjugués : z+ z′ = Ò • Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : zz′ = Ò z ׯ z′ • Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués : si zý0, z′ z′ = ¯ z Ò z Application du nombre conjugué : obtenir la forme algébrique d’un inverse ou d’un quotient : Pour obtenir la forme algébrique de 1 z′ ou , on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z z z (afin de rendre réel le dénominateur) IV. Equations du second degré dans CI à coefficients réels Soit l’équation az 2+ bz+ c=0 d’inconnue complexe z et où a, b et c sont des nombres réels avec a non nul. Le discriminant de cette équation est le réel ∆= b 2−4ac. - b− ∆ - b+ ∆ et z2= . 2a 2a • Si ∆>0 alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : z1= • Si ∆=0 alors l’équation admet une solution réelle double : z0=- • Si ∆<0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : z1= V. b . 2a - b−i - ∆ - b+ i - ∆ et z2= 2a 2a Exercices Pour tous ces exercices, lorsque c’est nécessaire, le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O;I;J) Exercice 1 1. Par lecture graphique, déterminer l’affixe de chacun des points E, F, G, H et K. 2. Pour chaque nombre complexe zK suivant, indiquer sa partie réelle, sa partie imaginaire puis placer son point image MK dans le repère orthonormal direct ci-contre : z1=3+2i; z2 =-3i; z3=3i; z4=0; z5=-2−i Exercice 2 A chaque nombre complexe z s’écrivant x+ iy, où x et y sont des réels quelconques, on associe le nombre complexe Z=3x−y+ i Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que Z soit imaginaire pur. En déduire l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant la condition précédente. Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie 4/5 Exercice 3 1. Mettre sous forme algébrique chaque nombre complexe suivant puis identifier sa partie réelle et sa partie imaginaire : z1=2+3i−4(3+5i) ; z2= 1 −4i −(3−2i) ; z3=(5−i)(7+4i) ; z4=(3−4i)(3+4i) ; z5=(2+3i) 2 2. Donner la forme algébrique de 6 2 1 3 4 , i , i et i 327. i 8 3. Calculer (1+ i) et (1+ i) Exercice 4 1. 2. On donne F (4;0), G(3;-1) et H(-2;1). Déterminer les affixes des vecteurs Ä OF , Ä OG et Ä OH. On considère les points A, B, C et I de coordonnées respectives (1;-3), (4;5), (-3;2) et (0;10). (a) Quelles sont les affixes des points A, B et C et des vecteurs Ä AB , Ä AC et Ä BC . Ä Ä Ä Ä Ä (b) Soit D et E les points tels que AD =2 AB + AC et 3 BE = BC . Déterminer l’affixe de chacun des points D et E. (c) Démontrer que A, D et E sont alignés. (d) Démontrer que ( AB) et ( CI) sont parallèles. Exercice 5 Soient A, B, C, A′, B′, C′ d’affixes respectives zA =1−i, zB =2+3i, zC =3+ i, zA′=-1+3i, zB′=3−i et zC′=4+ i. Ä Å 1. Montrer que Ä AA′+ Ä BB′+ CC′= 0. 2. Montrer que les centres de gravité G et G′ des triangles ABC et A′B′C′ sont confondus. Exercice 6 Méthode : Pour résoudre une équation avec un nombre complexe z et son conjugué Ò z , il faut écrire sous forme algébrique z=x+ iy (et donc Ò z =x−iy) et résoudre alors un système d’équation d’inconnues x et y. 1. 2. Résoudre dans CI l’équation : z 2−2Ò z +1=0 Résoudre dans CI l’équation : 2iz+(1−i) Ò z +2=0 Exercice 7 -5+ i 1 ; z2= 3+2i 4−3i 1. Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : z1= 2. Mettre sous forme algébrique le conjugué Ò z du complexe z dans chacun des cas suivants : (a) z=3−4i (b) z= 1 1−i (c) z= 3−i 1+ i Exercice 8 Soit f la fonction définie pour zý-3i par f( z)= 1. 2. z−1+ i . On pose z=x+ iy où x et y sont réels. 3−iz Ecrire f( z) sous forme algébrique. *Démontrer alors que l’ensemble des points M d’affixe z tels que f( z) soit réel est un cercle privé d’un point dont on précisera le centre et le rayon. Exercice 9 Résoudre dans CI les équations suivantes : z 2+2z+6=0 ; 9z 2−6z+1=0 Exercice 10 1. (a) Déterminer les réels a, b et c tels que z 3−2z 2+ z−2=( z−2)( az 2+ bz+ c ) . (b) Résoudre alors dans C, I z 3−2z 2+ z−2=0. 2. Résoudre dans CI l’équation 2z 4+3z 2−2=0 (Aide : poser Z=z 2) Chapitre 05 – Les nombres complexes – Première partie 5/5