LEÇON N˚ 78 : Diverses méthodes de calcul

LEÇON N˚ 78 :
Diverses méthodes de calcul approché
d’intégrales définies. L’exposé pourra être
illustré par un ou des exemples faisant
appel à l’utilisation d’une calculatrice.
Pré-requis :
–Intégrale d’une fonction sur un segment [a, b];
–Rapport entre l’intégrale d’une fonction et l’aire sous sa courbe.
Notations : Dans toute cette leçon, on se donne
* Une fonction fdéfinie et continue sur un intervalle [a, b]⊂R, à valeurs réelles. On supposera a < b.
* Pour tout n∈N∗, on pose :
h=b−a
n;
ai=a+ih, ∀i∈ {0,...,n};
mi=ai+ai+1
2∀i∈ {0,...,n−1}.
* Par abus de notation, pour toute fonction gdéfinie et continue sur [a, b], on notera sup
[a,b]|g|= sup x∈[a,b]|g(x)|.
*I(f) = Rb
af(x) dx.
Contexte : On cherche à obtenir une « bonne » approximation de I(f)quand il est impossible de la calculer
analytiquement. L’exemple utilisé dans toutes les annexes A à E est la fonction suivante :
f: [4,7] −→ R
x7−→ 5π
xsin x3 2−4x2+ 1.
Toutes les démonstrations (puisqu’elles sont longues) se trouvent à la fin du document.
78.1 Méthodes d’approximation linéaire
78.1.1 Première approche : méthode des rectangles et des tangentes
Notations : On définit sur [a, b]la fonction rsuivante :
r: [a, b]−→ R
x7−→ f(ai),∀x∈[ai, ai+1[,∀i∈ {0,...,n−1},

2Calcul approché d’intégrales définies
qui approche fsur [a, b]. On note Rn(f) = Rb
ar(x) dx(voir annexe A).
Proposition 1 :
– Pour tout n∈N∗,Rn(f) = b−a
n
n−1
X
i=0
f(ai);
– Si f∈C1[a, b], alors pour tout n∈N∗,|I(f)−Rn(f)|6(b−a)2
2nsup
[a,b]
|f′|.
Proposition 1’ : On définit pour tout n∈N∗la suite R′
n(f)de terme général
R′
n(f) = b−a
n
n−1
X
i=0
f(ai+1).
Si fest monotone, alors les suites numériques Rn(f)net R′
n(f)nencadrent I(f)et convergent
vers I(f).
Soit maintenant pour tout i∈ {0,...,n−1}la fonction τidonnant l’équation de la tangente à fau point
mi:τi: [a, b]−→ R
x7−→ f′(mi)(x−mi) + f(mi).
Notations : On approche alors fsur [a, b]par une fonction maffine par morceaux définie par
m: [a, b]−→ R
x7−→ τi(x),∀x∈[ai, ai+1[,∀i∈ {0,...,n−1}.
On note enfin Mn(f) = Rb
am(x) dx(voir annexe B).
Proposition 2 :
– Pour tout n∈N∗,Mn(f) = b−a
n
n−1
X
i=0
f(mi);
– Si f∈C2[a, b], alors pour tout n∈N∗,|I(f)−Mn(f)|6(b−a)3
24 n2sup
[a,b]
|f′′|.
Remarques 1 :
1. En approchant fsur [a, b]par la fonction
[a, b]−→ R
x7−→ f(mi)∀x∈[ai, ai+1[,∀i∈ {0, . . . , n −1},
(« méthode des milieux »), on peut montrer qu’on obtient le même résultat qu’avec la méthode des tangentes.
2. Dans la méthode des rectangles, l’erreur est d’ordre 1/n. On vérifie alors que pour tout n∈N∗,
21R2n(f)−Rn(f)
21−1= 2 R2n(f)−Rn(f) = Mn(f).
On a donc amélioré la vitesse de convergence, puisque l’erreur est d’ordre 1/n2dans la méthode des tangentes.

Calcul approché d’intégrales définies 3
78.1.2 Méthode des trapèzes
Notations : Cette fois-ci, on approche fsur [a, b]par une fonction taffine par morceaux définie pour tous
n∈N∗et i∈ {0,...,n−1}sur chaque intervalle [ai, ai+1]par
t(ai) = f(ai)
t(ai+1) = f(ai+1),
On note Tn(f) = Rb
at(x) dx(voir annexe C).
Proposition 3 :
– Pour tout n∈N∗,Tn(f) = b−a
n n−1
X
i=1
f(ai) + f(a) + f(b)
2!;
– Si f∈C2[a, b], alors pour tout n∈N∗,|I(f)−Tn(f)|6(b−a)3
12 n2sup
[a,b]
|f′′|.
78.2 Méthode de Simpson (approximation quadratique)
Notations : Dans cette partie, on approche fsur [a, b]par une fonction continue Pdont la restriction à
chaque [ai, ai+1]soit un polynôme de degré au plus 2 défini pour tous n∈N∗et i∈ {0,...,n−1}par
P(ai) = f(ai),
P(ai+1) = f(ai+1),
P(mi) = f(mi),
On note Sn(f) = Rb
aP(x) dx(voir annexe D).
Proposition 4 :
– Pour tout n∈N∗,Sn(f) = b−a
6n
n−1
X
i=0 f(ai) + 4 f(mi) + f(ai+1);
– Si f∈C4[a, b], alors pour tout n∈N∗,|I(f)−Sn(f)|6(b−a)5
2880 n4sup
[a,b]
|f(4)|.
Remarques 2 :
1. Dans la méthode des trapèzes, l’erreur est en 1/n2. On vérifie que pour tout n∈N∗,
22T2n(f)−Tn(f)
22−1=4T2n(f)−Tn(f) 3=Sn(f).
On a amélioré la vitesse de convergence, car l’erreur n’est qu’en 1/n4dans la méthode de Simpson.
2. On pourra aussi vérifier dans un autre contexte que pour tout n∈N∗,
Sn(f) = Tn(f) + 2 Mn(f)
3.

4Calcul approché d’intégrales définies
78.3 Autres méthodes
78.3.1 Méthodes de Newton-Cotes
Principe : Soient n, ℓ ∈N∗et i∈ {0,...,n−1}. On approche fsur chaque [ai, ai+1]par le polynôme de
degré au plus ℓqui coïncide avec faux (ℓ+ 1) points équidistants (aiet ai+1 en sont les premier et dernier),
notés L0,...,Lℓ: c’est la méthode d’ordre ℓ. On note Ii(f) = Rai+1
aif(x) dx.
ℓ= 1 :Méthode des trapèzes.
ℓ= 2 :Méthode de Simpson.
ℓ= 4 :Méthode de Boole-Villarceau. Dans ce cas, Ii(f)est approchée par hP4
k=0 λkf(Lk), où
λ0=λ4=7
90 ;λ1=λ3=16 45 et λ2=2 15.
ℓ= 6 :Méthode de Weddle-Hardy. Dans ce cas, Ii(f)est approchée par hP6
k=0 λkf(Lk), où
λ0=λ6=41
840 ;λ1=λ5=9 35 ;λ2=λ4=9 280 et λ3=34 105.
Remarques 3 :
1. Pour ℓ>8, certains coefficients λisont négatifs, ce qui les rend plus sensibles aux erreurs d’arrondis ;
2. On peut montrer que si ℓest pair, alors la formule donnée est encore vraie pour les polynômes de degré au plus
ℓ+ 1 ;
3. Il suffit ensuite de faire Pn−1
i=0 Ii(f)pour obtenir une approximation de I(f);
4. Dans tout ce qui précède, on a appliqué la méthode d’ordre ℓàchaque subdivision de l’intervalle [a, b], ce qui
représente énormément de calculs. On aurait pu simplement appliquer la méthode d’ordre ℓàtout l’intervalle
[a, b], mais on se rend vite compte qu’il y a des problèmes sur les bords (voir annexe F). Une alternative serait
d’approcher fpar son polynôme d’interpolation en des points mieux choisis...
78.3.2 Méthode de Gauss
ωétant une fonction donnée, on cherche encore à approcher l’intégrale
I(f) = Zb
a
f(x) dx=Zb
af(x)
ω(x)ω(x) dx
par une expression du type Piλif(xi). S’il y a n+ 1 points à définir, on choisit les racines (xi)06i6ndu
(n+ 1)-ième polynôme orthogonal associé au poids ω, pour le produit scalaire défini par
hϕ, ψi=Zb
a
ϕ(x)ψ(x)ω(x) dx,
de sorte que l’intervalle [a, b]soit divisé en nparties non forcément de taille égale.
Si ]a, b[ = ] −1,1[, alors on choisit souvent :
(i) ω(x) = 1, ce qui donne les polynômes de Legendre;
(ii) ω(x) = 1
√1−x2, ce qui donne les polynômes de Tchebychev.

Calcul approché d’intégrales définies 5
78.3.3 Exemple (n= 10) : annexe F
Soient f: ] −1,1[ −→ R
x7−→ cos(x)
10 x2+ 1,et ω: ] −1,1[ −→ R
x7−→ 1
√1−x2.
Soient P1(resp. P2) le polynôme d’interpolation de faux points équidistants (resp. de Tchebychev) et Pla
fonction obtenue en appliquant la méthode des trapèzes à fsur chacun des 10 sous-intervalles. On trouve
alors les résultats suivants :
Z1
−1
P1(x) dx≈0.78611 ;Z1
−1
P2(x) dx≈0.65067 et Z1
−1
P(x) dx≈0.64733.
Enfin, un logiciel de calcul formel tel que Maple nous assure que
I(f) = Z1
−1
f(x) dx≈0.64788.
Accélération de convergence (Richardson-Romberg) (pour la culture)
Plaçons-nous sur Ii:= [ai, ai+1]. On divise cet intervalle en 2mparties égales de longueur h/2mpour
m∈N. On note pour simplifier Iℓ,m la valeur approchée de RIif(x) dxpar la méthode d’ordre ℓ. Notons
alors que I1,m =T2m. On accélère ainsi la convergence sur chaque intervalle Iien appliquant la formule
suivante :
Iℓ+1,m =22ℓIℓ,m+1 −Iℓ,m
22ℓ−1∀ℓ∈N∗.
L’erreur commise après application de cette méthode sera de l’ordre de 1/n2ℓ.
Par exemple, pour la méthode de Simpson (d’ordre 2), on détermine par ce biais que
Ii
2,m =22Ii
1,m+1 −Ii 1,m
22−1=4T2m+1 −T2m 3,
et on retrouve la formule énoncée en remarque (attention : dans la remarque, on parle de T2nsur Ii, ce qui
veut simplement dire que tout l’intervalle [a, b]a été divisé en 2nsegments égaux, c’est-à-dire que chaque
intervalle Iia été divisé en 2, il suffit alors de prendre m= 0 dans cette formule).