Programme de colle 19 - Page personnelle Sylvain Pelletier

Programme de colle 19
Pelletier Sylvain
PC, Lycée Descartes
Cours:
Chapitre 10 Espaces vectoriels normés de dimension finie
I Normes et distances I.1 Définition I.2 Normes usuelles sur Kn I.3 Propriétés I.4 Distance I.5 Topologie d’un
espace vectoriel normé I.6 Parties, suites et fonctions bornées
II Suites d’un espace vectoriel normé de dimension finie II.1 Convergence II.2 Propriétés II.3 Convergence des
suites de coordonnées
III Topologie d’un espace vectoriel normé de dimension finie OÉquivalence topologique avec Kn III.1 Parties
ouvertes III.2 Partie fermée III.3 Propriétés III.4 Intérieur, adhérence, frontière
IV Limite et continuité en un point IV.1 Définition IV.2 Caractérisation IV.3 Limites et opérations IV.4 Continuité
en un point
V Continuité sur une partie V.1 Définition et propriétés V.2 Fonctions continues sur un fermé borné V.3 Applications
lipschitziennes V.4 Continuité des applications linéaires ONorme d’application V.5 Continuité des applications multilinéaires
Chapitre 11 Calcul différentiel
I Fonctions de classe C 1 I.1 Définition OCas des fonctions vectorielles I.2 Propriétés I.3 Développement limité à
l’ordre 1 et différentielle
II Règle de la chaîne II.1 Cas général II.2 Applications aux fonctions constantes sur un ouvert convexe II.3
Applications aux changements de variables II.4 Cas particulier des coordonnées en polaire
III Applications géométriques III.1 Gradient III.2 Ligne de niveau
IV Dérivées partielles d’ordre 2
V Extremums d’une fonction de R p dans R
Techniques:
• Limites de suites et de fonctions dans un espace vectoriel normé. Continuité.
• Montrer qu’une application de R2 → R est continue en un point particulier. Exercices traités en TD : limite en (0, 0)
de
x3 − y3
x2 + y2
x4 + y2
xy
x2 y
x 2 + y2
xy
x 2 + y2
• Applications lipschitziennes. Fonctions lipschitziennes et suite récursives.
• Montrer que si f ∈ L (E, F) alors ∃k ∈ R, ∀x ∈ E, k f (x)k 6 kN(x).
La notion de norme d’application est hors-programme mais vous devez savoir faire cet exercice.
• Définition et calcul de dérivées partielles, du gradient en un point. Notion de développement limité d’ordre 1 en un
point. Définition de la différentielle en un point.
• Règle de la chaîne. Dérivation de fonction de la forme :
t 7−→ f (x1 (t), x2 (t))
(u, v) 7−→ f (x(u, v), y(u, v))
(r, θ ) 7−→ f (r cos θ , r sin θ )
Fonction constante sur un ouvert convexe et dérivées partielles.
• Étude de courbes et de surface de niveau. On attend :
n
– Écrire la courbe sous la forme d’une surface de niveau : S = (x, y) ∈ R2 f (x, y) = 0}.
– L’équation de la tangente en un point régulier.
• Rappels de PCSI : équation différentielle de premier ordre. Résolution dans le cas homogène, seconds membres
particuliers, passage aux complexes, variation de la constante. Exercices traités en cours :
y0 + 2y = 2x2 + (2x + 1 + cos 3x)e−2x
y0 + xy = x
1
y0 + (tan x)y = cos x + sin 2x
• Rappels de PCSI : équation différentielle de second ordre. Résolution dans le cas homogène, seconds membres
particuliers, passage aux complexes. Exercices traités en cours :
y00 + 2y0 + y = 4
y00 − y0 − 2y = x + e2x
y00 + y = cos x + sin 2x
2