L3 : Algorithme d`Euclide et problèmes relevant de la divisibilité de

L3 : Algorithme d’Euclide et
problèmes relevant de la divisibilité
de deux nombres. PGCD.
I Rappel :
 Définition de la divisibilité d’un nombre par un autre :
Un nombre entier est divisible par un autre si le reste de leur division Euclidienne est 0.
Autrement dit, a est divisible par b s’il existe un entier q tel que a = b q.
On pourra aussi dire que a est un multiple de b (et de q) ou que b (et q) divise a.
Exemple : 2 331 = 76 30 + 51 et 51 < 76
Le reste étant différent de 0, 2 331 n’est pas
divisible par 76.
2 432 = 76 32
Le reste étant nul 2 432 est divisible par 76.
On peut aussi dire que 2432 est un multiple de 76.
 Critères de divisibilité :
Un nombre entier est divisible par 2 s’il fini par 0, 2, 4, 6 ou 8 . On dit alors que ce
nombre est pair.
Un nombre entier est divisible par 5 s'il fini par 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 s'il fini par 0.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple : 21 780 est divisible par 2, 5 et 10 car il fini par 0.
21 780 est divisible par 3 et par 9 car 2+1+7+8+0=18 qui est divisible par 3 et 9
21 780 n’est pas divisible par 7 car 21 780 ÷ 7 3 111,4
21 780 n’est pas divisible par 8 car 21 780 ÷ 8 = 2 722,5
21 780 est aussi divisible par 11, 30,55, 90, 110, 121, 242 et encore d’autres nombres.
1
13
3
2
6
7
0
3
8
21
2
-
1
5
0
-
1
5
2
13
4
2
6
7
2
3
8
21
2
-
2
5
1
2
5
1
-
0

Activité
Pb N°1 :
Un centre aéré organise une sortie à la mer pour 315 enfants.
L’équipe des accompagnateurs comprend 42 membres.
Comment peut-on constituer des groupes comportant le même nombre d’enfants et le même nombre
d’accompagnateurs (donner toutes les solutions possibles) ?
Le nombre N de groupes doit diviser à la fois les 315 (= N e) enfants et les
42 (= N a) accompagnateurs (e = nb enfant d’un groupe et a =nb accomp d’1 gr).
La liste des diviseurs de 315 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 15 ; 21 ; 35 ; 45 ; 63 ;105 ; 315
La liste des diviseurs de 42 sont : 1 ; 2, 3 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42
Les diviseurs N communs à 315 et 42 sont donc 1 ; 3 ; 7 ; 21
1 groupe donnerait 315 enfants et 42 accompagnateurs pour ce groupe.
3 groupes donnerait 315÷3=105 enfants et 42÷3=14 accompagnateurs par groupe.
7 groupes donnerait 315÷7=45 enfants et 42÷7=6 accompagnateurs par groupe.
21 groupes donnerait 315÷21=15 enfants et 42÷21=2 accompagnateurs par groupe ce
qui est le plus raisonnable.
Pb N°2 :
Un philatéliste possède 1 631 timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa
collection en réalisant des lots identiques, c’est à dire comportant le même nombre de timbres et la même
répartition de timbres français et étrangers.
1. Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
2. Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lots ?
1. Le nombre de lots doit diviser 1631 et 932 et doit être le plus grand possible, c’est
donc le pgcd(1631 ; 932).
Le maximum de lot sera de 233.
2. 1 631 ÷ 233 = 7 et 932 ÷ 233 = 4
Donc il y aura dans chacun des 233 lots, 7 timbres français et 4 timbres étrangers.
Étapes
a
b
r
q = ... et r = a - b q
1
1631
932
699
q = 1 et r = 699
2
932
699
233
q = 1 et r = 233
3
699
233
0
q = 3 et r = 0

II Notion de PGCD :
 Définition - notation :
le plus grand diviseur commun de deux entiers a et b est noté PGCD( a ; b ).
Exemple :
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24
Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 et 36
24 et 36 ont six diviseurs communs 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Le plus grand d’entre eux est 12, c’est le Plus Grand Diviseur Commun de 24 et 36.
On le désigne en abrégé par PGCD(24 ; 36) = PGCD(36 ; 24) = 12
Sur la calculette on peut utiliser la fonction PGCD :
Sur les casio : Seconde Calc 24 Seconde 3 36 ) = 12
PGCD( 24 ; 36 ) = 12
Sur les TI : Maths 1 24 Seconde , 36 ) = 12
PGCD( 24 ; 36 ) = 12
III Algorithme d’Euclide : Technique des divisions successives

Cette méthode sert à trouver le PGCD de n’importe quel couple d’entiers.
Propriété : Si a et b, q, r désignent les entiers de la division Euclidienne de a par b dont q et r sont
le quotient et le reste ALORS Pgcd(a ;b) = Pgcd(b ;r)
Le PGCD de 520 et 336 est le dernier reste non nul de la série des divisions ci-dessous.
Déterminer le PGCD de 520 et 336 :
Donc PGCD (520 ; 336) = 8
Autre manière de faire :
Donc PGCD (520 ; 336) = 8
L3 Exercices :
Étapes
a
b
r
q = ... et r = a - b q
1
520
336
184
q = 1 et r = 184
2
336
184
152
q = 1 et r = 152
3
184
152
32
q = 1 et r = 32
4
152
32
24
q = 4 et r = 24
5
32
24
8
q = 1 et r = 8
6
24
8
0
q = 3 et r = 0
Donc 520 = 336 1 + 184
et r = 520 - 336 1 = 184
6
3
3
4
8
1
1
4
8
1
-
2
5
1
0
2
5
6
3
3
1
6
3
3
-
4
8
1
0
2
5
6
3
3
1
6
3
3
-
4
8
1
4
8
1
2
5
1
1
2
5
1
-
2
3
0
2
5
1
2
3
4
8
2
1
-
4
2
0
2
3
4
2
1
4
2
-
8
4
2
8
3
4
2
-
0

Exercice N°1 : Complète par « diviseur » ou par « multiple ».
1. 29 11 = 319
a) 29 est un diviseur de 319
b) 319 est un multiple de 29
2. 17 36 = 612
a) 17 a pour multiple 612
b) 612 a pour diviseur 36
3. 23 18 = 414
a) 18 est un diviseur de 414
b) 414 a pour diviseur 18