L3 : Algorithme d`Euclide et problèmes relevant de la divisibilité de

L3 : Algorithme d’Euclide et
problèmes relevant de la divisibilité
de deux nombres. PGCD.
I Rappel :

Définition de la divisibilité d’un nombre par un autre :
Un nombre entier est divisible par un autre si le reste de leur division Euclidienne est 0.
Autrement dit, a est divisible par b s’il existe un entier q tel que a = b
q.
On pourra aussi dire que a est un multiple de b (et de q) ou que b (et q) divise a.
Exemple :
2 3 13
- 2 21 8
5
5
2 4 13 2
- 2 21 8
1 5 2
- 1 5 2
0

1
7 6
1
0
1
3 0
2 331 = 76
30 + 51 et 51 < 76
Le reste étant différent de 0, 2 331 n’est pas
divisible par 76.
7 6
3 2
2 432 = 76
32
Le reste étant nul 2 432 est divisible par 76.
On peut aussi dire que 2432 est un multiple de 76.
Critères de divisibilité :
Un nombre entier est divisible par 2 s’il fini par 0, 2, 4, 6 ou 8 . On dit alors que ce
nombre est pair.
Un nombre entier est divisible par 5 s'il fini par 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 s'il fini par 0.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple : 21 780 est divisible par 2, 5 et 10 car il fini par 0.
21 780 est divisible par 3 et par 9 car 2+1+7+8+0=18 qui est divisible par 3 et 9
21 780 n’est pas divisible par 7 car 21 780 ÷ 7
3 111,4
21 780 n’est pas divisible par 8 car 21 780 ÷ 8 = 2 722,5
21 780 est aussi divisible par 11, 30,55, 90, 110, 121, 242 et encore d’autres nombres.
Activité
Pb N°1 :
Un centre aéré organise une sortie à la mer pour 315 enfants.
L’équipe des accompagnateurs comprend 42 membres.
Comment peut-on constituer des groupes comportant le même nombre d’enfants et le même nombre
d’accompagnateurs (donner toutes les solutions possibles) ?
Le nombre N de groupes doit diviser à la fois les 315 (= N
e) enfants et les
42 (= N a) accompagnateurs (e = nb enfant d’un groupe et a =nb accomp d’1 gr).
La liste des diviseurs de 315 sont :
1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 15 ; 21 ; 35 ; 45 ; 63 ;105 ; 315
La liste des diviseurs de 42 sont :
1 ; 2, 3 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42
Les diviseurs N communs à 315 et 42 sont donc 1 ; 3 ; 7 ; 21
1 groupe donnerait 315 enfants et 42 accompagnateurs pour ce groupe.
3 groupes donnerait 315÷3=105 enfants et 42÷3=14 accompagnateurs par groupe.
7 groupes donnerait 315÷7=45 enfants et 42÷7=6 accompagnateurs par groupe.
21 groupes donnerait 315÷21=15 enfants et 42÷21=2 accompagnateurs par groupe ce
qui est le plus raisonnable.
Pb N°2 :
Un philatéliste possède 1 631 timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa
collection en réalisant des lots identiques, c’est à dire comportant le même nombre de timbres et la même
répartition de timbres français et étrangers.
1.
Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
2.
Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lots ?
1. Le nombre de lots doit diviser 1631 et 932 et doit être le plus grand possible, c’est
donc le pgcd(1631 ; 932).
Étapes
a
b
r
1
1631
932
699

q = 1 et r = 699
2
932
699
233

3
699
233
0

q = 1 et r = 233
q = 3 et r = 0
q = ... et r = a - b q
Le maximum de lot sera de 233.
2. 1 631 ÷ 233 = 7
et
932 ÷ 233 = 4
Donc il y aura dans chacun des 233 lots, 7 timbres français et 4 timbres étrangers.
II Notion de PGCD :

Définition - notation :
le plus grand diviseur commun de deux entiers a et b est noté PGCD(a ; b).
Exemple :
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24
Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 et 36
24 et 36 ont six diviseurs communs 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Le plus grand d’entre eux est 12, c’est le Plus Grand Diviseur Commun de 24 et 36.
On le désigne en abrégé par PGCD(24 ; 36) = PGCD(36 ; 24) = 12
Sur la calculette on peut utiliser la fonction PGCD :
Sur les casio :
Seconde
Calc
PGCD(
Sur les TI :
Maths
24
1
PGCD(
24
Seconde
3
;
24
Seconde
24
;
III Algorithme d’Euclide : Technique des divisions successives
,
36
)
= 12
36
)
= 12
36
)
= 12
36
)
= 12
Cette méthode sert à trouver le PGCD de n’importe quel couple d’entiers.
Propriété : Si a et b, q, r désignent les entiers de la division Euclidienne de a par b dont q et r sont
le quotient et le reste ALORS
Pgcd(a ;b) = Pgcd(b ;r)
Le PGCD de 520 et 336 est le dernier reste non nul de la série des divisions ci-dessous.
Déterminer le PGCD de 520 et 336 :
Étapes
a
b
r
1
520
336
184

q = 1 et r = 184
2
336
184
152

3
184
152
32

q = 1 et r = 152
q = 1 et r = 32
4
152
32
24

q = 4 et r = 24
5
32
24
8  q = 1 et r = 8
6
24
8
0
5 2 0
3 3 6
- 3 3 6
Donc 520 1
= 336
8 41 + 1841
et r = 520 - 336
1 = 184
q = ... et r = a - b q

q = 3 et r = 0
Donc PGCD (520 ; 336) = 8
Autre manière de faire :
5 2 0
- 3 3 6
1 8 4
3 3 6
1
1 5 2
- 1 2 8
0 2 4
3 3 6
- 1 8 4
1 5 2
3 2
4
-
Donc PGCD (520 ; 336) = 8
L3 Exercices :
3 2
2 4
8
1 8 4
1
1 8 4
- 1 5 2
0 3 2
2 4
1
-
2 4
2 4
0
1 5 2
1
8
3
Exercice N°1 : Complète par « diviseur » ou par « multiple ».
1. 29 11 = 319
a) 29 est un diviseur de 319
b) 319 est un multiple de 29
2. 17 36 = 612
a) 17 a pour multiple 612
b) 612 a pour diviseur 36
3. 23 18 = 414
a) 18 est un diviseur de 414
b) 414 a pour diviseur 18
Autre méthode :
Étapes
a
b
1
182
42
2
42
14
q = … et r = a - b q
14  q = 4 et r = 14
0  q = 3 et r = 0
r
Donc pgcd( 182 ;42) = 14
Autre méthode :
Étapes
a
b
1
534
235
2
235
64
q = … et r = a - b q
64  q = 2 et r = 64
43  q = 3 et r = 43
3
64
43
21
4
43
21
1
r
 q = 1 et r = 21
 q = 2 et r = 1
Donc pgcd( 534 ;235) = 1
Autre méthode :
Étapes
a
b
1
1053
325
2
325
78
q = … et r = a - b q
78  q = 3 et r = 78
13  q = 4 et r = 13
3
78
13
0
r
 q = 6 et r = 0
Donc pgcd( 1053 ;325) = 13
Autre méthode :
a
b
r
2
q = … et r = a - b q
2340 1980 360  q = 1 et r = 360
1980 360 180  q = 5 et r = 180
3
360
180
0
Étapes
1
 q = 2 et r = 0
Donc pgcd( 2340 ;1980) = 180
Exercice N°7:
1. Calculer le PGCD de 110 et de 88.
2. Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne
suivante : « Découper dans ces plaques des carrés, tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas
avoir de perte. »
Quelle sera la longueur du côté du carré ?
3. Combien obtiendra-t-on de carrés par plaque ?
1.
-
1 1 0
8 8
2 2
8 8
1
Étapes
a
b
r
1
110
88
22
2
88
22
0
8 8
8 8
0
2 2
4
q = ... et r = a – bq
donc pgcd(110 ;88) = 22
 q = 1 et r = 22
 q = 4 et r = 0
110 cm
2. Pas de perte, signifie que si C est la longueur du côté du carré
88 cm
alors C doit diviser 88 et 110 (pas de reste).
De plus les carrés étant le plus grand possible signifie que ce
C
C
diviseur commun à 110 et 88 doit être le plus grand possible donc
C = pgcd(110 ;88) = 22 cm
110 cm
3. On voit que si les carreaux font 22 cm de côtés alors ils rentrent
88 cm
5 fois sur la longueur et 4 fois sur la largeur ce qui fait 20 carreaux.
22
22
=125
0 et ….
121= 8 × 15+ 1, donc R=1 et 245 = 112 × 2 + 21, donc q =2
24× 5= 120
274= 10 × 27+ 4, donc q=27 et 1 divise tous les entiers.
= 514
VII Ce que j’ai appris à faire :
Exercices – coursL1
Reconnaitre la divisibilité d’un nombre par un autre.
Critères de divisibilité (chap I)
Labomep : L1_PGCD et
FRACTION
Ex 1
Calculer du PGCD de deux nombres par
l’algorithme d’Euclide.
Reconnaître deux nombres premiers entre eux
Rendre irréductible un calcul fractionnaire.
Ex 2, 24, 3, 5, 6 , 7 et 48
Ex 2, 3 et 8
Ex 4 et 5
Ex 5, 6 et 48
Ex 4
Ex 5, 6 et 9
Savoir résoudre des problèmes relevant de la
divisibilité de deux nombres par un autre.
Ex 1, 2, 7, 30
Ex 7
Evaluation
Vous
Prof