Fonctions automorphes dans le plan complexe

MAXIME FORTIER BOURQUE
Fonctions automorphes
dans le plan complexe
Rapport pr´esent´e `a J´er´emie Rostand et Hassan Manouzi
dans le cadre du projet de fin d’´etudes du baccalaur´eat en math´ematiques
D´epartement de math´ematiques et de statistique
Facult´e des sciences et de g´enie
Universit´e Laval
Qu´ebec
24 avril 2009

Table des mati`eres
Table des figures v
Introduction 1
Chapitre 1. G´eom´etrie 3
§1.1. Groupe de transformations 3
§1.2. Domaine fondamental 5
§1.3. Th´eorie de Galois 7
Chapitre 2. Le corps des fonctions m´eromorphes 9
§2.1. Structure 9
§2.2. Automorphismes 10
§2.3. Fonctions automorphes 11
Chapitre 3. Le plan complexe 15
§3.1. Biholomorphismes et groupes discontinus 15
§3.2. Fonction fondamentale 17
§3.3. Fonctions angulaires 19
§3.4. Fonctions p´eriodiques 21
§3.5. Fonctions p´eriodiques paires 24
§3.6. Fonctions elliptiques 25
§3.7. Fonctions rhombiques 36
§3.8. Fonctions carr´ees 37
§3.9. Fonctions triangulaires 39
§3.10. R´esum´e 40
Conclusion 43
Annexe A. Graphe chromatique 45
Bibliographie 47
iii

Table des figures
1.1 Le tr`efle et deux domaines fondamentaux 6
1.2 Le ruban de M¨obius obtenu en quotientant une bande infinie par un groupe
d’hom´eomorphismes 7
2.1 Diagramme commutatif satisfait par une fonction automorphe 12
3.1 Le groupe he2πi/6zi, un pavage associ´e et la fonction fondamentale z620
3.2 Surface angulaire obtenue par collage ou par la fonction fondamentale zn21
3.3 Le groupe hz+ 1i, un pavage associ´e et la fonction fondamentale e2πiz 22
3.4 Surface p´eriodique obtenue par collage ou par la fonction fondamentale e2πiz 23
3.5 Fonctions aux singularit´es essentielles et fonctions enti`eres p´eriodiques
obtenues par composition avec l’exponentielle 24
3.6 Graphe chromatique du Joukovski f(z) = (z+z−1)/2 25
3.7 Le groupe hz+ 1,−ziet la fonction fondamentale cos(2πz) 26
3.8 Pavage, domaine fondamental et surface quotient associ´es au groupe
Λ = hz+ 1, z +τi27
3.9 Partition du r´eseau Λ par des parall´elogrammes semblables emboˆıt´es 30
3.10Graphe chromatique de la fonction elliptique paire ℘et un pavage associ´e,
avec τ= 1/4 + 3i/2 33
3.11Graphe chromatique de la fonction rhombique ℘′, avec τ=e2πi/3=
−1/2 + √−3/2, et un pavage associ´e 38
3.12Graphe chromatique de la fonction carr´ee ℘2, avec τ=i, et un pavage
associ´e 39
3.13Graphe chromatique de la fonction triangulaire ℘′2, avec τ=eπi/3=
1/2 + √−3/2, et un pavage associ´e 40
v