Théories spectrales

Théories spectrales
Stefan Neuwirth

Introduction historique
Voici le point de départ historique de la théorie des opérateurs : le problème de Sturm-Liouville
(pv0)0+qv =r(λv +w)
αv(a) + α0v0(a) = 0
βv(b) + β0v0(b) = 0
(1)
où p∈C1[a, b] est strictement positive, q∈C[a, b] est réelle, le poids r∈C[a, b] est strictement
positif et (α, α0),(β, β0)∈R2\ {(0,0)}: il s’agit de trouver v∈C2[a, b] en fonction du paramètre
λ∈Cet du terme inhomogène w∈C[a, b]. L’équation homogène associée est l’équation (1) avec
w= 0. Sturm a montré en 1836 que les λpour lesquels l’équation homogène a une solution non nulle
forment une suite de nombres réels qui tend vers −∞; si λn’est pas un terme de cette suite, alors la
solution de l’équation (1) est de la forme
v(s) = b
a
k(s, t)w(t)(r(t) dt). (2)
Notons El’espace vectoriel des v∈C2[a, b] tels que αv(a)+α0v0(a) = βv(b)+β0v0(b) = 0. En langage
moderne, la suite des λest formée des valeurs propres de l’opérateur différentiel
x:E→C[a, b]
v7→ (pv0)0+qv
r.
C[a, b] est un espace préhilbertien si on le munit du produit scalaire défini par
hv, wi=b
a
v(t)w(t)(r(t) dt).
Notons kvk2=hv, vi1/2. Si λ∈Rn’est pas valeur propre, nous allons montrer que l’opérateur x−λ
admet un inverse à gauche yde la forme
(y(w))(s) = hw, k(s, ·)i=
b
a
k(s, t)w(t)(r(t) dt).
avec k∈C([a, b]×[a, b]) réelle et symétrique : yest un endomorphisme hermitien de l’espace préhil-
bertien C[a, b]. On dit que yest un opérateur intégral de noyau intégral k. Les valeurs propres µnon
nulles de ysont les inverses des valeurs propres de x−λ: nous allons démontrer que seul un nombre
fini d’entre elles sont positives et qu’elles forment une suite réelle qui tend vers 0 par valeurs néga-
tives ; les espaces propres associés sont de dimension 1 et il y a donc (à multiplication par un nombre
complexe de module 1 près) exactement une fonction propre wµassociée à µtelle que kwµk2= 1. De
plus, la suite des wµforme une base hilbertienne orthonormée de l’espace préhilbertien C[a, b].
Considérons le cas particulier a= 0, b= 1, p=r= 1, q= 0, α0=β0= 0, c’est-à-dire
v00 =λv +w
v(0) = v(1) = 0.
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Alors les valeurs propres de xsont les −n2π2avec n∈N∗de fonction propre associée vn(s) =
√2 sin(nπs). L’inverse à gauche de xest l’opérateur intégral de noyau
k(s, t) = (s−1)tsi 0 6t6s
(t−1)ssi s6t61=st −min(s, t).
Pour toute fonction w∈C[a, b], on a
w−
N
n=1hw, vnivn2−−−−→
N→∞ 0
et la solution de l’équation différentielle linéaire du deuxième ordre v00 =wavec condition aux bords
v(0) = v(1) = 0 est donc la fonction
v(s) = 1
0
k(s, t)w(t) dt=
N
n=1
−1
n2π2hw, vnivn.
Pour résoudre cette équation différentielle, il est donc très utile de calculer la suite des coefficients
hw, vni. Cette remarque est à l’origine de l’analyse de Fourier.
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Premier chapitre
Définition d’une algèbre
1.1 Définition d’une algèbre
Définition 1.1.1. Soit Kun corps commutatif.
(i) Une algèbre sur Kest un K-espace vectoriel A, muni d’une application K-bilinéaire
A×A→A
(x, y)7→ xy
appelée la multiplication dans A, qui est associative. La multiplication dans Asatisfait donc
λ(xy) = (λx)y=x(λy)
(x+y)z=xz +yz
x(y+z) = xy +xz
x(yz) = (xy)z
pour tous x, y, z ∈Aet λ∈K.
(ii) Lorsque la multiplication dans Aadmet un élément neutre u, c’est-à-dire que
ux =xu =x
pour tout x∈A, on dit que uest l’unité de Aet que Aest une algèbre unifère.
(iii) Soit Aune algèbre munie d’une unité u. Un élément x∈Aest inversible s’il existe y∈Atel
que xy =yx =u. On note alors y=x−1. L’ensemble des éléments inversibles est noté A−1.
(iv) Lorsque la multiplication dans Aest commutative, c’est-à-dire que
xy =yx
pour tous x, y ∈A, on dit que Aest commutative.
(v) Étant données deux K-algèbres Aet B, on appelle morphisme d’algèbres de Adans Bune
application linéaire ϕ:A→Btelle que ϕsoit multiplicative :
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)
pour tous x, y ∈A. Si Aet Bsont unifères et ϕtransforme l’unité de Aen l’unité de B, on dit
que ϕest un morphisme d’algèbres unifères.
(vi) Un sous-espace vectoriel Bde l’algèbre Aest une sous-algèbre si xy ∈Bpour tous x, y ∈B.
(vii) Un sous-espace vectoriel Bde l’algèbre Aest un idéal si xy, yx ∈Bpour tout x∈Aet tout
y∈B.
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Remarque 1.1.1.Aest une algèbre unifère si et seulement si Aest un anneau et
ϕ:K→A
λ7→ λu
(1.1)
est un morphisme d’anneaux, où uest l’unité de l’anneau A.
Exemple d’algèbre 1. Le corps commutatif Kmuni de la multiplication donnée par la structure
de corps est une algèbre commutative sur Kdont l’unité est 1.
Les corps que nous allons effectivement considérer dans ce cours sont le corps Rdes nombres réels
et sa clôture algébrique, le corps Cdes nombres complexes. Mais nous essaierons de ne pas exclure
d’autres corps, comme le corps fini Z/pZavec pun nombre premier, si ce n’est pas nécessaire.
Remarque 1.1.2.Si Aadmet une unité à gauche u1:
u1x=xpour tout x∈A
et une unité à droite u2:
xu2=xpour tout x∈A,
alors u1=u2.
Remarque 1.1.3.Si xadmet un inverse à gauche y1, c’est-à-dire que y1x=u, et un inverse à droite
y2, c’est-à-dire que xy2=u, alors y1=y2.
Remarque 1.1.4.Le noyau d’un morphisme d’algèbres est un idéal ; son image est une algèbre.
Exemple d’algèbre 2 (la multiplication triviale).Soit Aun K-espace vectoriel quelconque. Alors
la multiplication définie par xy = 0 quels que soient x, y ∈Amunit Ad’une structure d’algèbre
commutative. Si A6={0},An’est pas unifère.
Proposition 1.1.1. Si ϕ:A→Best un morphisme d’algèbres unifères et x∈Aest inversible, alors
ϕ(x)est inversible et ϕ(x)−1=ϕ(x−1).
Démonstration. Si xest inversible, alors
ϕ(x−1)ϕ(x) = ϕ(x−1x) = ϕ(uA) = uB
et aussi ϕ(x)ϕ(x−1) = uB.
1.2 Définition d’une algèbre involutive
Définition 1.2.1. Soit Kun corps commutatif muni d’une morphisme de corps involutif λ7→ ¯ λ,
qu’on appellera conjugaison :
λ+µ=¯ λ+ ¯µ, λµ =¯ λ¯µ, ¯
λ=λ.
(i) Soit Aune K-algèbre. Une involution de Aest une application semilinéaire, antimultiplicative
et involutive x7→ x∗de Adans A:
(x+y)∗=x∗+y∗,(λx∗) = ¯ λx∗,(xy)∗=y∗x∗,(x∗)∗=x.
L’élément x∗est l’adjoint de x. Une algèbre involutive est une algèbre munie d’une involution.
(ii) Une partie Bde Aest autoadjointe si x∗∈Bpour tout x∈B; si Best une sous-algèbre, on
dit aussi que Best une sous-algèbre involutive.
(iii) Si x∗=x,xest hermitien.
(iv) S’il existe y1,...,yk∈Atels que x=y∗
1y1+···+y∗
kyk,xest positif.
(v) Si xx∗=x∗x,xest normal.
(vi) Si Aadmet une unité uet x∗x=xx∗=u,xest unitaire.
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