Introduction à l`analyse fonctionnelle - Fichier

Le Fonds F.C.A.C. pour l’aide et le soutien à la recherche a accordé une aide
financière pour la rédaction et pour l’édition de cet ouvrage, dans le cadre de sa
politique visant à favoriser la publication en langue française de manuels et de
traités à l’usage des étudiants de niveau universitaire.
ISBN 2-7605-0293-7
Tous droits de reproduction, de traduction
et d’adaptation réservés © 1981
Les Presses de l’Université du Québec
Dépôt légal — 3e trimestre 1981
Bibliothèque nationale du Québec
Bibliothèque nationale du Canada
1981
Les Presses de l’Université du Québec
C.P. 250, Sillery, Québec G1T 2R1
AVANT-PROPOS
Ce livre est considéré comme un manuel pour un premier cours en analyse
fonctionnelle au niveau de la dernière année du premier cycle ou première année de
deuxième cycle. Il s’adresse soit aux étudiants en mathématiques (pures, appliquées ou
statistiques) soit aux étudiants en sciences et génie. Dans ce but, nous avons illustré le texte
avec des exemples variés toutes les fois que nous avons introduit une nouvelle notion ou
montré un théorème. De plus nous avons préféré l’approche classique pour qu’un étudiant
ayant déjà une bonne maîtrise de l’analyse réelle et complexe et de l’algèbre linéaire puisse
facilement suivre ce livre. C’est pourquoi nous ne donnons pas de références.
À la fin des chapitres, le lecteur trouve des exercices et des projets. Le but des
exercices est de vérifier si l’étudiant a bien compris et assimilé le contenu du texte. Ce sont
donc des exemples ou des applications directs de la matière qu’on a vue dans le chapitre et
qui sont faciles à résoudre. D’autre part les projets traitent de sujets nouveaux qui sont en
relation très proche de la matière du chapitre. Nous procédons par étapes. Au lieu
d’expliquer la théorie, c’est le lecteur qui va la découvrir. Nous avons donc trois buts pour
les projets :
a)
approfondir le contenu du chapitre ;
b) apprendre à l’étudiant à faire un développement mathématique ;
c)
élargir un peu le champ des applications de l’analyse fonctionnelle.
Comme le titre de ce livre le mentionne, il s’agit bien d’une introduction à l’analyse
fonctionnelle, c.-à-d. qu’on trouvera ici ou bien un outil mathématique qui s’applique
directement aux domaines divers ou bien une base pour des études plus profondes et plus
récentes de l’analyse fonctionnelle.
Nous ne saurions trop remercier madame Jacqueline Hayes qui a voulu mettre
toute son habileté et son expérience à notre disposition pour la dactylographie du texte. La
grande quantité de symboles utilisés dans ce livre a sans doute demandé une patience et une
persévérance que nous reconnaissons sincèrement.
Walter Hengartner
Marcel Lambert
Corina Reischer
TABLE DES MATIÈRES
CHAPITRE 1 — PRÉLIMINAIRES
1.1
1.2
1.3
Ensembles ordonnés. Axiome des chaînes maximales ............................................2
Éléments de topologie .............................................................................................6
Mesure et intégration .............................................................................................13
CHAPITRE 2 - ESPACES LINEAIRES
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Espaces et sous-espaces linéaires ..........................................................................42
Ensembles linéairement indépendants. Sous-espaces engendrés............................47
Base algébrique. Dimension algébrique ................................................................49
Isomorphisme des espaces linéaires ......................................................................53
Décomposition en somme directe d’un espace linéaire .........................................56
Espaces linéaires quotient. Codimension algébrique .............................................57
Espaces linéaires topologiques ..............................................................................62
EXERCICES .........................................................................................................67
PROJETS ...............................................................................................................73
CHAPITRE 3 - ESPACES MÉTRIQUES
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
Espace métrique. Définitions. Propriétés générales ........................................... 78
Espace normé. Définitions. Propriétés générales ............................................... 88
Convergence. Espaces métriques complets ........................................................ 96
Une propriété de point fixe dans les espaces métriques
complets ............................................................................................................ 111
Complétion des espaces métriques ................................................................... 117
Espaces métriques de première et de deuxième catégorie de
Baire ................................................................................................................. 121
Espaces métriques séparables ........................................................................... 126
Espaces métriques compacts ............................................................................ 135
Espaces normés équivalents ............................................................................. 154
Complétion des espaces normés ...................................................................... 159
Espaces normés de dimension algébrique finie ............................................... 161
L’espace produit ou somme directe de deux espaces normés ......................... 167
EXERCICES .................................................................................................... 171
PROJETS .......................................................................................................... 178
CHAPITRE 4 - ESPACES DE HILBERT
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Définitions. Propriétés générales ......................................................................... 186
Orthogonalité. Décompositions orthogonales d’un espace
de Hilbert ............................................................................................................ 195
Bases orthonormales d’un espace de Hilbert ...................................................... 204
Isomorphisme des espaces de Hilbert. Dimension hilbertienne ......................... 222
Les séries de Fourier .......................................................................................... 225
Théorème de Müntz et polynômes orthonormaux .............................................. 239
EXERCICES ....................................................................................................... 248
PROJETS ............................................................................................................. 253
CHAPITRE 5 - FONCTIONNELLES LINÉAIRES
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Fonctionnelles linéaires sur un espace linéaire .................................................. 268
Fonctionnelles linéaires continues sur un espace normé .................................... 274
Fonctionnelles linéaires sur un espace de Hilbert .............................................. 279
Le théorème de Hahn-Banach ............................................................................ 282
L’espace dual topologique d’un espace normé .................................................. 291
Théorème de Banach-Steinhauss ........................................................................ 310
Distributions ....................................................................................................... 313
EXERCICES ....................................................................................................... 326
PROJETS ............................................................................................................. 331
CHAPITRE 6 - OPÉRATEURS LINÉAIRES
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
Opérations linéaires sur un espace linéaire ....................................................... 336
L’algèbre La(X) ................................................................................................. 341
Opérateurs linéaires continus sur un espace normé ........................................... 343
L’espace normé (L(X,Y), || ||) ........................................................................... 345
L’algèbre de Banach L(X) ................................................................................. 352
Opérateurs linéaires réguliers ............................................................................ 353
Opérateurs linéaires compacts ........................................................................... 358
Convergence dans L(X,Y) ................................................................................. 363
L’opérateur conjugué d’un opérateur linéaire continu ...................................... 371
Le théorème de Banach-Steinhaus .................................................................... 375
Le principe de l’application ouverte et le théorème du
graphe fermé ..................................................................................................... 377
EXERCICES ....................................................................................................... 383
PROJETS ............................................................................................................. 388
CHAPITRE 7 - OPERATEURS LINÉAIRES SUR UN ESPACE DE HILBERT
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
Formes bilinéaires et formes quadratiques ............................................................400
Opérateur adjoint ..................................................................................................406
Opérateurs auto-adjoints .......................................................................................408
Opérateurs auto-adjoints positifs ...........................................................................413
Projecteurs .............................................................................................................419
Opérateurs normaux ..............................................................................................424
Opérateurs unitaires ..............................................................................................425
Représentation d’un opérateur linéaire continu sur un espace
de Hilbert séparable ...............................................................................................430
EXERCICES .........................................................................................................437
PROJETS ...............................................................................................................439
CHAPITRE 9 - FONCTIONS DES OPÉRATEURS LINÉAIRES
BORNES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
La décomposition spectrale d’un opérateur compact et autoadjoint .................................................................................................................... 478
Polynômes et fonctions holomorphes d’opérateurs bornés ................................... 481
Fonctions continues d’un opérateur continu et auto-adjoint ................................. 497
Fonctions semi-continues supérieurement d’opérateurs continus
et auto-adjoints ...................................................................................................... 503
Décomposition spectrale d’un opérateur linéaire continu et
auto-adjoint ............................................................................................................ 507
Fonctions continues et semi-continues d’un opérateur unitaire ........................... 519
Décomposition spectrale d’un opérateur unitaire .................................................. 521
EXERCICES ......................................................................................................... 527
INDEX ALPHABÉTIQUE ................................................................................... 529
LISTE DE NOTATIONS PRINCIPALES.............................................................. 535
CHAPITRE 1
PRÉLIMINAIRES
Le premier chapitre de ce livre est consacré à des sujets qui sont supposés être connus
par le lecteur. Nous donnons un court résumé des théorèmes et définitions que nous allons
utiliser dans les autres chapitres.
Dans le premier paragraphe, nous parlons d’ensembles ordonnés pour arriver à
l’axiome des chaînes maximales. Dans le deuxième paragraphe, nous donnons quelques
notions de base de topologie générale. Nous avons pourtant préféré ne pas aller trop loin
dans la généralisation et ne considérer que le cas des espaces métriques. Le lecteur qui n’est
pas familier avec la topologie générale peut donc aussi suivre le livre sans difficulté. Le
troisième paragraphe est un résumé de la théorie de la mesure et de l’intégration. La
connaissance de ce domaine est indispensable et nous suggérons au lecteur qui n’est pas
familier avec ce domaine de bien lire ce paragraphe.
2
Introduction à l’analyse fonctionnelle
1.1 ENSEMBLES ORDONNES, AXIOME DES CHAÎNES MAXIMALES
Les quelques notions de la théorie des ensembles ordonnés présentées ici sont
nécessaires pour énoncer l’axiome des chaînes maximales. Celui-ci sera utilisé dans la
démonstration de certains théorèmes fondamentaux de l’analyse fonctionnelle.
Préliminaires
3
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Préliminaires
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
est une fonction semi-continue inférieurement et l’infimum d’un ensemble de fonctions
semi-continues supérieurement est une fonction semi-continue supérieurement.
Préliminaires
13
1.3 MESURE ET INTÉGRATION
Dans ce paragraphe, nous donnons un aperçu des définitions et théorèmes de la théorie
de la mesure et de l’intégration que nous utiliserons plus tard.
De plus nous prouverons les inégalités de Hölder et de Minkowski. L’inégalité de
Hölder est une généralisation de l’inégalité de Cauchy qui dit que dans l’espace euclidien le
module du produit scalaire de deux vecteurs est plus petit ou égal au produit de ses
longueurs. D’autre part, l’inégalité de Minkowski généralise l’inégalité de triangle. Ces deux
inégalités sont souvent utilisées dans l’analyse fonctionnelle.
14
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Préliminaires
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Préliminaires
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Préliminaires
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20
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Autrement dit une mesure complexe µ peut être écrite comme µ = µl + i µ2, où µ1,
µ2 sont deux mesures réelles sur M. La variation totale |µ| est, comme avant, la plus
petite mesure positive qui majore la valeur absolue de µ sur les ensembles mesurables.
Préliminaires
21
Notons que φ n’est pas intégrable au sens de Riemann !
Le prochain théorème résume les propriétés élémentaires de l’intégrale d’une fonction
simple, mesurable et positive.
22
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Préliminaires
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Préliminaires
25
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Préliminaires
Nous allons étudier cette convergence plus profondément dans le chapitre 3. Pour
l’instant ne mentionnons qu’une seule propriété.
27
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Préliminaires
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
C. LES INÉGALITES DE HOLDER ET DE MINKOWSKI
L’inégalité de Hölder est une généralisation de l’inégalité de Cauchy qui dit que dans
l’espace euclidien le module du produit scalaire de deux vecteurs est plus petit ou égal au
produit de ses longueurs. D’autre part l’inégalité de Minkowski généralise l’inégalité de
triangle.
Ces deux inégalités sont souvent utilisées dans l’analyse.
Préliminaires
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Préliminaires
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CHAPITRE II
ESPACES LINÉAIRES
42
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
43
44
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
2.2 ENSEMBLES LINÉAIREMENT INDÉPENDANTS , SOUS-ESPACES
ENGENDRÉS.
Nous donnons dans ce paragraphe la notion d’indépendance linéaire et dépendance
linéaire d’un système de vecteurs, ainsi que le sous-espace linéaire engendré par un
ensemble de vecteurs.
DÉFINITION 2.2.1. Soit X un espace linéaire sur K et xl, x2, ..., xn des éléments de X.
47
48
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
2.3 BASE ALGÉBRIQUE. DIMENSION ALGÉBRIQUE
Nous introduisons la notion de base algébrique et montrons
l’existence d’une base algébrique, dans un espace linéaire quelconque en
utilisant l’axiome des chaînes maximales. Pour la notion de base algébrique,
49
50
Introduction à l’analyse fonctionnelle
on peut rencontrer dans la littérature, le nom de base de Hamel. Il faut éviter la confusion
d’une base algébrique avec la base de Schauder ou avec la base hilbertienne. De même, il
faut éviter la confusion entre la dimension algébrique et la dimension hilbertienne.
DÉFINITION 2.3.1. Un sous-ensemble B de X s’appelle une base algébrique de l’espace
linéaire X si
a)
B est un ensemble linéairement indépendant
b)
[B] - X, i.e. le sous-espace linéaire engendré par B est X. L’existence d’une base
algébrique dans un espace linéaire est assurée par la proposition suivante.
Espaces linéaires
51
52
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
2.4 ISOMORPHISME DES ESPACES LINÉAIRES
Les propriétés de l’isomorphisme algébrique nous permettront de
53
54
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
55
THÉORÈME 2.4.3. Deux espaces linéaires X et Y sur le même corps K sont
algébriquement isomorphes si et seulement s’ils ont la même dimension algébrique.
DÉMONSTRATION. Soient X et Y algébriquement isomorphes et soit B une base algébrique
de X. Alors X et Y ont la même dimension et φ(B) est une base algébrique de Y (φ est un
isomorphisme).
En effet, φ(B) est linéairement indépendant (voir 2.4.2) et [φ(B)] = Y, car pour tout y Є Y il
y a un seul vecteur x E X tel que y = φ(x). Mais
56
Introduction à l’analyse fonctionnelle
2.5 DÉCOMPOSITION EN SOMME DIRECTE D’UN ESPACE LINÉAIRE
La décomposition d’un espace linéaire en somme directe nous servira dans l’étude des
espaces de Hilbert.
DÉFINITION 2.5.1. Soit X un espace linéaire et X1, X2 deux sous-espaces de X. X1 et X2
sont une décomposition en somme directe de X, si et seulement si tout x Є X s’écrit de
façon unique sous la forme
THÉORÈME 2.5.2. Soit X un espace linéaire et X1 un sous-espace linéaire de X. Il existe toujours des
sous-espaces complémentaires de X1 par rapport à X.
DÉMONSTRATION. Si X1 = X, le seul sous-espace complémentaire est {o}. Si X1 =
{o}, le seul sous-espace complémentaire est X.
Soit maintenant X1 ≠ {o} et X1 ≠ X et soit B1 une base algébrique de X1 et B une base
algébrique de X contenant B1 (voir 2.3.4).
Espaces linéaires
57
2.6 ESPACES LINÉAIRES QUOTIENT. CODIMENSION ALGÉBRIQUE
Nous introduisons la notion d’espace linéaire quotient par rapport a un sous-espace
linéaire, ainsi que la notion de codimension algébrique qui sera utilisée pour caractériser les
sous-espaces linéaires maximaux.
58
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
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Espaces linéaires
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
2.7 ESPACES LINÉAIRES TOPOLOGIQUES
Les espaces linéaires topologiques ont une double structure.
1.
Une structure de nature algébrique, l’espace linéaire sur un corps K ;
2.
une structure de nature topologique, l’espace topologique.
Entre ces deux structures on suppose une condition de compatibilité, en demandant que
les opérations d’espace linéaire soient continues par rapport à la topologie utilisée.
DÉFINITION 2.7.1. Un espace linéaire X sur un corps K est un espace linéaire topologique
si on définit une topologie sur X telle que les opérations d’espace linéaire, i.e. l’addition des
vecteurs et la multiplication par les scalaires, sont continues.
Espaces linéaires
63
couple (α0, x0). On peut se limiter pour chaque point à un système fondamental de
voisinages.
REMARQUÉ 2.7.3. En général un espace linéaire topologique n’est pas séparé au sens de
Hansdorff (voir 1.2.19).
64
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
65
66
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
67
3. Soit M(n,m,K) l’ensemble des matrices de type (n,m) sur le corps K
a)
Montrer que M(n,m,K) est un espace linéaire sur K avec les opérations habituelles
des matrices.
b)
Trouver une base algébrique pour M(n,m,K).
c)
Quelle est la dimension algébrique de M(n,m,K) ?
d)
Dans M(n,n,K) l’ensemble des matrices symétriques (A = A* , où A*
est la transposée de A) est un sous-espace linéaire.
68
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
69
70
Introduction à l’analyse fonctionnelle
23. Dans l’espace linéaire réel des mesures réelles, sur une a-algèbre donnée, l’ensemble
des mesures positives est convexe.
24. Toute intersection d’ensembles convexes d’un espace linéaire est un ensemble
convexe.
25. La réunion d’une chaîne p.r. à la relation d’inclusion des ensembles convexes d’un
espace linéaire est un ensemble convexe.
Espaces linéaires
71
30.
Toute intersection (ou réunion) d’ensembles équilibrés d’un espace linéaire est un
ensemble équilibré.
31.
Toute intersection finie d’ensembles absorbants d’un espace linéaire est un ensemble
absorbant. Toute réunion d’ensembles absorbants d’un espace linéaire est un ensemble
absorbant.
72
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
73
74
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces linéaires
75
76
Introduction à l’analyse fonctionnelle
CHAPITRE III
ESPACE MÉTRIQUE
Depuis le début du siècle, en analysant des théories sur des sujets apparemment bien
différents, on a observé des ressemblances frappantes tant dans le contenu qu’au niveau du
développement. Les notions d’espace métrique et d’espace normé en sont des exemples parmi
les plus importants.
Dans les paragraphes 1 et 2, nous apporterons beaucoup d’exemples d’espaces
métriques et d’espaces normés. Nous étudierons la convergence dans le paragraphe 3 pour
être amenés ainsi aux espaces métriques complet et aux espaces de Banach. Une première
application fondamentale sera le théorème de Picard-Lindelöf si utile pour des théorèmes
d’existence et d’unicité ou pour le calcul numérique (paragraphe 4). Ce théorème ne
s’appliquant qu’aux espaces complets, il est utile de savoir qu’on peut toujours compléter un
espace métrique (paragraphes 5 et 10). Un autre théorème utilisable dans les théorèmes
d’unicité est celui de Baire sur les espaces métriques de première et de deuxième catégorie
(paragraphe 6). Dans la théorie de l’approximation, les espaces séparables (paragraphe 7) sont
très importants. Nous donnerons une première démonstration du théorème d’approximation
polynomiale de Weierstrass. La notion d’espace métrique compact, développée au
paragraphe 8, a une portée fondamentale dans plusieurs domaines des mathématiques. Nous y
verrons en particulier les théorèmes de Dini, de Tietze et d’Arzela-Ascoli. Enfin nous aborderons les espaces normés équivalents (paragraphe 9), les espaces normés de dimension
finie (paragraphe 11) et les propriétés d’une somme directe de deux espaces normés
(paragraphe 12).
78
Introduction à l’analyse fonctionnelle
3.1 ESPACES MÉTRIQUES, DÉFINITIONS. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
Ce paragraphe est consacré à une introduction à l’espace métrique général que
nous illustrerons par de nombreux exemples.
DÉFINITION 3.1.1.
Soit X un ensemble quelconque non vide. Une semi-métrique,
ou semi-distance, sur X est une application
Espace métrique
79
80
Espace métrique
Espace métrique
81
Imposons maintenant une condition plus restrictive à une semimétrique.
DÉFINITION 3.1.4. Soit X un ensemble quelconque non vide. Une métrique ou encore une
distance sur X est une semi-métrique d : X × X → R, telle que
D5. d(x,y) = 0 si et seulement si x = y.
L’ensemble X muni d’une métrique d s’appelle espace métrique, noté par (X,d).
82
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
85
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
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pour tout xl, yl Є X1, s’appelle une isométrie. On dit dans ce cas que les espaces
métriques (X1, d1) et (X2, d2) sont isométriques.
Une isométrie préserve les distances entre les paires d’éléments correspondants, i.e.
elle préserve la métrique de l’espace.
Montrons, enfin, qu’on peut construire un espace métrique à partir d’un espace semimétrique.
88
Introduction à l’analyse fonctionnelle
3.2 ESPACES NORMES. DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
Nous étudions maintenant un cas particulier d’espace métrique, l’espace linéaire
normé. Sommairement c’est un espace linéaire où la distance d’un élément quelconque à
l’origine satisfait d(λx,o) = |λ|d(x,o) et où la translation est une isométrie. Ces espaces ont
donc une structure d’espace linéaire et une structure d’espace métrique reliées entre elles.
Espace métrique
89
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Un espace linéaire X muni d’une norme s’appelle espace normé, noté par (X, || ||)
Quand la norme ne doit pas être précisée, on va dénoter, en bref, un espace normé
par X.
Espace métrique
91
Espace métrique
93
94
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
95
96
Introduction à l’analyse fonctionnelle
métriques induites respectivement par les normes || ||1 et || ||2, sont isométriques
(voir 3.1.17). Donc une isométrie d’espaces normés préserve la métrique induite par la
norme.
Espace métrique
re de la même façon la notion de suite convergente. Dans ce cas la remarque 3.3.2. n’est
plus valide.
97
98
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
et le théorème est établi.
***
DÉFINITION 3.3.12. Un espace métrique est complet si chaque suite de Cauchy est
convergente.
Retournons à quelques exemples déjà vus.
99
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
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102
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
103
104
Introduction à l’analyse fonctionnelle
EXEMPLE 3.3.22. L’espace de fonctions de répartitions définies dans 3.1.10 muni de
la métrique dL de Lévy est un espace complet.
REMARQUE 3.3.23. Un espace normé (X, || ||) étant en particulier un espace métrique
(X, d) où d(x,y) = ||x - y||, tous les résultats précédents restent valides.
THÉORÈME 3.3.24. Soient (X, || ||) un espace normé et d la métrique induite
Espace métrique
105
106
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
107
DÉMONSTRATION.
a) Montrons d’abord que B(xo,p) est un ensemble convexe (voir
2.7.12). Soit y1 et y2 dans B(x0 ,o). Alors pour tout λ Є [0,1], nous avons
108
Introduction à 1’analyse fonctionnelle
Espace métrique
109
REMARQUE 3.3.32. Les opérations d’un espace normé sont continues dans la topologie
d’espace normé (voir 3.3.24).
L’affirmation reste valide pour un espace semi-normé.
110
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
3.4
111
UNE PROPRIÉTÉ DE POINT FIXE DANS LES ESPACES
MÉTRIQUES COMPLETS
Ce paragraphe est consacré au théorème de point fixe de Picard-Lindelöf qui
s’applique dans plusieurs problèmes. Il donne aussi des théorèmes d’existence et d’unicité.
Nous l’appliquons ici aux équations différentielles et à l’équation de Fredholm, nonhomogène de deuxième espèce.
112
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
113
114
Introduction à l’analyse fonctionnelle
La méthode décrite dans la démonstration du théorème est constructive. Pourtant la
vitesse de convergence est faible. Cette méthode est donc peu utilisée dans les cas concrets.
Espace métrique
115
116
Introduction à l’analyse fonctionnelle
où le noyau k(x,y) et φ(x) satisfont les conditions donnes dans 3.4.5, a une solution unique
en h Є C[a,b] pour tout λ.
DÉMONSTRATION. Observons d’abord que l’équation de Volterra diffère de l’équation
de Fredholm par le fait que la limite supérieure de l’intégrale est une quantité variable x.
Cependant, cette équation peut être considérée comme un cas particulier de l’équation de
Fredholm si on complète la définition de la fonction k(x,y) par k(x,y) _= 0 pour y > x.
Considérons l’application f : C ([a,b]) → C([a,b]) donnée par
g(x) = f(h(x)) où
Espace métrique
117
Observons que l’équation intégrale de Fredholm admet une solution unique
seulement pour des valeurs suffisamment petites du paramètre λ, tandis que l’équation
intégrale de Volterra admet une solution unique pour tout λ.
3,5 COMPLÉTION DES ESPACES MÉTRIQUES
Nous allons montrer que chaque espace métrique qui n’est pas complet peut être
considéré comme un sous-espace dense d’un espace métrique complet.
118
Introduction à l’analyse fonctionnelle
La relation ~ définie sur C par (1) est une véritable relation d’équivalence, parce
que elle est réflexive, symétrique et transitive. Montrons la transitivité. Soient
Espace métrique
119
120
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
121
P,Q Є P. Alors l’espace métrique (P,d) n’est pas complet. L’espace complété est (C([0,1]),
d).
EXEMPLE 3.5.5. L’ensemble de solutions d’une équation aux dérivées partielles considéré
comme un espace métrique n’est pas complet en général. L’espace complété nous amène
aux solutions généralisées au sens de Sobolev.
3.6 ESPACES MÉTRIQUES DE PREMIÈRE ET DE DEUXIÈME CATÉGORIE DE BAIRE
Le théorème de catégorie de Baire peut être utilisé pour montrer des théorèmes
d’existence. Nous le retrouverons aux §§ 5.6 et 6.10 dans la démonstration du théorème de
Banach-Steinhaus.
222
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
4.
F est fermé, parce que l’intersection dénombrable d’ensembles fermés est fermé.
5.
F est rare. Si F contenait un ouvert non-vide, F contiendrait au moins un intervalle
ouvert non-vide qui est exclu par la construction
123
124
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
où Fi sont des ensembles fermés, alors au moins un des ensembles Fi contient un ensemble
ouvert non vide.
THÉORÈME 3.6.10. (Baire). Soit (X,d) un espace métrique non vide complet. Alors X est
de deuxième catégorie de Baire.
DÉMONSTRATION. Supposons que l’espace métrique (X,d) non vide et complet est de
première catégorie de Baire. Alors, on peut écrire
125
126
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Ai contient un ensemble ouvert non vide, donc les Ai ne sont pas rares.
Contradiction.
***
3.7 ESPACES MÉTRIQUES SÉPARABLES
Dans ce paragraphe, nous étudierons des espaces métriques qui contiennent des sousensembles dénombrables denses. Ces espaces jouent un grand rôle dans la théorie de
l’approximation.
Espace métrique
127
128
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
129
130
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
131
indépendantes qui prennent la valeur 1 avec probabilité x et la valeur 0 avec probabilité
(1 - x), donc Xk sont des variables aléatoires de distribution de Bernoulli.
Soit f Є C([0,1]). Puisque f est continue sur un intervalle fermé, elle est
uniformément continue sur [0,1], donc pour tout ε > 0 il existe δ(ε) tel que
132
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
133
L’approximation obtenue par la méthode de Bernstein est explicite et simple à
construire, mais elle n’est pas pratique parce que la convergence est très lente.
Nous allons donner plus tard une deuxième démonstration basée sur la théorie des
séries de Fourier (voir 4.5.8).
Nous sommes prêts maintenant pour l’énoncé suivant.
THÉORÈME 3.7.10. L’espace normé (C([a,b]), || || [a ,b]) est un espace séparable.
DÉMONSTRATION. On utilise le théorème de Weierstrass (voir 3.7.9) et comme dans
l’exemple 3.7.5 nous ne considérons maintenant que des polynômes à cœfficients
rationnels.
***
est séparable.
Donnons maintenant une caractérisation d’un espace métrique séparable.
THÉORÈME 3.7.11. Un espace métrique (X,d) est séparable si, et seulement
134
Introduction à l’analyse fonctionnelle
si chaque recouvrement d’ouverts {0i ; i Є I} de X contient un sous-recouvrement
dénombrable.
Espace métrique
5.8 ESPACES MÉTRIQUES COMPACTS
Nous présentons d’abord deux définitions des espaces métriques
compacts, une première définition due à Bolzano-Weierstrass, et une
définition différente due à HeineBorel et nous montrons l’équivalence de
135
136
Introduction à l’analyse fonctionnelle
ces deux définitions. Enfin, on présente le théorème de Tietze, le théorème de
Arzela-Ascoli et le théorème de Montel.
DÉFINITION 3.8.2. (Heine-Borel). Un espace métrique (X,d) est compact si chaque
recouvrement de X par une famille d’ouverts contient un sous-ensemble fini qui
recouvre X.
DÉFINITION 3.8.3. Soit (X,d) un espace métrique. Un ε-réseau est un ensemble fini de
points
Espace métrique
137
En général, la réciproque du théorème 3.8.5 n’est pas vraie, comme nous le montre
l’exemple suivant :
Contradiction.
THÉORÈME 3.8.7. Un espace métrique (X,d) est compact au sens de Bolzano-Weierstrass
si et seulement s’il est complet et totalement borné.
138
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Mais une telle suite ne possède pas une sous-suite convergente.
Contradiction.
b) Supposons maintenant que l’espace métrique (X,d) est totalement borné et
complet. Montrons que (X,d) est complet dans le sens de 3.8.1.
Espace métrique
139
140
Introduction à l’analyse fonctionnelle
THÉORÈME 3.8.8. Un espace métrique (X,d) est compact au sens de Bolzano-Weierstrass
si et seulement s’il est compact au sens de Heine-Borel.
Espace métrique
Donc, on n’a pas une partie finie de ces boules qui forme un recouvrement de X,
d’où (X,d) n’a pas la propriété de Heine-Borel. Contradiction.
b) Supposons maintenant que (X,d) est un espace compact au sens de BolzanoWeierstrass. Montrons que (X,d) est un espace compact au sens de Heine-Borel.
141
142
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
COROLLAIRE 3.8.14. Dans un espace métrique tout ensemble compact est fermé. De
plus, l’intersection d’un ensemble fermé et d’un ensemble compact est un ensemble
compact.
143
144
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
145
146
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
147
148
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
149
150
Introduction à l’analyse fonctionnelle
i.e. g n’est pas continu sur [0,1].
Puisque la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est une fonction
continue, on voit que l’hypothèse du théorème de Dini que g est une fonction continue
est nécessaire.
De plus la condition fn ≤ fn+l (ou fn+l ≤ fn) est aussi nécessaire.
Espace métrique
151
152
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
153
154
Introduction l’analyse fonctionnelle
3.9 ESPACES NORMES ÉQUIVALENTS
Puisque un espace normé (X, || ||) a un double caractère :
1) algébrique, d’espace linéaire sur un corps K,
Espace métrique
2) topologique, d’espace topologique par la topologie induite sur X par || || ,
il est naturel d’avoir plusieurs types d’isomorphismes entre deux espaces normés.
Ainsi entre deux espaces normés (X1, || ||1) et (X2, || ||2) où X1 et 1 X2 sont des
espaces linéaires sur le même corps K, on peut avoir un isomorphisme algébrique
d’espaces linéaires X1 et X2 (voir 2.4.1), un homéomorphisme d’espaces topologiques
(voir 1.2.25). On peut avoir aussi un isomorphisme entre X1 et X2 qui préserve la norme,
i.e. une isométrie (voir 3.2.16).
On va introduire maintenant un isomorphisme qui tient compte de la nature
topologique d’un espace normé. Ensuite, on va caractériser les normes qui induisent la
même topologie sur un espace linéaire.
155
156
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
157
158
Introduction à l’analyse fonctionnelle
COROLLAIRE 3.9.9. Soit (X, || ||) un espace normé tel que X est un espace linéaire sur K
de dimension algébrique finie n. Alors (X || ||) est équivalent avec l’espace normé (Kn, || ||1).
COROLLAIRE 3.9.10. Deux espaces normés sur le même corps K et de même
dimension algébrique finie n sont équivalents.
En effet, les deux espaces sont équivalents avec (Kn, || ||1) et
l’équivalence entre les espaces normés est une relation d’équivalence,
Espace métrique
159
c’est-à-dire réflexive, symétrique et transitive.
Tout espace normé (X, || ||) de dimension algébrique finie n, a les mêmes
propriétés de nature algébrique ou topologique que l’espace normé (Kn, || ||1)
3.10 COMPLÉTION DES ESPACES NORMÉS
Nous avons vu (voir 3.3.25) qu’un espace de Banach est un espace normé (X, || ||)
complet par rapport à la topologie induite par la norme
Dans 3.3. nous avons donné plusieurs exemples d’espaces normés qui sont des
espaces de Banach (voir 3.3.14 - 3.3.16, 3.3.18) et d’autres qui ne le sont pas (voir 3.3.13,
3.3.17, 3.3.20).
Nous avons vu que chaque espace métrique non-complet peut être considéré
comme un sous-espace métrique dense dans un espace métrique complet (voir 3.5.1). Un
résultat analogue est valide pour les espaces normés non-complets.
160
Introduction à 1’analyse fonctionnelle
Espace métrique
161
est une norme pour P([a,b]). La convergence dans cette norme coïncide avec la
convergence uniforme des polynômes sur l’intervalle fermé
L’espace normé (P([a,b]) || ||[a,b]) n’est pas complet. Un espace de Banach qui
complète cet espace dans le sens de 3.10.1 est l’espace (C([a,b]), || ||[a,b]) (voir 3.3.18). La
démonstration est basée sur le théorème de Weierstrass d’approximation des fonctions
continues. (voir 3.7.9).
3.11 ESPACES NORMES DE DIMENSION ALGÉBRIQUE FINIE
Nous donnons maintenant une caractérisation pour un espace normé de
dimension algébrique finie.
Nous avons vu que tout espace normé (X, || ||), où X est un espace linéaire sur le
corps K, de dimension algébrique finie n, est équivalent à l’espace normé (Kn, || ||) (voir
3.9.9). Il est donc un espace de Banach. De plus, chaque sous-espace normé de dimension
algébrique finie d’un espace normé (X, || ||) est fermé dans X, dans la topologie induite dans
X par || ||.
EXEMPLE 3.11.1. Soit dans l’espace normé (C([a,b]), || ||[a b]) le sous-espace normé Pn([a,b]), ||
||[a,b]) où Pn([a,b]) est l’ensemble des polynômes sur l’intervalle [a,b], de degré au plus n. Alors,
puisque l’espace
162
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
163
164
Introduction à l’analyse fonctionnelle
COROLLAIRE 3.11.4. Un espace normé (X, || ||) est de dimension algébrique finie si et
seulement si l’ensemble S(0, 1) = {y Є X ; ||y|| = l} est compact dans X.
REMARQUE 3.11.5. Le théorème de Riesz, 3.11.3, cesse d’être vrai si X n’est pas un
espace normé. L’exemple suivant justifie cette affirmation.
EXEMPLE 3.11.6. Dans l’espace métrique (H(D),d) où
Espace métrique
Comme une conséquence, on retrouve aussi le résultat que la distance d n’est
pas induite par une norme (voir 3.2.14).
165
166
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Dans le prochain chapitre, on va étendre le théorème 3.11.7. (voir 4.2.14).
Soit maintenant dim X0 = n et u1, ...,un une base algébrique
pour X0. Alors, tout y Є X0 est une combinaison linéaire sur {u1, ...,un}, donc
Espace métrique
1, t, t2, ..., tn,...
167
168
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
169
170
Introduction à l’analyse fonctionnelle
DÉFINITION 3.12.5. Les applications PX1 et PX2, données par (1) s’appellent les
projections de X sur X1, respectivement sur X2.
On peut généraliser d’une manière évidente le produit pour un nombre fini
d’espaces normés. Tous les résultats précédents restent valides.
Espace métrique
171
172
Introduction à l’analyse fonctionnelle
10. Soit (X, || ||) un espace normé et soit d la métrique induite par la norme. Montrez
que d est invariante sous les translations, i.e. d(x + z, y + z) = d(x,y) = d(x - z,
y - z) pour tout x,y,z Є X.
Espace métrique
173
Prouver que pour connaître la distance entre deux points quelconques de X, il suffit de
connaître la distance entre chaque point de X et l’origine, o.
174
Introduction à l’analyse fonctionnelle
20.
Soit (X,d) un espace métrique complet et soit A un ensemble non vide de X. Alors
(A,d) est complet si et seulement si l’ensemble A est fermé dans la topologie induite
par d.
24.
Soit (X, || ||) un espace normé, non trivial, i.e. X ≠ {o}. Montrer que (X, || ||) est
un espace de Banach si et seulement si l’ensemble {x Є X ; ||x|| = 1} est
complet.
Espace métrique
175
176
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
41. Donnez un exemple de deux espaces métriques homéomorphes tels que l’un est
complet tandis que l’autre ne l’est pas.
42. Montrez qu’un espace de Banach est de dimension algébrique finie si et seulement
si tout sous-espace est fermé.
177
178
Introduction à l’analyse fonctionnelle
3. Soit (X, || ||) un espace normé. La norme || || est non-archimédienne si on a ||x + y|| ≤ max
(||x||, ||y||) pour tout x, y Є X. Montrez que si || || est une norme non-archimédienne, alors
a)
||x|| > ||y|| entraîne ||x + y|| ≥ ||x||
b)
la distance induite par || || est une ultramétrique.
Espace métrique
4.
Montrez qu’une para-norme p est une application continue sur X.
5.
Montrez que le noyau d’une para-norme p, i.e. N(p) = {x Є X ; p(x) = 0} est
un sous-espace linéaire fermé de X.
III. Soit (X,d) un espace métrique complet.
179
180
Introduction à l’analyse fonctionnelle
V. Soit X un espace linéaire topologique sur le corps K. X est un espace linéaire
topologique localement convexe s’il possède un système fondamental de voisinages pour
l’origine, qui sont des ensembles convexes et équilibrés. De plus, ils sont des ensembles
absorbants puisque tout voisinage de o dans un espace linéaire topologique est un
ensemble absorbant.
1.
Soit {pi ; i Є I} une famille de semi-normes sur un espace linéaire X.
Espace métrique
181
2.
Soit (X,T) un espace linéaire topologique localement convexe, alors il existe une
famille {pi ; i Є I} de semi-normes sur X, telle que la topologie localement convexe
induite sur X par {pi ; i Є I} coïncide avec T.
3.
Un espace paranormé séparable et complet s’appelle un espace de Fréchet. En particulier
un espace semi-normé et complet ou un espace localement convexe et complet est un
espace de Fréchet.
a)
Montrer que H(D) l’ensemble des fonctions holomorphes sur un domaine D
est un espace de Fréchet.
b)
Soit Pn l’ensemble des polynômes de degré plus petit que n ou égal n. Montrer que
H(D)/Pn est un espace de Fréchet.
182
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espace métrique
183
CHAPITRE IV
ESPACES DE HILBERT
Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un
produit scalaire. Nous allons voir que plusieurs propriétés géométriques de |Rn sont encore
valables (voir paragraphes 1 et 2). Une caractéristique des espaces de Hilbert est qu’on peut
trouver des bases orthonormales (paragraphe 3) qui nous permettent de calculer simplement
les problèmes de meilleure approximation. Dans le paragraphe 4, nous parlons des
isomorphismes des espaces de Hilbert pendant qu’au paragraphe 5, nous traitons de la
théorie classique des séries de Fourier. Nous terminons le chapitre par le théorème de Müntz
et des exemples de polynômes orthonormaux.
186
Introduction à l’analyse fonctionnelle
4.1 DÉFINITIONS, PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
Espaces de Hilbert
187
188
Introduction à l’analyse fonctionnelle
EXEMPLE 4.1.5. Soit (X, M, µ) un espace mesuré. Alors dans l’espace linéaire L2(dµ)
sur X, l’application
Espaces de Hilbert
189
190
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
191
Cette équation nous montre que deux produits scalaires différents sur X entraînent
deux normes induites différentes.
THÉORÈME 4.1.14. Tout espace linéaire peut être muni d’un produit scalaire.
DÉMONSTRATION. Soit X un espace linéaire et soit B une base algébrique de X. Alors
nous définissons
En utilisant 4.1.11 on retrouve le résultat 3.2.5, i.e. tout espace linéaire peut être
muni d’une norme.
THÉORÈME 4.1.15. Un produit scalaire est une fonction continuée sur X × X, par
rapport à la norme induite.
192
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Jusqu’ici nous n’avons pas encore supposé que l’espace linéaire muni d’un
produit scalaire était complet. Nous ferons un pas de plus en définissant l’espace de
Hilbert.
DÉFINITION 4.1.16. Un espace de Hilbert est un espace complet par rapport à la norme
induite par un produit scalaire. En d’autres mots, un espace de Hilbert est un espace de
Banach dont la norme est induite par un produit scalaire.
On peut montrer, comme dans le cas des espaces métriques (voir 3.5.1) et normés (voir
3.10.1) que chaque espace préhilbertien peut être complété.
EXEMPLE 4.1.17. Les exemples 4.1.3 à 4.1.5 sont des espaces de Hilbert.
EXEMPLE 4.1.18. L’espace préhilbertien de 4.1.6 n’est pas un espace de Hilbert.
Dans le prochain théorème, nous allons caractériser les normes qui sont induites par
un produit scalaire.
THÉORÈME 4.1.19. Soit X un espace de Banach. X est un espace de Hilbert (i.e. sa norme
est induite par un produit scalaire) si et seulement si pour tout x, y Є X, on a
DÉMONSTRATION. La condition nécessaire est montrée dans 4.1.13 par les égalités (3)
et (4). Supposons donc qu’on ait (5) et soit (x,y) donné par (6).
a) Montrons d’abord que ||x|| = (x,x)1/2.
En posant x = y dans (6), alors pour tout x Є X,
Espaces de Hilbert
193
194
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
195
196
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
197
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
199
200
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
201
202
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
203
THÉORÈME 4.2.20. (Décomposition orthogonale). Si H1 est un sous espace fermé d’un
espace de Hilbert H, alors tout x Є H se décompose d’une manière unique ;
204
Introduction à l’analyse fonctionnelle
i.e. E est un ensemble orthogonal dont chaque élément ei possède une norme égale à 1.
REMARQUE 4.3.5. Un système orthonormal d’un espace de Hilbert est linéairement
indépendant.
En effet, si E = {ei ; i Є I} est un système orthonormal dans H, et si
Espaces de Hilbert
205
206
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
L’espace ℓ2 étant complet, Hs est complet et donc lui-même un espace de Hilbert.
Soit E = {ek ; k Є |N} un système orthonormal d’un espace de Hilbert.
207
208
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
209
210
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
211
212
Introduction à l’analyse fonctionnelle
DÉMONSTRATION. C’est une conséquence directe de la définition de la somme (4)
et de l’inégalité de Bessel pour des sommes finies.
***
Espaces de Hilbert
213
214
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
215
216
Introduction à l’analyse fonctionnelle
L’existence des bases orthonormales dans un espace de Hilbert non trivial est
assurée par :
THÉORÈME 4.3.20. Dans tout espace de Hilbert non trivial, H # {o}, il y a des bases
orthonormales.
Nous allons faire la liaison entre les bases orthonormales et les développements
en série de Fourier.
Soit E un système orthonormal de H et soit x Є H, x ≠ o, alors la série de
Fourier associée à x, i.e.
Espaces de Hilbert
217
est une somme finie ou dénombrable si on considère seulement les cœfficients de Fourier
ci(x) ≠ o (voir 4.3.15 et 4.3.12). De plus, la série (5) est convergente (voir 4.3.8 et 4.3.12).
Il est naturel de se demander si la somme de la série (5) est l’élément x, ou bien un autre
élément y Є H, y ≠ x. Dans le théorème suivant, on va répondre à cette question.
218
Introduction à l’analyse fonctionnelle
REMARQUE 4.3.23. L’énoncé iii) de 4.3.22 dit aussi qu’une base orthonormale
dénombrable est une base de Schauder (voir 3.7.12), qui est aussi appelée base
hilbertienne. Mais il ne faut pas confondre une base orthonormale avec une base algébrique
d’un espace linéaire (voir 2.3.1). En effet, si B est une base algébrique, alors chaque x Є H
s’exprime de façon unique comme une combinaison linéaire finie sur B, tandis que pour
une base orthonormale E, chaque x Є H s’exprime de façon unique comme une
combinaison linéaire dénombrable sur E.
Espaces de Hilbert
219
Montrons maintenant que dans tout espace de Hilbert, on peut construire des
systèmes orthonormaux à partir d’un ensemble de vecteurs linéairement indépendants. La
procédure est connue sous le nom de l’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
220
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
221
222
Introduction à l’analyse fonctionnelle
4.4 ISOMORPHISME DES ESPACES DE HILBERT. DIMENSION HILBERTIENNE
Après avoir introduit la dimension hilbertienne d’un espace de Hilbert nous allons
montrer que deux espaces de Hilbert sur le même corps qui ont la même dimension
hilbertienne sont isomorphes.
THÉORÈME 4.4.1. Dans un espace de Hilbert non trivial, H ≠ {o}, toutes les bases
orthonormales sont équivalentes, i.e. ont la même cardinalité.
Espaces de Hilbert
223
cl ≤ c2, donc cl = c2.
On peut donc donner la définition suivante :
DÉFINITION 4.4.2. Soit H un espace de Hilbert non trivial, i.e. H # {o}. On appelle
dimension hilbertienne de H le nombre cardinal attaché aux bases orthonormales.
Par convention la dimension hilbertienne de l’espace de Hilbert trivial H = {o}
est zéro.
REMARQUE 4.4.5. Il ne faut pas confondre la dimension hilbertienne d’ut espace de
Hilbert H avec la dimension algébrique de H considéré comme espace linéaire (voir 2.3.8).
DÉFINITION 4.4.6. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert sur le même corps K. On dit
que H1 et H2 sont isomorphes comme espaces de Hilbert si
i)
H1 et H2 sont isomorphes comme espaces linéaires, i.e. il existe un isomorphisme
algébrique φ : H1 - H2.
ii)
H1 et H2 sont isotones, i.e. le produit scalaire est préservé,
(x,y) = (φ(x), φ(y)), pour tout x,y Є H1.
On dit que φ est un isomorphisme d’espaces de Hilbert.
THÉORÈME 4.4.7. Deux espaces de Hilbert sur le même corps K et de même dimension
hilbertienne sont isomorphes comme espaces de Hilbert.
DÉMONSTRATION. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert sur le même corps K et de
même dimension hilbertienne. Si H1 = H2 = {o} le théorème est évidemment vrai.
Supposons donc H ≠ {o}. Soient E1 = {ei ; i Є I}
214
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
4.5 LES SÉRIES DE FOURIER
Dans ce paragraphe nous donnons une première application de la théorie des
espaces de Hilbert. Il s’agit d’un des exemples fondamentaux autour desquels se
développait l’analyse fonctionnelle.
Dans ce paragraphe, m sera la mesure de Lebesgue normalisée sur la
σ -algèbre de Borel de l’intervalle [-π,π], c.-à-d.
225
226
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
227
228
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
229
230
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Nous donnons maintenant une deuxième démonstration de théorème de
Weierstrass (voir 3.7.9).
COROLLAIRE 4.5.8. (Théorème de Weierstrass). La clôture uniforme de polynômes sur
un intervalle [a,b] est l’ensemble de fonctions continues sur [a,b].
DÉMONSTRATION. Sans perdre la généralité, on peut supposer que a = 0, b = 1. Soit
donc f continue sur [0,1]. Nous montrons qu’on peut approcher f uniformément sur [0,1]
par des polynômes. Nous étendons f comme fonction continue à l’intervalle [-π,π] telle que
f(-π) = f(π) = 0.
Espaces de Hilbert
231
232
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
pour tout g Є L1(dm).
III → III’ (voir 4.5.5).
IV → IV’. Soit µ une mesure complexe ou réelle sur la σ-algèbre de Borel sur
[-π,π). Les cœfficients de Fourier sont définis par
233
234
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
235
236
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
237
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
239
240
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
241
242
Introduction à l’analyse fonctionnelle
ce qui entraîne que l’ensemble des polynômes est dense dans l’ensemble des fonctions
continues sur [0,1] par rapport à la norme de L2. D’autre part les fonctions continues sur
[0,1] sont denses dans L2(dt) sur [0,1], ce qui établit l’énoncé.
***
Espaces de Hilbert
Les polynômes de Legendre.
D’après le théorème de Weierstrass, nous savons que l’ensemble des
polynômes est dense dans C([-1,l]) par rapport à la convergence uniforme. De plus
l’inégalité
montre que L2(dt) sur [-1,1] est dans l’adhérence de l’espace linéaire de polynômes par
rapport à la norme L2. Le procédé de Gram-Schmidt nous permet d’obtenir une base
orthonormale de polynômes pour L2(dt) sur [-1,1]. Il s’agit des polynômes de Legendre
(voir 4.3.28) qui sont de la forme
243
244
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
245
246
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
247
248
Introduction à l’analyse fonctionnelle
EXERCICES
1. Montrez que l’inégalité de Cauchy-Schwarz devient une égalité si et seulement si les
vecteurs x et y sont linéairement dépendants.
Espaces de Hilbert
249
250
Introduction à l’analyse fonctionnelle
19. Soient H un espace de Hilbert et E un système orthonormal de H.
Montrez que E est un système orthonormal complet si et seulement si (x,y) (x,z),
pour tout x Є E implique y = z.
Espaces de Hilbert
251
24. Montrez qu’il existe f Є C([-π,π]) tel que la série de Fourier de f diverge pour tout
t Є [-π,π] hors d’un ensemble A de catégorie I dans [-π,π].
25. Montrez que dans l’espace de Hilbert réel L2(dm) sur [-1,1] l’ensemble des
polynômes de Legendre constitue un système orthonormal.
252
Introduction à l’analyse fonctionnelle
26. Montrez que dans un espace de Hilbert un système orthonormal est un ensemble
fermé, borné mais qu’il n’est pas compact si la dimension est infinie.
Espaces de Hilbert
253
254
Introduction à l’analyse fonctionnelle
3.
Montrer qu’une fonction presque périodique est bornée et uniformément continue.
4.
Soit f presque périodique et soit cλ(f) = (f, eiλt)
Montrer l’inégalité de Bessel :
Espaces de Hilbert
c)
Montrer que HP est un ensemble compact et convexe et déterminer les points
extrémaux (i.e. les fonctions dans HP qui ne sont pas des combinaisons
convexes strictes de deux autres fonctions dans HP).
255
256
Introduction à l’analyse fonctionnelle
III. Le principe de Dirichlet.
Considérons l’espace linéaire C1(|z| ≤ 1) de fonctions à valeurs réelles dont les dérivées
partielles d’ordre 1 sont continûment dérivables. Pour u, v Є C1(|z| ≤ 1), l’intégrale de
Dirichlet est définie par
Espaces de Hilbert
257
258
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
259
260
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
3.
Nous montrons maintenant le théorème de F. et M. Riesz qui est le suivant :
Soit µ une mesure complexe sur la σ-algèbre de Borel sur[-π,π). Si
alors µ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue i.e. il existe
g Є L1 (dt) sur [-π,π) telle que dµ - gdt.
261
262
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
263
264
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Espaces de Hilbert
5. Soit maintenant H un espace de Hilbert qui est un espace fonctionnelle propre
(par exemple HL2).
DÉFINITION
Une fonction k(s,t) ; s Є E, t Є E, est un noyau reproduisant si
i)
k(s,t) Є H par rapport à s pour tout t fixé dans E.
ii)
pour tout g Є H et tout t Є E on a g(t) = (g(s),k(s,t)).
a)
Vérifier que B(z,z0) est un noyau reproduisant par rapport à HL2.
b)
Montrer que H admet un noyau reproduisant unique.
c)
Si H1 est un espace de Hilbert qui admet un noyau reproduisant,
alors H1 est un espace fonctionnelle propre.
265
266 Introduction à l’analyse fonctionnelle
e) Soit {ei ; i Є I} une base orthonormale pour H et k(s,t) le noyau reproduisant
par rapport à H. Montrer que
CHAPITRE V
FONCTIONNELLES LINÉAIRES
Dans ce chapitre, nous étudierons les applications linéaires définies sur un espace
linéaire sur K que nous appelons les fonctionnelles linéaires. Après avoir introduit quelques
résultats généraux (paragraphe 1), nous nous limitons dans le paragraphe 2 à l’ensemble X’
des fonctionnelles linéaires continues sur un espace normé X. On appelle X’ l’espace dual
topologique de X et X’ est lui-même un espace de Banach. Dans le cas particulier où X H est
un espace de Hilbert (paragraphe 3), H’ est anti-isomorphe à H. Le théorème central de ce
chapitre est le théorème de Hahn-Banach (paragraphe 4) (voir aussi le projet I) qui admet de
nombreuses applications. Dans le paragraphe 5, nous donnons explicitement l’espace dual
topologique de X = c ; X = LP(dµ) ; 1 ≤ p < ∞, et de X = C(K) où K est un espace métrique
compact. Après avoir démontré le théorème de Banach-Steinhaus (paragraphe 6), nous
finissons ce chapitre par une courte introduction aux distributions (paragraphe 7).
268
Introduction à l’analyse fonctionnelle
5.1 FONCTIONNELLES LINÉAIRES SUR UN ESPACE LINÉAIRE
Après avoir donné quelques exemples de fonctionnelles linéaires, nous montrons
qu’une fonctionnelle linéaire est caractérisée par son noyau.
Soit X un espace linéaire sur le corps K.
DÉFINITION 5.1.2. Une fonctionnelle réelle f, définie sur un espace linéaire réel ou
complexe X, s’appelle sous-additive si
(1)
f(x + y) ≤ f(x) + f(y), pour tout x,y Є X.
La fonctionnelle f s’appelle positive-homogène si
(2)
f(αx) = αf(x), pour tout x Є X et pour tout nombre α ≥ 0 .
Une fonctionnelle sous-additive et positive-homogène s’appelle fonctionnelle
sous-linéaire ou encore fonctionnelle convexe.
REMARQUE 5.1.3. Une fonctionnelle sous-linéaire f sur l’espace linéaire X a les
propriétés suivantes :
f(o) = 0 et -f(-x) ≤ f(x).
En effet, si on prend dans (2), α = 0, on obtient f(o) = 0. De plus,
0 = f(o) = f(x + (-x)) ≤ f(x) + f(-x).
EXEMPLE 5.1.4. Soit (X, || ||) un espace normé. Alors la norme || || est une fonctionnelle
convexe sur X.
EXEMPLE 5.1.5. Considérons l’espace linéaire réel ℓ∞ (voir 2.1.7).
Fonctionnelles linéaires
269
DÉFINITION 5.1.6. Une fonctionnelle f : X → K est homogène si
f(αx) = αf(x), pour tout α Є K et x Є X.
Une fonctionnelle est additive si
f(x + y) = f(x) + f(y) pour tout x,y Є X.
Une fonctionnelle linéaire est une application f : X → K additive et homogène, en
d’autres mots :
f(αx + βy) = αf (x) + βf (y)
pour tout x,y Є X et pour tout α,β Є K.
Nous allons noter l’ensemble de fonctionnelles linéaires sur X par La(X,K) et ses
éléments, les fonctionnelles linéaires, par x’,y’,... Remarquons que La(X,K) n’est pas vide
parce que x’(x) = 0 pour tout x Є X, notée par x’ = o’, est une fonctionnelle linéaire.
270
Introduction à l’analyse fonctionnelle
est une fonctionnelle linéaire.
THÉORÈME 5.1.10. Soit X un espace linéaire sur le corps K. Alors l’ensemble La(X,K) est
un espace linéaire sur K, par rapport aux opérations habituelles d’addition et de
multiplication par un scalaire des applications.
Fonctionnelles linéaires
DÉFINITION 5.1.11. L’espace linéaire La(X,K) s’appelle l’espace dual
algébrique de X.
Puisque La(X,K) est un espace linéaire, on peut parler de son espace dual
algébrique, i.e. La(La(X,K), K), qui s’appelle l’espace bidual algébrique de X.
c.à-d. dim La(X,K) = n.
Puisque chaque espace linéaire sur le corps K, de dimension
algébrique n, est isomorphe à l’espace linéaire Kn (voir 2.4.4), toute
271
272
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
273
274
Introduction à l’analyse fonctionnelle
5.2 FONCTIONNELLES LINÉAIRES CONTINUES SUR UN ESPACE NORME
Puisque tout espace normé est un espace linéaire, tous les résultats du paragraphe
5.1 restent valides pour ce cas. De plus, l’existence d’une norme sur l’espace X nous
permet de trouver des propriétés intéressantes pour les fonctionnelles linéaires continues.
Fonctionnelles linéaires
275
276
Introduction à l’analyse fonctionnelle
THÉORÈME 5.2.8. Soit (X, || ||) un espace de Banach et soit x’ une fonctionnelle linéaire
sur X. Les quatre énoncés suivants sont équivalents.
i)
ii)
iii)
iv)
x’ est bornée.
x’ est uniformément continue sur X.
x’ est continue à l’origine.
ker x’ est fermé.
Fonctionnelles linéaires
277
278
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
279
Donc x’ étant borné, il est continu, i.e. x’ Є X’.
***
5.3 FONCTIONNELLES LINÉAIRES SUR UN ESPACE DE HILBERT
Dans ce paragraphe nous montrons d’abord le théorème de Riesz qui dit qu’une
fonctionnelle linéaire continue sur un espace de Hilbert possède une représentation par un
produit scalaire ; ce qui entraîne qu’un espace de Hilbert est réflexif (voir 5.5.20).
280
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
281
THÉORÈME 5.3.3. Un espace de Hilbert H et son dual topologique H’ sont anti-isomorphes
comme espaces normés. Dans un anti-isomorphisme, la condition φ(λx) = λφ(x) d’un
isomorphisme est remplacée par φ(λx) -- λφ(x).
282
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
283
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
285
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
287
288
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
Nous donnons maintenant quelques applications du théorème de Hahn-Banach
aux cas des espaces normés.
289
290
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
291
5.5 L’ESPACE DUAL TOPOLOGIQUE D’UN ESPACE NORME
Dans ce paragraphe, nous donnons d’abord quelques exemples d’espaces duals
topologiques.
292
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionne1les linéaires
293
294
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
295
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
297
298
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
299
Nous donnons maintenant l’espace dual topologique de (C(X),|| ||∞)
où X est un espace métrique compact.
THÉORÈME 5.5.5. (Riesz). Soit X un espace métrique compact et C(X) l’espace des
fonctions continues sur X muni de la topologie uniforme. Alors (C(X))’ est isomorphe à
l’ensemble de mesures complexes(régulières) sur la σ-algèbre de Borel sur X.
DÉMONSTRATION. Il faut donc montrer que pour une fonctionnelle linéaire continue x’
dans (C(X))’ donnée, il existe une mesure uniquement déterminée µ telle que
300
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
301
302
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
303
304
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Nous avons déjà vu que l’espace dual topologique d’un espace normé et un espace
normé. Le prochain théorème montre qu’il s’agit même d’un espace de Banach.
THÉORÈME 5.5.7. Soit (X, || ||) un espace normé. Alors son dual topologique (X’, || ||) est
un espace de Banach.
Fonctionnelles linéaires
305
306
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
307
308
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Considérons un espace normé (X, || ||) et son espace dual topologique (X’, || ||’)
qui est lui-même un espace de Banach. Il est donc raisonnable d’étudier l’espace dual
topologique de X’ appelé l’espace bidual topologique et qui est noté par X". Une sous-classe
importante de X" est l’ensemble de fonctionnelles linéaires continues définies par
Fonctionnelles linéaires
309
310
Introduction à l’analyse fonctionnelle
5.6 LE THÉORÈME DE BANACH-STEINHAUS
Le théorème de Banach-Steinhaus dit que si une famille de fonctionnelles
linéaires (ou d’opérateurs linéaires, voir 6.10) est localement bornée, alors elle est bornée
en norme.
Fonctionnelles linéaires
311
La condition que (X, || ||) est un espace de Banach est nécessaire. Le théorème de
Banach-Steinhauss n’est pas vrai, en général, pour un espace normé non complet.
EXEMPLE 5.6.2. Considérons l’espace de polynômes P à cœfficients dans K. Pour un
polynôme
312
Introduction à l’analyse fonctionnelle
THÉORÈME 5.6.3. Soient (X, || ||) un espace normé et A un sous-ensemble non vide de
X. Alors A est borné si et seulement si pour tout x’ Є X’ l’ensemble numérique x’(A) est
borné.
Fonctionnelles linéaires
313
314
Introduction à l’analyse fonctionnelle
DÉMONSTRATION. a) Si x’ est continue alors le théorème est évident.
b) Supposons donc que x’ n’est pas continue. Il existe donc une suite
Fonctionnelles linéaires
315
316
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
317
318
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Remarquons que l’addition de deux distributions est déjà définie comme addition
de deux fonctionnelles linéaires. De plus la multiplication d’une distribution par un scalaire
est compatible avec la définition 5.7.7.
Nous introduisons maintenant l’opération la plus importante, à savoir la dérivée
d’une distribution.
DÉFINITION 5.7.8. La dérivée de la distribution x’ est définie par
Fonctionnelles linéaires
Il s’agit donc de la distribution engendrée par la dérivée de f.
THÉORÈME 5.7.9. Chaque distribution admet une dérivée qui est elle-même une
distribution.
319
320
Introduction à l’analyse fonctionnelle
L’endroit où les distributions trouvent les applications les plus fréquentes est dans
la théorie des équations aux dérivées partielles. Dans plusieurs cas on ne peut pas trouver des
solutions classiques, (par exemple, une fonction), mais qu’il existe une solution au sens des
distributions.
Fonctionnelles linéaires
321
322
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
323
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
325
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Introduction à 1’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
327
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Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
329
20. Soit (X, || ||) un espace normé. Un sous-ensemble A de X est faiblement borné si
x’(A) est un sous-ensemble borné dans K pour tout x’ Є X’, i.e. il existe pour tout x’
Є X’ un nombre positif Mx’ tel que pour tout x Є A on ait |x’(x)| < Mx’. Montrez que
tout sous-ensemble faiblement borné de X est borné.
22. Montrez que si X est un espace de Banach, alors X est réflexif si et seulement si X’
est réflexif.
23. Montrez qu’un sous-espace fermé d’un espace de Banach réflexif est réflexif.
24. Montrez qu’un espace de Banach uniformément convexe est réflexif. Donc une
autre démonstration pour le théorème 5.5.20 sans utiliser le théorème 5.3.1.
330
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
PROJET
I. Le théorème de la séparation de Hahn-Banach.
Dans ce projet, soit X un espace linéaire normé ou localement convexe sur K (voir
projet V, chap. 3). Nous allons transformer le théorème de Hahn-Banach en une version
géométrique connue sous le nom du théorème de la séparation de Hahn-Banach.
331
332
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctionnelles linéaires
333
334
Introduction à l’analyse fonctionnelle
CHAPITRE VI
OPÉRATEURS LINÉAIRES
Nous considérons maintenant les applications linéaires (opérateurs linéaires) d’un espace
linéaire x dans un espace linéaire Y sur le même corps K. Si en particulier Y = K, nous
retrouvons la théorie du chapitre 5. Les paragraphes 1 à 4 et 10 sont des extensions naturelles
du chapitre 5. Si Y — X est un espace de Banach, alors l’ensemble d’opérateurs linéaires et
continus L(X) est une algèbre de Banach (paragraphe 5), dont les éléments inversibles sont
étudiés dans le paragraphe 6. Un autre cas particulier d’opérateurs linéaires est l’ensemble des
opérateurs compacts (paragraphe 7) dont la théorie s’est développée autour des équations
intégrales de Fredholm et de Volterra. Pour une suite d’opérateurs linéaires d’un espace de
Banach dans un autre, nous avons trois genres de convergence : a) en norme, b) ponctuelle,
c) faible, que nous étudierons dans le paragraphe 8. Dans le cas particulier des fonctionnelles
linéaires, la convergence ponctuelle coïncide avec la convergence faible et aussi avec la
convergence étoile faible si X est réflexif. À chaque opérateur linéaire continu d’un espace
normé X dans un espace normé Y, nous associons dans le paragraphe 9 un opérateur conjugué
de Y’ dans X’. Le chapitre se termine avec le principe de l’application ouverte et le théorème
du graphe fermé (paragraphe 11).
336
Introduction à l’analyse fonctionnelle
6.1 OPÉRATEURS LINÉAIRES SUR UN ESPACE NORMÉ
Dans l’analyse fonctionnelle, la notion d’opérateur linéaire est une notion
fondamentale puisque, en grande partie, l’analyse fonctionnelle s’est développée en
étudiant des opérateurs linéaires donnés par certaines équations intégrales. Nous donnons
ici les définitions et propriétés de base des opérateurs linéaires sur un espace linéaire.
Une application linéaire apparaît aussi sous les noms de transformation linéaire ou
opérateur linéaire. Nous utiliserons le nom d’opérateur linéaire.
REMARQUE 6.1.2. Dans le cas particulier Y = K, on retrouve les fonctionnelles linéaires
(voir 5.1.6).
EXEMPLE 6.1.3. Soient X et Y deux espaces linéaires sur le même corps K, dim X = n et
dim Y = m. Soient u1,...,un une base algébrique pour X et v1,...,vm une base algébrique pour
Y. Montrons que tout opérateur lit linéaire T : X → Y est déterminé, dans les bases choisies,
de façon unique par une matrice de type n × m, A = (αij) où αij Є K, i =1,...,n ; j 1, ... ,n.
Opérateurs linéaires
337
338
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
339
340
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Soient X et Y deux espaces linéaires sur le même corps K et T un opérateur linéaire
de X dans Y. Puisque TX est un sous-espace linéaire de Y, on peut parler de dim TX, qui
peut être finie ou non. Parmi les opérateurs linéaires de X dans Y, on distingue une classe
assez riche en propriétés, introduite ainsi.
DÉFINITION 6.1.15. Un opérateur linéaire T : X → Y est de rang fini si dim TX < ∞.
EXEMPLE 6.1.16. L’opérateur linéaire nul, 0, i.e. 0x = o, pour tout x Є X est de rang
fini. En effet 0X = {o} et dim {o} = 0.
EXEMPLE 6.1.17. Une fonctionnelle linéaire x’ : X → K est un opérateur linéaire de
rang fini. En effet x’(X) = {0} ou bien x’(X) = K, i.e. dim x’(X) < ∞. (voir 5.1.13 5.1.14).
EXEMPLE 6.1.18. Si dim X = n, tout opérateur linéaire de X dans Y est de rang fini. En
effet dim TX ≤ dim X = n. Si A est la matrice correspondante à T dans des bases choisies
pour X et Y (voir 6.1.3), le rang de la matrice A est égal à la dimension de TX.
EXEMPLE 6.1.19. Prenons, dans l’exemple 6.1.5,
Opérateurs linéaires
qui joue le rôle d’une multiplication.
THÉORÈME 6.2.2. La(X) est une algébre linéaire avec identité sur K.
DÉMONSTRATION. On vérifie d’abord aisément
que l’opérateur T2 ° T1 est linéaire et que les propriétés
de 2.1.13 sont satisfaites. De plus l’identité est l’opérateur T = I défini par
341
342
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
Montrons que la linéarité de T entraîne l’équivalence de définitions 6.3.1 et 6.3.2.
THÉORÈME 6.3.3. L’opérateur linéaire T Є La(X,Y) est continu sur X si et seulement
s’il est borné.
343
344
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
345
346
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Dans ce qui suit, L(X,Y) signifie l’ensemble des opérateurs linéaires continus de X dans
Y qui est un sous-espace linéaire de l’espace linéaire La(X,Y) (voir 6.2.1). Donc L(X,Y) peut
être regardé lui-même comme un espace linéaire sur le corps K.
Introduisons maintenant une norme pour L(X,Y).
Opérateurs linéaires
347
348
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
349
350
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Donnons maintenant un théorème sur le prolongement des opérateurs linéaires
continus en préservant la continuité et la norme.
Opérateurs linéaires
351
352
Introduction à l’analyse fonctionnelle
6.5 L’ALGÈBRE DE BANACH L(X)
Si (X, || ||) est un espace de Banach, alors L(X) = L(X,X) muni de la norme
introduite dans 6.4.1 est aussi un espace de Banach. De plus L(X) est une algèbre linéaire
avec identité.
DÉFINITION 6.5.1. Une algèbre linéaire X munie d’une norme s’appelle une algèbre
normée si on a pour tout x,y Є X :
DÉFINITION 6.5.3. Une algèbre de Banach est une algèbre normée qui est complète par
rapport à la norme, i.e. un espace de Banach.
THÉORÈME 6.5.4. Soit (X, || ||) un espace de Banach. Alors L(X) est une algèbre
de Banach.
Opérateurs linéaires
6.6 OPÉRATEURS LINÉAIRES RÉGULIERS
Dans ce paragraphe, nous étudierons les opérateurs linéaires continus qui sont des
homéomorphismes d’un espace de Banach sur lui-même.
353
354
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
355
356
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
357
358
Introduction à l’analyse fonctionnelle
6.7 OPÉRATEURS LINÉAIRES COMPACTS
Dans ce paragraphe nous allons étudier une classe d’opérateurs linéaires continus
d’un espace normé X dans un espace de Banach Y que l’on rencontre souvent en étudiant
des équations intégrales.
Soient (X, || ||1) un espace normé et (Y, || ||2) un espace de Banach.
DÉFINITION 6.7.1. Un opérateur linéaire T Є La(X,Y) est compact ou complètement
continu si l’image de chaque ensemble borné de X est relativement compact dans Y.
Opérateurs linéaires
En effet, parce que la fonction k(t,u) est continue sur le carré [0,1] x [0,11, elle est
uniformément continue, donc
Soit E un ensemble borné quelconque dans (C([0,1]), || || [0,1]).
Alors TE est un ensemble de fonctions équicontinues. D’autre part,
ce qui veut dire que TE est uniformément borné et d’après le théorème
3.8.26 d’Arzela-Ascoli, l’ensemble TE est relativement compact.
Si TE est un ensemble fini, TE est compact. Supposons donc que TE est un
ensemble infini de points dans Y = ℓ2 et supposons par l’absurde que TE n’admet aucun
point d’accumulation dans Y. Il existe donc
359
360
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
Soit maintenant R(ε/2) = {y1, ...,ym} un ε/2-réseau pour l’ensemble relativement
compact Tn0E. Nous montrons que R(ε/2) est un ε-réseau pour l’ensemble TE. En effet,
pour x Є E, nous avons pour un certain j Є {1,...,m},
Soit maintenant X = Y un espace de Banach et considérons l’ensemble Lc(X) =
Lc(X,Y). Nous avons vu que L(X) forme une algèbre de Banach (voir 6.5.4) et que
L0(X) forme un idéal de deux côtés dans l’algèbre linéaire La(X) (voir 6.2.4). Cette
dernière propriété est aussi vraie pour Lc(X).
THÉORÈME 6.7.8. L’ensemble Lc(X) forme un idéal de deux côtés dans L(X).
361
362
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
6.8 CONVERGENCE DANS L(X,Y)
Dans ce paragraphe, nous étudierons trois genres de convergence des suites
d’opérateurs linéaires et deux genres de convergence des suites dans un espace normé.
Soient (X, || ||1 ) et (Y, || ||2) deux espaces normés et L(X,Y) l’espace normé des
opérateurs linéaires et continus de X dans Y.
363
364
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
365
366
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
Il y a certains cas où les convergences en norme et faibles sont équivalentes.
THÉORÈME 6.8.12. Si la dimension algébrique de l’espace normé (X, || ||)
et fini, alors la convergence en norme est équivalente à la convergence
367
368
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
369
370
Introduction à l’analyse fonctionnelle
0pérateurs linéaires
371
REMARQUE 6.8.18. Le théorème 6.8.17 reste vrai même si l’espace normé (X, || ||) n’est
pas séparable (voir G. Bachman and L. Narici : Functional Analysis, Academic Press, New
York, 1966, p. 339).
Si X est réflexif, alors la boule unité fermée dans X’ est faiblement compacte.
6,9 L’OPÉRATEUR CONJUGUE D’UN OPÉRATEUR LINÉAIRE CONTINU
Soient (X, || ||1) et (Y, || ||2) deux espaces normés sur le même
corps K et L(X,Y) l’espace normé des opérateurs linéaires et continus de
372
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaire
373
374
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
375
6.10 LE THÉORÈME DE BANACH-STEINHAUS
Le théorème de Banach-Steinhaus pour les opérateurs linéaires continus est le même
que pour les fonctionnelles linéaires. Nous supposons dans ce paragraphe que X et Y sont
deux espaces de Banach.
376
Introduction à l’analyce fonctionnelle
Opérateurs linéaires
6.11 LE PRINCIPE DE L’APPLICATION OUVERTE
ET LE THÉORÈME DU GRAPHE FERMÉ
Si X et Y sont deux espaces de Banach, on peut caractériser les opérateurs linéaires
continus par leurs graphes. De plus, si T Є L(X,Y) est surjectif, T est aussi une application
ouverte.
DÉFINITION 6.11.1. Soient X et Y deux espaces normés. Un opérateur
T Є L(X,Y) est régulier, si
a)
T(X) = Y
b) T-1 existe sur Y et T-1 E L(Y,X).
DÉFINITION 6.11.2. Soient X et Y deux espaces normés (ou métriques).
377
378
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
379
380
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
381
382
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
3. Soient X et Y deux espaces linéaires sur le même corps K, T Є La(X,Y) et A un sousensemble de X. Montrez que
a)
Si A est équilibré, alors TA est équilibré
b)
Si A est convexe alors TA est convexe
c)
Si A est absorbante sur X et T est constante sur A, alors T est identiquement
zéro.
5. Soit T Є La(X,Y). Montrez que les applications suivantes sont équivalentes :
6.
i)
T Є L(X,Y)
ii)
T est bornée sur la boule unité fermée
iii)
T est bornée sur une boule fermée B(x0 ,ρ)
iv)
T est continue dans un point x Є X
v)
Ker T est fermé.
Soient (X, || ||1 ) et (Y, || ||2 ) deux espaces normés et soit T Є L(X,Y).
Montrez que
383
384
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
385
386
Introduction à l’analyse fonctionnelle
est une métrique sur l’espace X’ et que la convergence étoile faible en X’ implique
la convergence dans cette métrique. De plus la boule unité fermée de X’ est
compacte dans la topologie induite par la métrique d.
Opérateurs linéaires
387
388
Introduction à l’analyse fonctionnelle
PROJET
I. Le théorème de Kuhn-Tucker.
Dans ce projet, nous appliquons le théorème de Hahn-Banach et la convergence
faible à la programmation convexe.
Opérateurs linéaires
389
390
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
391
2. Nous montrons maintenant le théorème de Kuhn-Tucker au sens classique pour un espace
de Hilbert.
THÉORÈME 1.
a) Soit f une fonctionnelle convexe sur H. Alors f admet sur chaque ensemble convexe
borné et fermé E son minimum.
392
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
393
394
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires
5.
395
Considérons deux joueurs A et B. Le joueur A gagne la somme que B perd ; il y en a
donc pas des sources ou des puits d’extérieurs. Un tel jeu est appelé un jeu de deux
joueurs à la somme zéro. Le joueur A évalue ses gains minimaux pour chaque
stratégie x Є E2 du joueur B et va jouer la stratégie u0 Є E1 qui maximise les gains
minimaux. Il cherche donc
où G(x,u) est la fonction de gains de A si A joue u et B joue x. Remarquons que G(x,u)
< 0 signifie que A paie. De même B évalue ses pertes maximales pour chaque stratégie
u Є E1 de A et cherche la stratégie x0 Є E2 qui minimise les pertes maximales. Il cherche
donc
THÉORÈME 4
Soient E1 et E2 deux ensembles convexes et fermés dans un espace
de Hilbert H et supposons de plus que E1 est borné. Soit G(x,u) la
396
Introduction à l’analyse fonctionnelle
fonction de gains de A qui satisfait
a)
G(x,u) est continue de u sur E1 pour tout x Є E2 fixé
b)
G(x,u) est convexe de x Є E2 pour tout u Є E1 fixé
c)
G(x,u) est concave de u Є E1 pour tout x Є E2 fixé .
Opérateurs linéaires
c)
397
Supposons que les conditions du théorème 4 sont satisfaites et supposons de plus que
G(x,u) soit continue de x dans E2 et de u dans E1 et que E, soit aussi borné. Montrer que
le jeu possède une stratégie optimale qui est un point de selle de G.
CHAPITRE VII
OPÉRATEURS LINÉAIRES SUR UN ESPACE DE HILBERT
Dans ce chapitre, nous étudions plusieurs classes d’opérateurs linéaires sur un
espace de Hilbert. Nous commençons d’abord par étudier les formes bilinéaires et
quadratiques sur un espace linéaire. Celles-ci sont à la base de ce chapitre et nous amènent
aux opérateurs auto-adjoints qu’on rencontre souvent dans la physique et qui possèdent des
propriétés fondamentales que nous allons étudier aux chapitres 8 et 9. De plus, il est possible
d’introduire un ordre au sens que T ≥ 0 si (Tx,x) Є 0 pour tout x Є H. Une sous-classe
d’opérateurs positifs est l’ensemble de projections orthogonales de H sur un sous-espace
fermé.
Après avoir introduit les classes normales et unitaires, nous terminons le
chapitre par la représentation d’un opérateur linéaire sur un espace de Hilbert séparable par
une matrice infinie.
400
7.1
Introduction à l’analyse fonctionnelle
FORMES BILINÉAIRES ET FORMES QUADRATIQUES
Considérons d’abord un espace de Hilbert H sur K et T Є La(H). Alors les
fonctions f1 et f2 de H × H dans K définies par
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
401
Il est facile a vérifier que l’ensemble de formes bilinéaires forment un espace
vectoriel par rapport aux opérations habituelles de fonctions et si X est un espace normé,
l’ensemble de formes bilinéaires bornées est un sous-espace que nous pouvons munir d’une
norme de la manière suivante :
402
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
403
404
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
405
406
7.2
Introduction à l’analyse fonctionnelle
OPÉRATEUR ADJOINT
Au paragraphe 6.9, nous avons introduit l’opérateur conjugué d’un opérateur linéaire
continu T. Au cas où H est un espace de Hilbert et où T Є L(H), l’opérateur conjugué T’ est
appelé l’opérateur adjoin de T et est noté par T*. À cause du théorème de Riesz (voir
5.3.1) nous avons :
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
407
THÉORÈME 7.2.1. Soit H un espace de Hilbert et soit L(H) l’algèbre de Banach des
opérateurs linéaires continus T : H → H. Pour tout T Є L(H) il existe un et un seul
opérateur T* Є L(H), tel que
408
7.3
Introduction à l’analyse fonctionnelle
OPÉRATEURS AUTO-ADJOINTS
Dans ce paragraphe nous allons étudier une classe d’opérateurs
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
409
dans L(H) qui coincident avec leurs adjoints.
DÉFINITION 7.3.1. L’opérateur T Є L(H) s’appelle auto-adjoint (ou encore symétrique,
hermitien ou auto-conjugué) si T = T . C.-à-d. que T est auto-adjoint si et seulement si
(Tx,y) = (x,Ty), pour tout x,y Є H.
Notons par A(H) l’ensemble des opérateurs auto-adjoints sur l’espace de Hilbert H.
410
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
411
412
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
413
414
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
415
416
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
417
418
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
419
420
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
421
422
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
423
424
Introduction à l’analyse fonctionnelle
7.6 OPÉRATEURS NORMAUX
Dans ce paragraphe, nous allons étudier une classe d’opérateurs dans L(H) qui
sont commutables avec leurs adjoints.
DÉFINITION 7.6.1. Un opérateur T Є L(H) est normal si
T ° T* = T* ° T.
Le premier théorème est une caractérisation des opérateurs normaux à l’aide d’une
décomposition.
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
7.7
OPÉRATEURS UNITAIRES
Dans ce paragraphe, H signifie un espace de Hilbert sur un corps K.
Nous allons étudier une classe d’opérateurs dans L(H) qui préservent
425
426
Introduction à l’analyse fonctionnelle
le produit scalaire.
DÉFINITION 7.7.1. Soit H un espace de Hilbert. Une application T : H → H est unitaire si
i)
TH = H, i.e. T est surjective
ii)
(Tx,Ty) = (x,y), pour tout x,y E H, i.e. T préserve le produit scalaire.
THÉORÈME 7.7.2. Soit T une application unitaire. Alors T Є L(H) et
||T|| = 1.
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
427
EXEMPLE 7.7.5. Considérons H = ℓ2 et TS Є L(H) (voir 6.6.2). Puisque TSH # H, TS
n’est pas unitaire, mais nous avons pourtant, pour tout x,y Є H
(TSx, TSy) = (x,y).
THÉORÈME 7.7.6. Un opérateur unitaire T est régulier. De plus T-1 Є U(H).
DÉMONSTRATION. De (1), on déduit que Tx = o si et seulement si x = o, donc
l’opérateur T est inversible et T-1 Є L(H). On a d’après 7.7.1 i) que T-1H = H, i.e. T-1 est
surjectif. Il nous reste à montrer que T-1 satisfait 7.7.1 ii).
En effet, pour tout x,y Є H,
(x,y) (T(T-lx), T(T-ly)) = (T-lx, T-ly).
Donnons maintenant une caractérisation des opérateurs unitaires.
THÉORÈME 7.7.7. Un opérateur T Є L(H) est un opérateur unitaire si et seulement si
(2)
T-1 = T*.
428
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
429
Nous allons maintenant affaiblir les conditions pour un opérateur unitaire, c.-à-d.
nous ne supposons plus que TH est tout H.
DÉFINITION 7.7.11. Un opérateur T Є L(H) est isométrique si pour tout x,y Є H,
(Tx, Ty) = (x,y),
i.e. T préserve le produit scalaire et donc la métrique. C’est la raison pour laquelle on
appelle T une isométrie. Un opérateur unitaire est isométrique mais il y a des opérateurs
isométriques qui ne sont pas unitaires.
EXEMPLE 7.7.12. L’opérateur TS sur ℓ2 est isométrique mais pas unitaire (voir 7.7.5).
Pour un opérateur isométrique, nous avons évidemment
||Tx|| = ||x||, pour tout x Є H,
et donc ||T|| = 1. Cette condition d’autre part, caractérise les opérateurs isométriques.
THÉORÈME 7.7.13. Un opérateur T Є L(H) est isométrique si et seulement
si, pour tout x Є H,
430
(5)
Introduction à l’analyse fonctionnelle
||Tx|| = ||x||.
DÉMONSTRATION. Supposons que T satisfait la relation (5). Alors pour tout x,y Є H,
on a (voir (4) du paragraphe 4.1).
7.8
REPRÉSENTATION D’UN OPÉRATEUR LINÉAIRE CONTINU
SUR UN ESPACE DE HILBERT SÉPARABLE
Tout espace linéaire X sur K de dim X = n est isomorphe à l’espace Kn, et chaque
opérateur linéaire sur X peut être représenté, dans une base choisie pour X, par une matrice
d’ordre n. Étant donné qu’un espace de Hilbert séparable est isomorphe à ℓ2 (voir 4.4.8), il
est facile de 2 prévoir des propriétés analogues.
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
431
432
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
433
434
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
435
436
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
437
438
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
439
Nous avons déjà vu que dans un espace de Hilbert H séparable, à tout T Є L(H)
correspond d’une manière unique une matrice infinie, par rapport à une base donnée
de H, et réciproquement, étant donnée une matrice infinie qui satisfait à certaines
conditions on peut définir de façon unique un opérateur linéaire et continu
T Є L(H) (voir 7.8.7). Nous montrons maintenant que cette correspondance
préserve les opérations.
440
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
Montrez que la matrice associée à T dans la base e1 ,e2 ,... est une matrice de
Toeplitz.
d) Montrez le théorème suivant :
441
442
Introduction l’analyse fonctionnelle
THÉORÈME (Kojima-Schur). On a TA Є La(c) si et seulement si la matrice infinie A
satisfait
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
443
444
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert
445
446
Introduction à l’analyse fonctionnelle
c) Soient X, Y deux espaces normés ou localement convexes et f : X → Y une
application telle que pour tout y Є X on ait pour un x fixé
CHAPITRE VIII
THÉORIE SPECTRALE
448
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
449
450
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
451
452
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
453
454
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
455
La plus grande partie des théorèmes fondamentaux des variables complexes sont
encore valides pour des fonctions analytiques à valeurs appartenant à un espace de Banach.
Les démonstrations sont basées sur le théorème de Hahn-Banach.
456
Introduction à l’analyse fonctionnelle
x(λ1) = x(λ2),
c.-à-d. x(λ) est constante.
***
Théorie spectrale
457
458
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
459
460
Introduction à l’analyse fonctionnelle
était vide, φ(λ) serait une fonction entière qui s’annule à l’infini. D’après le théorème
de Liouville on a φ(λ) ≡ 0, ce qui contredit que φ(λ0) ≠ 0
***
Théorie spectrale
461
462
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
463
464
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Le prochain théorème caractérise les valeurs régulières d’un opérateur compact.
Théorie spectrale
465
466
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
467
468
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
469
470
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
471
472
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
473
474
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Théorie spectrale
475
476
Introduction à l’analyse fonctionnelle
CHAPITRE IX
FONCTIONS D’OPÉRATEURS LINÉAIRES BORNES ET
DÉCOMPOSITION SPECTRALE.
Les méthodes et techniques utilisées s’appliquent aux cas plus généraux des
algèbres de Banach. Pourtant nous avons préféré rester au cas classique des opérateurs
linéaires.
478
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
479
DÉMONSTRATION. Notons que 2) s’ensuit du fait que les espaces propres sont
mutuellement orthogonaux et 3) du fait que la dimension de chaque espace propre
correspondant à une valeur propre différente de zéro est fini. De plus T est du rang fini.
***
480
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
481
REMARQUE 9.1.4. Le théorème de la décomposition spectrale reste encore vrai pour les
opérateurs compacts et normaux. Évidemment les valeurs propres ne sont plus
nécessairement réelles.
482
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
483
484
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
485
486
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
487
488
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bronés et décomposition spectrale
489
490
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
491
492
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
493
494
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Comme cas particulier, nous obtenons la solution générale pour une équation
différentielle linéaire d’ordre 1
Nous montrons maintenant le théorème de la transformation spectrale pour les
fonctions holomorphes d’opérateurs linéaires continus.
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
495
496
Introduction à l’analyse fonctionnelle
les valeurs propres de A sont différentes de zéro.
Nous finissons ce paragraphe en étudiant les valeurs propres d’un
opérateur T Є L(H).
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
497
498
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
499
500
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
501
502
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
503
504
Introduction à l’analyse fonctionnelle
e)
La somme et le produit de deux fonctions s.c.s. sur (a,b) est une fonction
s.c.s. sur (a,b).
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
505
506
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
507
508
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
509
510
Introduction à l’analyse fonctionnelle
PROPOSITION 9.5.5. Soit T Є A(H) et g une fonction continue sur [mT - t0, MT], t0 > 0, à
valeurs réelles. Alors g(T) peut être approché en norme par des combinaisons linéaires de
projections orthogonales définies sur H.
DÉMONSTRATION. Soit maintenant g une fonction continue sur σ(T) à valeurs réelles.
D’après le théorème de Dini, nous pouvons étendre g à une fonction continue sur [mT- t0,
MT] où t0 est arbitraire et positif. Puisque la nouvelle fonction g est uniformément
continue sur [mT - t0, MT], il existe pour tout ε > 0 donné un δ(ε) > 0 tel que |g(t) - g(s)| < ε
si |t - s| < δ et mT - t0 ≤ s, t ≤ MT. Nous choisissons une partition
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
511
512
Introduction à l’analyse fonctionnelle
ce qui dit qu’on peut approcher g(T) en norme par des combinaisons linéaires de
projections orthogonales et la proposition 9.5.5 est démontrée.
***
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
523
514
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
515
516
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
517
518
Introduction à l’analyse fonctionnelle
dit qu’on peut approcher g(T) en norme par un opérateur de rang fini. Donc g(T) est
aussi compact. Ce fait ne reste plus vrai si g(0) ≠ 0.
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
519
520
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Nous étudions maintenant g(T) où T est unitaire et g une fonction continue sur σ(T).
Les démonstrations des théorèmes sont presque exactement celles que nous avons données
au paragraphe 9.3.
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
9,7 DÉCOMPOSITION SPECTRALE D’UN OPÉRATEUR UNITAIRE,
Dans ce paragraphe, nous montrons la décomposition spectrale pour T Є U(H),
comme nous l’avons fait dans le paragraphe 9.5 pour T Є A(H).
Puisque pour S Є A(H) l’opérateur T = eiS est unitaire (voir 9.3.3 b),
nous obtenons par le théorème 9.5.7 e),
521
522
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
523
524
Introduction à s’analyse fonctionnelle
si g1 (n) = g2 (n) pour tout η Є σ(T). Il est suffisant que g soit continue sur σ(T). D’après
le théorème de Dini (voir 3.8.22), on peut étendre g comme fonction continue sur [0, 2π].
L’opérateur g(T) ne dépend pas de quelle manière l’extension de g est faite.
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
525
526
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Fonctions d’opérateurs linéaires bornés et décomposition spectrale
527
528
9.
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Considérons U1(H) l’ensemble d’opérateurs unitaires définis sur H
dont λ = 1 n’est pas dans le spectre. Montrer qu’il y a une bijection entre A(H) et U1(H).
INDEX ALPHABÉTIQUE
Addition de distributions, 318
vecteurs, 42
Adhérence, 10
Algèbre linéaire, 46
normé, 352
Angle entre deux vecteurs, 196
Anti-isomorphisme d’espaces
de Hilbert, 281
Application additive, 336
affine, 180
analytique, 455
contractive, 179
homogène, 336
linéaire, 336
ouverte, 378
unitaire, 426
Arzelo-Ascoli, théorème de, 150
Axiome de choix, 5
des chaînes maximales, 4
Baire, sous-ensemble de 2e catégorie de,
123
de lère catégorie de, 123
théorème de, 125
Ballon, 65
Banach, algèbre de, 352
espace de, 105
théorème de, 379
Banach-Steinhaus, théorème de, 310,
376
Base algébrique, 50
de voisinages, 8
hilbertienne, 218
orthonormale, 215
Beppo-Levi, inégalité de, 249
Bergman, noyau de, 263
Bessel, inégalité de, 209, 212
Borel, ensemble de, 14
σ-algèbre de, 14
Borélien, 14
Boule fermée de centre x0 et de rayon ρ,
105
ouverte de centre x0 et de
rayon ρ, 105
Cantor, ensemble de, 122
théorème de, 142
Carathéodory, lemme de, 75
Cauchy, suite de, 97
théorème de, 456
Cauchy-Schwarz, inégalité de, 188
Cayley, transformation de, 438
Cesaro, moyenne de, 226
Chaîne, 2
Clôture, 10
Codimension algébrique, 60
Cœfficient d’une combinaison
linéaire, 47
Combinaison affine, 73
convexe, 75
équilibrée, 334
linéaire finie, 47
non-triviale, 47
Complétion des espaces métriques, 117
normés, 159
fonctionnelle propre, 264
Convergence étoile faible, 367
faible, 363
en norme, 108, 363
ponctuelle, 363
uniforme, 363
Contraction, 111
Cône convexe, 65
dual, 394
positif, 393
Complément orthogonal, 197
Décomposition en somme directe d’un
espace linéaire, 56
orthogonale, 203
Dérivée au sens des distributions,
319
d’une distribution, 318
généralisée, 319
Dimension algébrique, 53
hilbertienne, 223
Dini, théorème de, 149
Dirac, mesure de, 16
530
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Dirichlet, principe de, 256
problème de, 254
Distance, 81
d’un vecteur à un ensemble, 87
Distribution, 316
régulière, 316
Élément majorant, 3
maximal, 3
minimal, 3
minorant, 3
Ensemble absorbant, 65
borné, 65
convexe, 65
dense, 10
équilibré, 65
fermé, 6
fini linéairement dépendant, 48
indépendant, 48
linéairement dépendant, 49
indépendant, 49
majoré, 3
mesurable, 13
minoré, 3
µ-négligeable, 17
ordonné, 2
orthogonal à un ensemble, 197
ouvert, 6
partiellement ordonné, 2
rare, 10
totalement ordonné, 2
Équation intégrale de type Volterra, 116
linéaire non-homogène de Fredholm de
deuxième espèce, 115
Erreur d’un meilleur approximé
d’ordre n, 166
Espace bidual algébrique, 271
topologique, 275, 308
de probabilité, 17
dual algébrique, 271
topologique, 275
fonctionnelle propre, 264
HP, 260
linéaire, 42
complexe, 43
ordonné, 68
quotient, 59
réel, 43
topologique, 62
localement convexe, 180
mesurable, 13
mesuré, 17
métrique, 81
compact (Bolzano-Weierstrass), 136
(Heine-Borel), 136
complet, 99
localement compact, 143
séparable, 126
totalement borné, 136
normé, 90
réflexif, 309
préhilbertien, 186
probabilisé, 17
produit, 167
propre, 449
semi-métrique, 78
semi-normé, 89
topologique, 6
séparé, 10
ultramétrique, 178
vectoriel, 42
Espaces linéaires algébriquement
isomorphes, 54
métriques isométriques, 87
normés équivalents, 155
isométriques, 95
topologiques homéomorphes, 12
ε-réseau, 136
Famille équicontinue, 150
spectrale, 513
tendue, 182
Fatou, lemme de, 22
Fejer, noyau de, 227
théorème de, 229
Fermeture, 10
Fonction caractéristique p.r. à un
ensemble, 14
continue, 11
convexe, 71
Index alphabétique
généralisée, 316
intégrable, 24
mesurable, 14
dans la classe LP(dµ), 25
presque-périodique, 253
résolvante, 457
semi-continue inférieurement,11
supérieurement, 11
simple, 20
σ-additive, 15
Fonctionnelle, 268
additive, 269
complexe, 268
convexe, 268
homogène, 269
linéaire, 269
bornée, 274
positive-homogène, 268
réelle, 268
sous-additive, 268
sous-linéaire, 268
Forme bilinéaire, 400
bornée, 400
hermitienne, 400
symétrique, 400
quadratique, 401
positive, 404
strictement positive, 405
Fourier, cœfficient de, 208
série de, 216
transformation de, 337
Fréchet, espace de, 181
Fredholm, théorème de, 466
Fubini, théorème de, 29
Gâteau, dérivée de, 446
Gram, déterminant de, 239
Gram-Schmidt, procédure de, 219
Graphe d’un opérateur linéaire, 380
Hahn-Banach, théorème de, 284, 287 de la
séparation de, 331
Hamel, base de, 50
Harnack, principe de, 255
Hausdorff, espace de, 10
Herglotz, théorème de, 255
Hermite, polynômes de, 221, 246
Hilbert, cube de, 176
espace de, 192
relations de, 459
Hilbert-Schmidt, noyau de type de, 385
Hölder, inégalité de, 35
Homéomorphisme, 12
Homothétie de puissance x0, 63
Homomorphisme canonique, 60
Hyperplan, 74
Identité approchée, 227
Image numérique de T, 476
Inégalité de triangle, 78
ultramétrique, 178
Intégrale d’une fonction
mesurable, 24
non-négative p.r. à p, 21
simple p.r. à p, 20
Intérieur d’un ensemble, 10
Isométrie d’espaces métriques, 87
normés, 95
Isomorphisme algébrique, 54
d’espaces de Hilbert, 223
Jordan, théorème sur la décomposition
de, 19
Kojima-Schur, théorème de, 442
Kuhn-Tucker, théorème de, 388
Laguerre, polynômes de, 221, 244
Laplace, transformation de, 338
Lebesque, mesure de, 16
théorème de la convergence
dominante de, 25
monotone de, 22
Legendre, polynômes de, 221, 243
Levy, concentration de, 183
distance de, 85
Limite d’une suite, 11, 96
Loi du cosinus, 197
parallélogramme, 190
531
532
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Markov-Kahutani, théorème du
point fixe de, 180
Meilleure approximation, 165
Mesure absolument continue p.r.
à µ, 23
complexe, 19
de probabilité, 17
dénombrante, 16
positive, 15
finie, 17
produit, 27
réelle, 18
absolument continue p.r. à
µ, 26
σ-finie, 17
Métrique, 81
canonique, 86
de la convergence compacte, 95
localement uniforme, 95
uniforme, 94
discrète, 86
induite, 86
par la norme, 93
Minkowski, fonctionnelle de, 172, 326
inégalité de, 37
Montel, espace de, 153
théorème de, 153
Multiplication d’une distribution par un
scalaire, 318
des vecteurs, 46
par les scalaires, 42
Müntz, théorème de, 242, 257
Norme, 89
induite par un produit scalaire, 190
non-archimédienne, 178
Normes équivalentes, 155
Noyau reproduisant, 265
Opérateur adjoint, 373, 406
anti-symétrique, 411
auto-adjoint, 409
auto-conjugué, 409
conjugué, 373
de déplacement, 353
de la projection orthogonale, 201
hermitien, 409
inverse, 339
isométrique, 429
linéaire, 336
avec un graphe fermé, 380
borné, 343
compact, 358
complètement continu, 358
continu, 343
de rang fini, 340
régulier, 353
multilinéaire, 444
borné, 444
symétrique, 444
négatif, 413
normal, 424
positif, 413
régulier, 377
symétrique, 409
unitaire, 426
Parallélipipède fondamental, 176
Para-norme, 178
Parseval, égalité de, 209, 215
Picard-Lindelöf, théorème de, 111
Plus grand élément, 3
petit élément, 4
Point, 6
d’accumulation, 10
d’adhérence, 10
intérieur, 10
isolé, 10
Poisson, noyau de, 228
Principe de l’application ouverte, 378
de l’approximation, 334
de la condensation des singularités, 384
de l’extension, 333
des boules emboîtées, 109
Produit d’une distribution et d’une
fonction, 318
scalaire, 186
Prohorov, métrique de, 85
théorème de, 182
Index alphabétique
Projecteur, 420
Projection de X sur X, 170
orthogonale, 201
Prolongement d’une fonctionnelle
linéaire, 282
Propriété vraie presque partout
p.r. à µ, 18
Pythagore, théorème de, 196
Racine carrée positive d’un
opérateur positif, 414
Radom-Nikodym, dérivée de, 26
Relation d’ordre, 2
Résolvante, 452
Riesz, lemme de, 162
théorème de, 163, 279, 294, 299
Riesz-Fisher, théorème de, 237
Runge, théorème de, 488
Schauder, base de, 134
Schwarz, inégalité généralisée de, 417
Semi-distance, 78
Semi-métrique, 78
Semi-norme, 89
Série double, 434
Silverman-Toeplitz, théorème de,
441
Simplexe, 75
Sous-ensemble compact en lui-même, 143
faiblement borné, 329
maigre, 123
non-dense, 122
nulle part-dense, 122
précompact, 143
rare, 122
relativement compact, 143
Sous-espace borné, 87
impropre, 43
linéaire, 43
engendré, 48
maximal, 46
métrique, 86
normé, 93
propre, 43
topologique, 6
trivial, 43
Sous-espaces complémentaires, 56
Spectre, 452
ponctuel, 448
Suite convergente, 10
dans une métrique, 96
des fonctions convergentes dans
L1(dµ), 26
de ℓp, 34
de ℓ∞, 34
double, 434
Système fondamental de voisinages, 8
orthogonal, 204
complet, 215
total, 215
σ-algèbre, 13
engendrée, 14
Théorème de graphe fermé, 380
de la moyenne ergodique, 438
de la décomposition spectrale d’un
opérateur borné et auto-adjoint, 512
unitaire, 522
Tietze, théorème de, 148
Toeplitz, matrice de, 440
Toeplitz-Hausdorff, théorème de, 476
Tonelli, théorème de, 27
Topologie, 6
d’espace métrique, 108
normé, 108
semi-métrique, 108
induite, 6
moins fine, 12
séparée, 10
Topologies égales, 12
Transformation linéaire, 336
Translation de pas x0, 63
Ultramétrique, 178
Urysohn, lemme de, 146
Valeur propre, 448
régulière, 452
533
534
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Variable aléatoire, 14
Variation négative de µ, 19
positive de µ, 19
totale de µ, 19
Variété, 73
engendrée, 73
maximale, 74
Vecteur propre, 448
Vecteurs indépendants au point de
vue de l’affinité, 74
orthogonaux, 195
Voisinage, 7
Weierstrass, théorème de, 131, 230
Weyl, lemme de, 325
Zermelo, axiome de, 5
Zorn, lemme de, 5
536
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Liste de notations principales
537
538
Introduction à l’analyse fonctionnelle
Achevé d’imprimer à Cap St-Ignace
aux Ateliers Graphiques Marc Veilleux Inc.
en août 1981.