Généralités

ELECTRICITE
Hervé BOEGLEN
IUT de Colmar Département T&R 2005
Plan :
• Généralités sur les circuits
électriques. Théorèmes généraux
en régime continu
• Les circuits en régime variable :
w Régime quelconque : équation différentielle
w Régime sinusoïdal : transformation complexe
w Régime quelconque : écriture symbolique
• Puissance et énergie électrique
Généralités
• Courant électrique
• Différence de potentiel
• Notion de dipôle
w Définition
Dipôle
I
U
Généralités
w Conventions :
I
U
I
R
E
U
Généralités
w Notion de caractéristique courant-tension :
Caractéristiques (U,I) de deux dipoles
10
9
8
7
U (V)
6
Point de
fonctionnement
5
4
3
2
1
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
I (A)
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Généralités
• Les dipôles élémentaires :
- Actifs :
w Source de tension
e
i
u
u = e "i
Généralités
w Source de courant :
i
io
i = io"u
u
- Passifs :
w Résistance :
i
R
u
Généralités
w Condensateur :
C
i
du (t )
i (t )  C 
dt
u
w Inductance :
i
L
di (t )
u(t )   L 
dt
u
Généralités
• Réponse d’un circuit
• Définition
• Nature de la réponse
V1
R1
1K
C1
100n
Vout
Lois générales des réseaux
linéaires
• Définitions :
w Linéaire, branche, nœud, maille :
A
B
R
R
E
E
R
R
R
E
E
E
E
D
C
Lois générales des réseaux
linéaires
• Lois de Kirchhoff :
w Loi des mailles :
V  0
w Loi des noeuds :
 I  0
Lois générales des réseaux
linéaires
• Théorèmes fondamentaux :
w Diviseur de tension
I
R1
E
I' = 0
R2
S
Lois générales des réseaux
linéaires
w Diviseur de courant
I
I1
R1
I2
R2
U
Lois générales des réseaux
linéaires
w Théorème de superposition
R1
V1
R2
U
V2
Lois générales des réseaux
linéaires
w Théorème de Millman
E1
R1
I1
R2
I2
Rn
In
E2
N
En
U
Lois générales des réseaux
linéaires
w Théorème de Thévenin
ZTH
A
Dipôle
actif
Z
B
=
A
Z
VTH
B
VTH = V AB et ZTH = ZAB
Lois générales des réseaux
linéaires
w Théorème de Thévenin : exemple
A
R
I
V
R
R
B
Calculer I en appliquant le théorème de Thévenin
Lois générales des réseaux
linéaires
w Théorème de Norton
A
I
R
IN
RN
B
Lois générales des réseaux
linéaires
w Théorème de Norton : exemple
A
R
R
R
2
1
2
V
V
V
1
3
2
B
Calculer la tension VAB en utilisant le théorème de Norton
Lois générales des réseaux
linéaires
w Théorèmes : exercice de synthèse :
A
R
R
2
5
I
Calculer I par deux
méthodes
différentes
V
V
B
R
5
1
1
V
5
R
5
C
Réseaux en régime variable
• Ecriture temporelle :
- Les circuits du 1er ordre :
Etude de la réponse d ’un circuit RC à un
échelon E :
K
R
ic(t)
E
C
vc(t)
Réseaux en régime variable
Méthode de résolution d ’une équation
différentielle linéaire à coefficients constants :
1. solution de l ’équation sans second membre
(ESSM)
2. recherche d ’une solution particulière
3. solution générale = 1 + 2
Réseaux en régime variable
Après résolution de l ’équation différentielle on
obtient la représentation graphique suivante :
Réseaux en régime variable
Etude de la réponse d ’un circuit RL à un
échelon E :
vL(t)
iL(t)
K
L
E
R
Réseaux en régime variable
Après résolution de l ’équation différentielle on
obtient la représentation graphique suivante :
Réseaux en régime variable
- Les circuits du 2ème ordre :
Etude de la réponse d ’un circuit RLC série à
un échelon E :
K
L
R
E
C
Si on pose :
0 
1
LC
et
m
R C

2 L
vc(t)
Réseaux en régime variable
0 est appelée la pulsation propre du circuit et
m son coefficient d ’amortissement.
L ’équation peut alors s’écrire :
d 2u (t )
du (t )
2
E 0 

2
m




0
0  u (t )
2
dt
dt
Résolution :
- Solution particulière (régime permanent) :
u p (t )  E
Réseaux en régime variable
- Solution générale :
L ’équation caractéristique s ’écrit :
r  2m   0  r  
2
2
0
Il faut distinguer deux cas :
*m>1:
On obtient les racines :
r1  m   0   0  m 2  1
r2  m   0   0  m 2  1
Réseaux en régime variable
D ’où :
u(t )  E  K1  er1t  K 2  er2 t
Les conditions initiales u(0) = 0 et u ’(0) = 0
permettent de déterminer K1 et K2 :
E  r2
K1 
r2  r1
E  r1
K2 
r2  r1
On obtient la représentation graphique
suivante :
Réseaux en régime variable
Réseaux en régime variable
*m<1:
On obtient les racines :
r1  m   0  j 0  m 2  1
r2  m   0  j 0  m 2  1
Après quelques lignes de calcul on arrive à :
E
u (t )  E 
 e  m 0t  cos(t   )
cos
Avec :
  0  1  m2
 m 
et   arctg 
2 
1 m 
Réseaux en régime variable
Représentation graphique :
Réseaux en régime variable
Exercice de synthèse :
R
i
i
i
V
V
R
C
Déterminer Vs(t) sachant qu ’à t = 0 Vs(0) = 0
Réseaux en régime variable
• Ecriture complexe :
- La fonction sinusoïdale dans les circuits.
- Décomposition en série de Fourier d ’un
signal carré :
Réseaux en régime variable
Composante continue et harmoniques jusqu’à l ’ordre 7
:
Réseaux en régime variable
Reconstruction du signal carré par addition des différentes
composantes
:
Réseaux en régime variable
- Etude de la réponse d ’un circuit du 1er ordre
à la fonction f(t) = Am.cost :
R
v(t)
i(t)
L
La loi de la maille permet d ’écrire :
L  di (t )
Am  cos(t )  R  i (t ) 
dt
Réseaux en régime variable
La solution générale, qui exprime la réponse
transitoire du circuit est donnée par :
itr (t )  K  e
t

L
avec  
R
La solution particulière, qui exprime la
réponse permanente du circuit est donnée par:
i p (t )  Im cos(t   )
Im et  sont inconnus. Finalement :
i p (t ) 

 L  
 cos t  arctg 
 
2
2
 R 
R  ( L )

Vm
Réseaux en régime variable
Définition de la transformation complexe :
f(t)Amcos(t)F Ame
j
Opération dérivation :
df (t )
 j  F
dt
L’opération dérivation dans le domaine du temps se transforme
en l’opération multiplication par j dans le plan complexe.
Réseaux en régime variable
Opération intégration :

t
0
1
f ( x )dx 
F
j
L’opération intégration dans le domaine du temps se
transforme en l’opération division par j dans le
plan complexe.
Réseaux en régime variable
- L’impédance complexe :
Résistance R
:
I
R
U
L’équation u(t) = Ri(t) se traduit dans le plan complexe par :
U  RI
I
U = RI
Réseaux en régime variable
Condensateur C
:
C
I
U
du(t )
i
(
t
)

C

L’équation
dt se traduit dans le plan complexe par :
I  jC  U
I = jCU
U
Réseaux en régime variable
Inductance L
:
I
L
U
di (t )
u
(
t
)

L

L’équation
dt se traduit dans le plan complexe par :
U  jL  I
U = jLI
I
Réseaux en régime variable
Impédance et admittance complexes
:
U
Z
I
De manière générale
:
Z  R  jX
Où R est la RESISTANCE et X la REACTANCE qui s’expriment
en W .
1
Y
Z
Réseaux en régime variable
De manière générale
:
Y  G  jB
Où G est la CONDUCTANCE et B la SUSCEPTANCE qui
s’expriment en Siemens.
- Notion de résonance :
Coefficient de qualité
 pour X et R en série, Q 
X
R
R
 pour X et R en parallèle, Q 
X
Réseaux en régime variable
Résonance série : circuit RLC série
:
L
R
I
U
C
L ’impédance Z du circuit s ’écrit :
1
Z  R  jL 
jC
Réseaux en régime variable
Traçons la représentation de
I
Im ax

I
Im ax
1
  0 
1  Q 
 
 0  
2
2
S
avec :
1 L
QS 
R C
et Imax courant
maximum à  = 0
Réseaux en régime variable
|I|/Imax en fonction de  pour quatre valeurs de Qs
:
Réseaux en régime variable
Bande passante
:
BP  1  2 
0
Qs
Résonance parallèle : circuit RLC parallèle
:
R
I
L
C
Réseaux en régime variable
L ’admittance Y du circuit s ’écrit :
1
1
Y 
 jC
R jL
Le module du rapport U/I s ’écrit :
U

I
R
  
1  Q p2   0 
 0  
avec :
C
QP  R
L
2
Réseaux en régime variable
Structure série ou parallèle d ’un même dipôle :
R
R
j
j
S
S
Passage du schéma série au schéma parallèle :
En écrivant l ’égalité des admittances et en posant QS=XS/RS
on obtient :
RP  RS (1  Q )
2
S

1 
X P  X S 1  2 
 QS 
Réseaux en régime variable
Passage du schéma parallèle au schéma série :
En écrivant l ’égalité des impédances et en posant QP=RP/XP
on obtient :
RP
RS 
1  QP2
XP
XS 
1
1 2
QP
- Réponse en fréquence :
Notion de fonction de transfert
T ( j ) 
:
VS ( j )
VE ( j )
Réseaux en régime variable
Notion de filtre
:
On distingue quatre types de filtres :
T
T




0
0
P
P
T
T






0
0
P
R
Réseaux en régime variable
Exemple :
R
V
C
V
Calculer et étudier la fonction de transfert T ( j ) 
circuit ci-dessus. Conclure sur ses propriétés
fréquentielles.
VS ( j )
VE ( j )
du
Représentation des fonctions de transfert, diagrammes
de Bode
Réseaux en régime variable
Définitions :
Décibel :
Réponse en puissance :
P dB  10 log
Réponse en tension :
AV
dB
 20 log
Réponse en courant :
AI
Octave, décade :
dB
 20 log
P
P0
VS
VE
IS
IE
Réseaux en régime variable
Diagramme de Bode :
Bode Diagrams
0
-5
Phase (deg); Magnitude (dB)
-10
-15
-20
-20
-40
-60
-80
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
Réseaux en régime variable
Intérêt des diagrammes de Bode :
On suppose que :
T  T1  T2    Tn
On en déduit que :
T  T1  T2    Tn
Donc :
20 log T   20 log T1   20 log T2       20 log Tn 
et :
arg T  arg T1  arg T2      arg Tn
Réseaux en régime variable
Les représentations du module et de l ’argument
de T s ’obtiennent en faisant la somme des
représentations correspondantes du module et de
l ’argument des fonctions de transfert T1, T2, …,
Tn. Il ne reste plus qu’à étudier les représentations
de Bode des fonctions élémentaires composant
toute fonction complexe T.
Les fonctions de transfert élémentaires :
Réseaux en régime variable
Exercice :
C
R
R
V
V
R
Calculer la fonction de transfert en tension du circuit
suivant et tracer les diagrammes de Bode.