Groupes et Espaces Vectoriels

Définition 1.1. Un groupe est une paire pG, ˆq telle que Gsoit un ensemble, et ˆsoit une loi interne
associative sur Gqui admet un élément neutre, et telle que tout élément de xsoit inversible.
Définition 1.2. Un groupe pG, `q est dit abélien, si la loi `est commutative.
Notation 1.1. Lorsque pG, `q est un groupe abélien, l’élément neutre est souvent noté 0Get l’inverse d’un
élément xest noté ´x.
Dans la suite, Kest soit l’ensemble Q, soit l’ensemble R, soit l’ensemble C.
Définition 2.1. Un K-espace vectoriel est un triplet pE, `,‚q tel que :
1. pE, `q soit un groupe abélien, dont on note l’élément neutre 0E;
2. ‚soit une loi externe de KˆEdans E;
3. pour tout λ, µ PK,u, v PEon ait :
(a) pλ`µq ‚ u“ pλ‚uq`pµ‚uq;
(b) λ‚ pu`vq “ pλ‚uq`pλ‚vq;
(c) λ‚ pµ‚uq“p먵q ‚ u;
(d) 1‚u“u.
Propriété 2.1. Soit pE, `,‚q un K-espace vectoriel et soit uun élément de E. On a : 0‚u“0E.
Propriété 2.2. Soit pE, `,‚q un K-espace vectoriel, d’élément neutre 0Eet soit λun élément de K. On a :
λ‚0E“0E.
Propriété 2.3. Soit pE, `,‚q un K-espace vectoriel et soit uun élément de E. On a : p´1q ‚ u“ ´u.
Propriété 2.4. Soit pE, `,‚q un K-espace vectoriel, soit uun élément de E, et soit λun élément de K. Si
λ‚u“0E, alors u“0Eou λ“0.
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Définition 2.2. Soit pE, `,‚q un K-espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel de Etout sous-
ensemble non vide FĎE, tel que :
1. pour tout u, v PF,pu`vqPF;
2. pour tout uPF,λPK,pλ‚uq P F.
Propriété 2.5. Soit pE, `,‚q un K-espace vectoriel et soit Fun sous-espace vectoriel de E. Alors Fcontient
l’élément neutre 0Ede la loi `définie sur E.
Propriété 2.6. Soit Fun sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel pE, `,‚q. On note `|Fla loi interne
qui associe à une paire pu, vqd’éléments dans F, l’élément u`v, et .|Fla loi externe qui associe à un scalaire
λPKet à un élément uPF, l’élément λ‚u. Alors pF, `|F, .|Fqest un K-espace vectoriel d’élément neutre
0E.
Propriété 2.7. Soit pE, `,‚q est un K-espace vectoriel. Soit Iun ensemble non vide et soit pEiqiPIune
famille de sous-espaces vectoriel de pE, `,‚q indexée par I.
Alors l’interection ŞiPIEide tous les sous-espaces Eiest un sous-espace de pE, `,‚q.
Définition 2.3. Soit pE, `,‚q un K-espace vectoriel.
Soit pλi, uiq1ďiďnune famille finie de ncouples dans KˆE.
On définit les sommes partielles Sipour 0ďiďnpar :
#S0“0E
Sk“Sk´1`λk‚ukpour 1ďkďi
On appelle combinaison linéaire de la famille puiq1ďiďnpar les coefficients de la famille pλiq1ďiďn, le vecteur
SnPE.
Notation 2.1. Soit pE, `,‚q un K-espace vectoriel.
On note : n
ÿ
i“1
λi‚ui,
la combinaison linéaire de la famille puiq1ďiďnpar les coefficients de la famille pλiq1ďiďn.
Notation 2.2. Soit pE, `,‚q un K-espace vectoriel. Soit Iun ensemble fini et pλi, uiqiPIP pKˆEqIune
famille de couple dans KˆEindexée par I. On note :
ÿ
iPI
λi‚ui
∆
“
n
ÿ
k“1
λσpkq‚uσpkq.
où nest le cardinal de i, et σune bijection de Idans tk|1ďkďnu.
Théorème 2.1. Soit pE, `,‚q un K-espace vectoriel. Soit AĎEune partie de E. Il existe un ensemble F
tel que :
–Fsoit un sous-espace de pE, `,‚q ;
–Asoit un sous-ensemble de E;
– pour tout sous-espace Gde pE, `,‚q tel que AĎG, on ait FĎG.
L’ensemble Fest alors appelé le sous-espace de pE, `,‚q engendré par A.
Notation 2.3. Soit pE, `, .qun K-espace vectoriel et Aune partie de E. Le sous-espace de pE, `, .qengendré
par Aest noté VectpAq.
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Théorème 2.2. Soit pE, `, .qun K-espace vectoriel et Aune partie de E. Alors :
VectpAq “ #n
ÿ
i“1
λi‚uiˇˇˇˇˇ nPN,puiqPAn,pλiq P Kn+.
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