Probabilités élémentaires

Probabilités élémentaires
Méthode 1 → Dénombrer tous les cas possibles d'une situation.
Pour dénombrer tous les cas possibles :

utiliser un arbre, même incomplet ou un tableau

lister tous les cas possibles
Exemple : Nombre de façons de ranger une salière S, un poivrier P et un moutardier M.
Il existe 3 x 2 x 1, soit 6 rangements possibles.
Méthode 2 → Déterminer si deux événements sont indépendants.
Pour déterminer si deux événements sont indépendants :

calculer p(A B)

calculer p(A) x p(B)

comparer les résultats obtenus : si p(A B) = p(A) x p(B), alors les événements sont indépendants
υ
υ
Exemple : On a p(A) = 0,6 ; p(B) = 0,35 et p(A υ B) = 0,73. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
p(A υ B) = p(A) + p(B) - p(A B) , alors p(A B) = p(A) + p(B) - p(A υ B)
υ
υ
Donc p(A B) = 0,6 + 0,35 – 0,73 = 0,22
υ
Or p(A) x p(B) = 0,6 x 0,35 = 0,21 n'est pas égal à p(A B). On en conclut que les événements A et B ne sont pas indépendants.
υ
Méthode 3 → Calculer la probabilité d'un événement dans une situation d'équiprobabilité.
Pour calculer la probabilité d'un événement dans une situation d'équiprobabilité :

calculer le nombre de cas favorables à cet événement

calculer le nombre de cas possibles

diviser le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles
Exemple 1 : En reprenant l'exemple de la méthode 1, on veut calculer la probabilité pour que le poivrier soit placé entre la salière et le moutardier.
Les cas favorables sont : SPM ou MPS, soit 2 cas favorables.
Comme il y a 6 cas possibles, la probabilité que le poivrier soit placé entre la salière et le moutardier est de 2 soit 1 .
6
3
Exemple 2 : Une urne contient dix boules numérotées de 1 à 10. On tire une boule de l'urne, les tirages étant équiprobables.
On veut calculer la probabilité de l'événement suivant : « la boule tirée porte le numéro multiple de 4 »
Le nombre de cas favorables à cet événement est 2. En effet les multiples de 4 inférieurs à 10 sont : 4 et 8.
Le nombre de cas possibles est égal à 10 : les dix numéros.
Donc la probabilité de tirer un multiple de 4 est égale à
Mathématiques – Probabilités élémentaires (méthodes)
2
, soit 0,2
10
-1-
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Méthode 4 → Construire un arbre pondéré.
Pour construire un arbre pondéré :

depuis la racine de l'arbre, tracer les branches primaires terminant chacune par un nœud et correspondant chacune à un
événement

affecter à chacune de ces branches la probabilité correspondante

tracer à partir de chaque nœud les branches secondaires

affecter à chacune de ces branches la probabilité correspondante

la somme des probabilités des branches primaires doit être égale à 1

la somme des probabilités des branches secondaires issues d'un même nœud doit être égale à 1
Tout chemin allant de la racine au dernier nœud est appelé trajet.
Exemple : Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules blanches et 5 boules vertes. Une deuxième urne contient 4 boules noires et 1 boule jaune.
On tire une boule de la première urne puis une boule de la seconde. Construire un arbre pondéré.
On a, par exemple, les trajets : RN, BJ, VJ, etc.
Méthode 5 → Calculer la probabilité d'une expérience à plusieurs épreuves.
Pour calculer la probabilité d'une expérience à plusieurs épreuves :

construire un arbre pondéré

calculer la probabilité d'un trajet en effectuant le produit des probabilités des branches qui le composent

calculer la probabilité d'un événement en effectuant la somme des probabilités de tous les trajets conduisant à cet
événement
Exemple : Dans une école, les élèves pratiquent la musique et le théâtre. Il y a 60 % de filles, dont 80 % pratiquent la musique.
30 % des garçons pratiquent le théâtre.
On désigne un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il pratique la musique ?
On construit un arbre pondéré.
L'événement musique est composé des trajets FM et GM.
Donc la probabilité de l'événement M est égale à la somme des probabilités de ces trajets.
M) = 0,6 x 0,8 = 0,48 et p(G
υ
υ
Mathématiques – Probabilités élémentaires (méthodes)
M) + p(G
υ
υ
On en déduit p(M) = p(F
υ
On a p(F
M)
-2-
M) = 0,4 x 0,7 = 0,28
soit p(M) = 0,48 + 0,28 = 0,76
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Méthode 6 → Calculer la probabilité d'une expérience à deux épreuves.
Pour calculer la probabilité d'une expérience à deux épreuves :

lister les résultats possibles de la première épreuve en ligne

lister les résultats possibles de la deuxième épreuve en colonne

écrire le résultat attendu à l'intersection de chaque ligne et chaque colonne
Exemple : On lance deux dés tétraédriques équilibrés. Le dé rouge est numéroté 1, 2, 3, 4 et le dé noir est numéroté 2, 4, 6, 8.
On lance les deux et on fait la sommes des chiffres visibles. Calculer la probabilité que la somme obtenue soit un multiple de 3.
On dresse un tableau en portant sur la ligne le résultat possible du dé rouge et sur la colonne le résultat possible du dé noir. On écrit dans chaque case
la somme correspondante.
1
2
3
4
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
6
7
8
9
10
8
9
10
11
12
On a 4 x 4, soit 16 cas possibles. On a 6 multiples de 3, soit 6 cas favorables.
Donc la probabilité que la somme obtenue soit un multiple de 3 est :
6
3
=
16
8
Méthode 7 → Calculer la probabilité d'une succession d'événements indépendants.
Pour calculer la probabilité d'une succession d'événements indépendants :

construire un arbre pondéré

utiliser le principe multiplicatif pour les probabilités
Exemple : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie truquée. La probabilité d'avoir face est p(F) = 0,4
Calculer la probabilité d'avoir deux fois face, puis au moins une fois face.
On construit un arbre pondéré :
υ
La probabilité d'obtenir deux fois face est égale à p(F
F) = 0,4 x 0,4 = 0,16
La probabilité d'obtenir au moins une fois face est égale à :
Mathématiques – Probabilités élémentaires (méthodes)
-3-
υ
1 – p(P
P) = 1 – 0,36 = 0,64
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