Désintégrations régulières, tribus fortes, et probabilités extrémales

ΠUVRES DE L AURENT S CHWARTZ
L AURENT S CHWARTZ
Désintégrations régulières, tribus fortes, et probabilités extrémales
Rev. Colombiana Mat., 8 (1974), p. 39-45.
Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz
publiées par la Société mathématique de France, 2011.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Revis ta Colombiana de Matemdticas
Volumen VIII (1974), pdgs. 39-45
DÉSINTÉGRATIONS RÉGULIÈRES, TRIBUS FORTES, ET PROBABILITÉS
EXTRÉMALES
i
par
Laurent SCHWARTZ
en hommage et témoignage d'amitié pour le Professeur Yerly .
SOMMAIRE
mi
Le but de cet article est de montrer que, dans
I ensemble convexe des probabilités ayant une désintégration donnée par rapport a une tribu donnée,on
peut identifier très facilement les probabilités extrémales, et que tout élément du convexe est, d'ne manière
unique, une intégrale des probabilités extrémales du
convexe. Il s'agit donc d'un "théorème de CHOQUET"
mais sa démonstration se fait directement, a la main",
et d'ailleurs on ne se trouve probablement pas dans les
t
ànm
'•
I» »'
s|
,
-
conditions d'application du théorème de CHOQUET.
§1. Intégrales de mesures disjointes.
PROPOSITION 1. Soient (X,%),(Z,Z)
deux ensembles munis de tribus, 2>
dénombrablement séparante (Le. tout ensemble réduit a un point est élément de %,
et il existe une suite (Z )
^ d'éléments de % telle que tout point de
intersection des Zn qui le contiennent).S oit (Xz)z
€
z
une
fami^e
<?e parties deux
à deux disjointes de X, indexée par Z ; on suppose que, pour toute
{J
X
z C z
est élément de % (donc tout Xz est élément de %).
Z soit
C € %t Xçf
Soit (kz)z
famille de probabilités sur (X, %),
indexée par Z, %- mesurable (Le. z »
est Z-mesurable pour tout Bel)
, ^z portée par Xz (Le. \Z(XZ)
( z
une
\z(B)
= 1). Soit K
m
rensemble
des probabilités
ƒ h-zfji(dzr
sur (X, % ) qui s'expriment
' , fi probabilité
comme intégrale
est unique
exactement
X^, zt Z .
les
Démonstration
sur (Z, Z ) . Alors
(X détermine
comme intégrales
K est convexe,
pi), et les éléments
la
A =
représentation
extrémaux de
Ksont
m
1). Montrons d'abord que chaque A^ e s t extrémale sur K.Soient
donc A^ , A 2 e K, 0 < / < 1 , avec À^ = / À| f fi - />) À2 . Prenons l e s mesures de
Xz€%:
k (X )
2 z
1 =kz(Xz)
=
L
Mais
= t\1(Xz)+(l-t)k2(Xz)
' P° u r
l = 1
' 2>
, donc nécessairement A/X^j =
X (X )
=
i z
pour z' ¥ z , donc A^. (Xz) <^ fij( \z\)
/
X
z^zHi^z'),
et Xz.(Xz)
=0
donc \i^ ( \ z \ ) = /x^H z \ ) = 1, [i
et /Lt2
sont égales à § z , A^ et A2 à À^, ce qui prouve bien que chaque A^ est extrémale.
2) Montrons qu'il n'y a pas d'autres éléments extrémaux. Soit donc
ƒ A u(dz)
z z
A =
un élément extrémal de K .On voit d'abord que fi est ergodique, c .
à d . donne à tout élément de Z la mesure
sembles complémentaires C^,C2>
de Z,
0 ou 1 . Sinon il existerait deux e n éléments de Z , avec \L{C ^) 40,
^{C^
¥ 0. On aurait alors
A=
I \zn(dz)
+
I \ z /z (dz) = A + A
.
2
Posons
X.1 = XrC
i
= U X„2 , i = 1, 2 . Ce sont des éléments de 9C, d i s j o i n t s ;
zeC f .
^1
donc A- est portée par X j , de même A 2 par X 2 ; en outre A^fX) * A^fXf.j:
¥ 0 , et leur somme est 1 . On aurait alors
* = V x ; Tix7 + Vx>irfe) •
(1) Pour les intégrales de mesures, voir [l] , § 1 ,
40
ce qui est contraire a l'hypothèse d'extrémalité de À dans K . Donc pi est bien
ergodique. Mais une mesure ergodique sur une tribu dénombrablement séparante est
portée par un seul point. Soit en effet (Zn)n
€
^ une suite d'éléments de % sépa-
rant les points; on pourra la supposer stable par complémentarité et réunions et intersections finies. Soit JN* l'ensemble des n e IV pour lesquels fi(Z ) = 1, et
soit Z' = fi
n€ÏN'
Soit
atZ*.
Zn ; il est encore de mesure 1 .
Si ii(\a\)
= 0, il existe un k € IV tel que a e Z^t n(Zk) =0, pui»
que a est l'intersection d e s Zn qui le contiennent; alors l e s Z^ Z^,n € IV), sont
encore de mesure l>Zn** %k C ^w> donc l'intersection des Z^- Z^ n e IV', est encore
Z*,ce qui est impossible puisque a\ Z^-Z^ et aeZ*. Donc fi(\a\)= 1,^=8a, et alors A=A^.
3) La représentation
À= f
\
z
pt (dz)
d'une mesure
X € K est unique. Suppo-
sons en effet que A = ƒ X/ pt^Wz) , i = 1, 2. Soit C e E , X c =
de % par hypothèse. Alors
rement nJC) = pt (C) , \L
\(Xç)
U X 2 , élément
= ƒ A^fX^J fi .(f/z) = \i .(C) , donc nécessai-
et pu sont bien égales.
La proposition précédente est donc tout-â-fait élémentaire, mais nous allons
l'appliquer â la théorie de la désintégration des mesures, oli elle va nous donner des
résultats intéressants •
§ 2. Mesures ayant une désintégration donnée pour une tribu donnée.
Soit Q un ensemble muni d'une tribu 0 dénombrablement engendrée, soit G
la tribu universellement mesurable associée a 0 , c. à d. la tribu des parties mesurables pour toute probabilité sur (îl , 0 ), et soit 7 une sous-tribu de 0 .
Soit
A : co *+ X^ une application de fi dans l'espace des mesures sur (fi , 0 ), J-mesurable (i.e. pour B e 6 , co i-> A.^ (B) est J "mesurable). On va étudier toutes les
probabilités À sur (fi , © ) , ayant A comme désintégration relativement à la tribu 7 . Comme on ne fait pas d'hypothèse de dénombrabilité sur J , cela n'entrafnera pas nécessairement que pour A-presque tout co , A^ soit portée par l'atome
41
de co dans 3"' '„ Mais appelons molécule de co , Mol (co) , l'ensemble des co '
pour lesquels A • = À, ; alors les molécules de J forment une partition de 0 , et
^co P r e n ^ ' a même valeur pour tous les co d'une molécule. On sait en outre
si À admet A comme désintégration relativement a
\y
que,
J , pour À -presque tout
co ,
est portée par Mol(co) . Soit 7 la tribu engendrée par la fonction co i-> À^ , i.e.
par les fonctions co i-> À^ (fl) , B f Ö; 3* est dénombrablement engendrée, comme 0
elle-même. Manifestement
Je
J , et, comme co h* À^ est J-mesurable par défi-
nition de 7, c'est aussi une désintégration de À relativement à J . L'atome de
a> dans J est jeu'; À^ = À^ | , c J d . MOKCÙ) et il est élément de 7 puisque
cette tribu est dénombrablement engendrée. La donnée de A : co i-> À
détermine la
sous-tribu J de J , et s e s atomes, les molécules de A .
PROPOSITION 2.
engendré,
7
Soient Q un ensemble muni d'une tribu 0
dénombrablement
une sous-tribu de la tribu universellement mesurable 0 , A .* co ^ À^
une fonction sur 0
à valeurs mesures > 0 sur (fl , 0 ) , 7 -mesurable.
Soit 7 la
tribu engendrée par co •-> À^ , et soit Mol (co)*{ co'; À^s À^ } # Soit Çl' l'ensemble des co pour lesquelles
À^ est une probabilité, portée par Mol(co) , e/ adme-
ttant A comme désintégration relativement à
J
?
/ö /rz'&tf induite par J sur Q' . 0» suppose
te pour toute mesure sur ( Q , 0 ) ^
(îî , Ö ) admettant
'
K des probabilités
A comme désintégration relativement à J
sur
es* «» convexe
^œ , co € Q' , et toute probabili-
À € K e s / intégrale, d'une manière unique, de ces probabilités extrémales :k =
' ^ Prohabilitésur
(Q',7'}
(2) Voir [ l ] , théorème (2,20 )„
(3) f l ] , corollaire (2,23).
(4) Voir f il , définition (3,7 quarto).
42
Soit
J universellement forte, i.e. for-
. Alors l'ensemble
donc les éléments extrémaux sont exactement les
té
CQ * est peut-être vide).
'
Démonstration. Si À = ƒ
À^ fi(dco) , comme toutes les À , co e Çl\ admettent
A comme désintégration, on sait que À admet aussi A comme désintégration*5^ .
Inversement, supposons que la probabilité À sur ( 0 , 0 )
sintégration ; on a alors A = ƒ
X^ \(dco) .
admette A comme dé -
Mais J est universellement forte ,
donc À-forte, donc À est portée par l'ensemble des OÙ pour lesquells À
met A
comme désintégration
ad-
; et aussi par l'ensemble des co pour lesquels
À^ est de masse 1 et portée par Mol(co) , donc À est portée par Q' . On peut
donc écrire À = ƒ
f
À^ A (do) , ou À' est la probabilité induite par À sur Q',
relativement à la tribu 0
induite par 0 sur Q'. Mais co »+ À
r
est J-mesura-
CO
ble, donc T-mesurable sur Q ; alors on peut remplacer À* par sa restriction
// à
J . Dans cette formule intégrale, À et les À^ sont indifféremment des probabilités sur (Q,G) ou ( Q , 0 ) , mais aussi sur (fl'.G^ou (Q',09),
puisque A et
toutes les À^ sont portées par flf ; c est le dernier point de vue que nous adopterons. La tribu J ne sépare pas les points sur îî' ; passons au quotient par ses
atomes, les molécules des points de îî'. Soit donc Z l'ensemble des molécules
contenues dans fl' , % la tribu quotient ou image de J par Qf -> Z dénombrablement engendrée comme 7 . Alors K peut encore être considéré comme l'ensemble des intégrales À = ƒ
tient,
À # z |i # (dz) , \f
image de /z par passage au quo-
À^ = À^ pour co € z , (im probabilité sur (Z, % ) , À et les \*z
proba-
bilités sur (fl' , G ) . On peut alors appliquer la proposition 1, avec X = ÎÎ*,«X =
G', Xz = z . Les conditions de la proposition 1 sont bien satisfaites. Si en effet
Ce % , son image réciproque est une partie Xç 6 J CO = % . Donc les éléments
extrémaux de K sont exactement les
détermine
p sur (fî* , 7)
À£ , z e Z ,
ou les À^, co e î î ' ;
de manière unique (ou /z* sur (Z,Z)
et À
de manière
(5) [ 11 , théorème (3.18).
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" J"
unique).
'f
i%
f
§ 3. Mesures ayant une désintégration régulière donnée pour une famille de tri bus.
PROPOSITION 3. Soient
ment engendrée (S )^
tribu 0
^
fi
un ensemble muni d'une tribu 0
une famille de sous • tribus universellement fortes de la
universellement mesurable, croissante et continue à droite,
une fonction sur fi x IR+ a valeurs mesures
Soit fi' l'ensemble des
A : (t,<û)*-*K
> 0 sur (fi, 0 ) , co t+ À^ , î - mesu-
rable. On suppose aussi que A est (0 © % ) -mesurable, ou ÎR
retienne de IR+ .
dénombrable -
(o pour lesquels
me désintégration régulière relativement 3 ( ô ) .
«^
est la tribu bo-
À^ admet A com-
, est de masse
1 et portée
par MoKco) = j CÛ ' € fi ; À^# = À^ j ; soit
7 la tribu engendrée par CÙ r+ À^ ,
7
K des probabilités sur (fi , 0 )
la tribu induite sur fi'. Alors l'ensemble
ayant
A comme désintégration régulière
À ss f
À w fi(dco) , yi probabilité sur (fi',
extrémaux sont exactement les
coincide avec l'ensemble des intégrales
7 ) ; c'est un convexe, ses points
À^, CÙ € fi * , et la représentation intégrale ci-de-
ssus de À est unique.
Démonstration.
Au lieu d'utiliser [ i l , théorème (3,18), on utilise théorème
(6,15) , d'oti la représentation intégrale. Le reste se fait en utilisant la proposi tion 1 comme dans la démonstration de la proposition 2.
(6) [il , définition (5,0) .
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BIBLIOGRAPHIE
1. L.
Schwartz, Surmartigales régulières a valeurs mesures et désintégrations
régulières
d'une mesure.
Journal d'Analyse Mathématique, Jérusalem, 1973,
p. 1-168.
Centre de Mathématiques
École Polytechnique, 75230 Paris Cedex 05
(Recibido en mayo de 1974) ,
\
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