Désintégrations régulières, tribus fortes, et probabilités extrémales

ŒUVRES DE LAURENT SCHWARTZ
LAURENT SCHWARTZ
Désintégrations régulières, tribus fortes, et probabilités extrémales
Rev. Colombiana Mat., 8 (1974), p. 39-45.
Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz
publiées par la Société mathématique de France, 2011.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
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Revis ta Colombiana de Matemdticas
Volumen VIII (1974), pdgs. 39-45
DÉSINTÉGRATIONS RÉGULIÈRES, TRIBUS FORTES, ET PROBABILITÉS
EXTRÉMALES i
par
Laurent SCHWARTZ
en hommage et témoignage d'amitié pour le Professeur Yerly .
SOMMAIRE
mi
Le but de cet article est de montrer que, dans ànm
I ensemble convexe des probabilités ayant une désin-
tégration donnée par rapport a une tribu donnée,on
t
peut identifier très facilement les probabilités extréma-
les, et que tout élément du convexe est, d'ne manière
unique, une intégrale des probabilités extrémales du '• I» »'
convexe. Il s'agit donc d'un "théorème de CHOQUET"
mais sa démonstration se fait directement, a la main",
et d'ailleurs on ne se trouve probablement pas dans les
s| ,
-
conditions d'application du théorème de CHOQUET.
§1. Intégrales de mesures disjointes.
PROPOSITION 1. Soient (X,%),(Z,Z) deux ensembles munis de tribus, 2>
dénombrablement séparante (Le. tout ensemble réduit a un point est élément de %,
et il existe une suite (Z ) ^ d'éléments de % telle que tout point de Z soit
intersection des Zn qui le contiennent).S oit (Xz)z
€ z une
fami^e <?e parties deux
à deux disjointes de X, indexée par Z ; on suppose que, pour toute C € %t Xçf
z{JCXz est élément de % (donc tout Xz est élément de %). Soit (kz)z
( z
une
famille de probabilités sur (X, %), indexée par Z, %- mesurable (Le. z » \z(B)
est Z-mesurable pour tout Bel) , ^z portée par Xz (Le. \Z(XZ) = 1). Soit K
m

rensemble des probabilités sur (X, % ) qui s'expriment comme intégrales A =
ƒ h-zfji(dzr ' , fi probabilité sur (Z, Z ) . Alors K est convexe, la représentation
comme intégrale est unique (X détermine pi), et les éléments extrémaux de Ksont
exactement les X^, zt Z .
m
Démonstration 1). Montrons d'abord que chaque A^ est extrémale sur K.Soient
donc A^ , A2 e K, 0 < / < 1 , avec À^ = / À| f fi - />) À2 . Prenons les mesures de
Xz€%: 1 =kz(Xz) = t\1(Xz)+(l-t)k2(Xz) , donc nécessairement A/X^j =
k2(Xz) = L Mais'
P°ur
l = 1' 2> Xi(Xz) = / Xz^zHi^z'),
et Xz.(Xz) = 0
pour z' ¥ z , donc A^. (Xz) <^ fij( \z\) donc \i^ ( \ z \ ) = /x^H z \ ) = 1, [i et /Lt2
sont égales à §z , A^ et A2 à À^, ce qui prouve bien que chaque A^ est extré-
male.
2) Montrons qu'il n'y a pas d'autres éléments extrémaux. Soit donc A =
ƒ A u(dz) un élément extrémal de K .On voit d'abord que fi est ergodique, c.
z
z
à d . donne à tout élément de Z la mesure 0 ou 1 . Sinon il existerait deux en-
sembles complémentaires C^,C2> de Z, éléments de Z , avec \L{C ^) 40, ^{C^
¥ 0. On aurait alors
A
=
I \zn(dz) + I \z /z (dz) = A
+A .
2
Posons X. = Xr = U X„ , i = 1, 2 . Ce sont des éléments de 9C, disjoints;
1 Ci
zeCf.
2
^1
donc A- est portée par Xj , de même A2 par X2 ; en outre A^fX) * A^fXf.j:
¥ 0 , et leur somme est 1 . On aurait alors
* = Vx;Tix7+ Vx>irfe) •
(1) Pour les intégrales de mesures, voir [l] , § 1 ,
40

ce qui est contraire a l'hypothèse d'extrémalité de À dans K . Donc pi est bien
ergodique. Mais une mesure ergodique sur une tribu dénombrablement séparante est
portée par un seul point. Soit en effet (Zn)n
€ ^
une suite d'éléments de % sépa-
rant les points; on pourra la supposer stable par complémentarité et réunions et in-
tersections finies. Soit JN* l'ensemble des n e IV pour lesquels fi(Z ) = 1, et
soit Z' = fi Z ; il est encore de mesure 1 .
n€ÏN'
n
Soit atZ*. Si ii(\a\) = 0, il existe un k € IV tel que a e Z^t n(Zk) =0, pui»
que a est l'intersection des Zn qui le contiennent; alors les Z^ Z^,n € IV), sont
encore de mesure l>Zn** %k C ^w> donc l'intersection des Z^- Z^ n e IV', est encore
Z*,ce qui est impossible puisque a\ Z^-Z^ et aeZ*. Donc fi(\a\)= 1,^=8a, et alors A=A^.
3) La représentation À = f \z pt (dz) d'une mesure X € K est unique. Suppo-
sons en effet que A = ƒ X/ pt^Wz) , i = 1, 2. Soit CeE, Xc= U X2, élément
de % par hypothèse. Alors \(Xç) = ƒ A^fX^J fi .(f/z) = \i .(C) , donc nécessai-
rement nJC) = pt (C) , \L et pu sont bien égales.
La proposition précédente est donc tout-â-fait élémentaire, mais nous allons
l'appliquer â la théorie de la désintégration des mesures, oli elle va nous donner des
résultats intéressants •
§ 2. Mesures ayant une désintégration donnée pour une tribu donnée.
Soit Q un ensemble muni d'une tribu 0 dénombrablement engendrée, soit G
la tribu universellement mesurable associée a 0 , c. à d. la tribu des parties mesu-
rables pour toute probabilité sur (îl , 0 ), et soit 7 une sous-tribu de 0 . Soit
A : co *+ X^ une application de fi dans l'espace des mesures sur (fi , 0 ), J-me-
surable (i.e. pour B e 6 , co i-> A.^ (B) est J "mesurable). On va étudier toutes les
probabilités À sur (fi , © ) , ayant A comme désintégration relativement à la tri-
bu 7 . Comme on ne fait pas d'hypothèse de dénombrabilité sur J , cela n'entraf-
nera pas nécessairement que pour A-presque tout co , A^ soit portée par l'atome
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de co dans 3"' '„ Mais appelons molécule de co , Mol (co) , l'ensemble des co '
pour lesquels A • = À, ; alors les molécules de J forment une partition de 0 , et
^co Pren^ 'a même valeur pour tous les co d'une molécule. On sait en outre que,
si À admet A comme désintégration relativement a J , pour À -presque tout co ,
\y est portée par Mol(co) . Soit 7 la tribu engendrée par la fonction co i-> À^ , i.e.
par les fonctions co i-> À^ (fl) , Bf Ö; 3* est dénombrablement engendrée, comme 0
elle-même. Manifestement Je J, et, comme co h* À^ est J-mesurable par défi-
nition de 7, c'est aussi une désintégration de À relativement à J . L'atome de
a> dans J est jeu'; À^ = À^ | , cJd. MOKCÙ) et il est élément de 7 puisque
cette tribu est dénombrablement engendrée. La donnée de A : co i-> À détermine la
sous-tribu J de J , et ses atomes, les molécules de A .
PROPOSITION 2. Soient Q un ensemble muni d'une tribu 0 dénombrablement
engendré, 7 une sous-tribu de la tribu universellement mesurable 0 , A .* co ^ À^
une fonction sur 0 à valeurs mesures > 0 sur (fl , 0 ), 7 -mesurable. Soit 7 la
tribu engendrée par co •-> À^ , et soit Mol (co)*{ co'; À^s À^ }
#
Soit Çl' l'ensem-
ble des co pour lesquelles À^ est une probabilité, portée par Mol(co) , e/ adme-
ttant A comme désintégration relativement à ? CQ * est peut-être vide). Soit
J /ö /rz'&tf induite par J sur Q' . 0» suppose J universellement forte, i.e. for-
te pour toute mesure sur (Q, 0) ^ . Alors l'ensemble K des probabilités sur
(îî , Ö ) admettant A comme désintégration relativement à J es* «» convexe
donc les éléments extrémaux sont exactement les ^œ , co € Q' , et toute probabili-
té À € K es/ intégrale, d'une manière unique, de ces probabilités extrémales :k =
' ' ^ Prohabilitésur (Q',7'} '
(2) Voir [ l] , théorème (2,20 )„
(3) f l] , corollaire (2,23).
(4) Voir f il , définition (3,7 quarto).
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