Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques
A.1
Limites de fonctions trigonométriques
y
Théorème des deux gendarmes
y = g(x)
y = f(x)
Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l’une f est "prise
en sandwich" entre les deux autres. Si g et h ont la même limite lorsque x
tend vers a, alors f doit avoir cette même limite. Ainsi :
y = h(x)
L
soit h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) pour tout x ∈ ]b ; c[ contenant a.
Si lim g(x) = lim h(x) = L , alors lim f (x) = L
x→a
x→a
x→a
a
x
On acceptera ce théorème sans preuve
Exercice A6.1 :
Soit f une fonction telle que pour tout x on ait x 2 + x − 3 ≤ f (x) ≤ 2x 2 − 3x +1 .
a) Déterminer lim f (x)
x →2
b) Qu’en est-il si x 2 + x − 3 ≤ f (x) ≤ 2x 2 − 3x + 3
Remarque : Le théorème des deux gendarmes est un outil très
souvent utilisé pour calculer des limites pour des
fonctions trigonométriques. Observons ceci sur un
exemple :
⎛1⎞
Exemple : À l’aide du théorème des deux gendarmes, montrer que lim x⋅ sin⎜ x ⎟ = 0 .
x→0
⎝ ⎠
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I
II
ANNEXE CHAPITRE 6
Exercice A6.2 :
⎛1⎞
2
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer lim x ⋅ sin⎜ 2 ⎟
x→0
⎝x ⎠
⎛ 1 ⎞
2
Indications : -1 ≤ sin(angle) ≤ 1, puis constater que x ⋅ sin⎜ 2 ⎟ est comprise entre deux paraboles.
⎝x ⎠
Exercice A6.3 :
On considère le quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
• En comparant les aires des triangles OIM et OIT avec celle du
secteur circulaire OIM, montrer que :
sin(x) ≤ x ≤ tan(x)
si 0 < x < π/2
sin(x)
≤1
x
sin(x)
• Puis montrer que lim
x
x →0 +
• En déduire que :
cos(x) ≤
sin(x)
x
x →0 −
• Comment adapter cette preuve pour le calcul de lim
Exercice A6.3 bis :
sin(x)
?
x →0° x
Que devient le raisonnement précédent si l’angle x est en degré et alors que vaut lim
Exercice A6.4 :
sin(x)
= 1 , en déduire les limites suivantes :
x
x →0
Sachant que lim
sin(2x)
x
x →0
a) lim
b) lim
x →0
sin(3x)
sin(2x)
c) lim
x →0
tan(x)
x
⎛ x − a⎞
⎟
2sin⎜
⎝ 2 ⎠
d) lim
x −a
x →a
Exercice A6.5 :
Calculer, si elles existent, les limites suivantes :
1 − cos(x)
1 − cos2 (x)
cos(x)
b) lim
c) lim
a) lim
x
x →0 (sin(x)) 2
x →0 x⋅ tan(x)
x →0
Exercice A6.6 :
En amplifiant les fractions par 1 + cos(x), montrer que
1 − cos(x)
1 − cos(x) 1
=0
a) lim
b) lim
=
x
2
x2
x →0
x →0
Exercice A6.7 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer :
sin(x)
2x + cos(x)
a) lim
b) lim e − x ⋅ sin(x)
c) lim
x
x +1
x →+∞
x →+∞
x →+∞
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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
A.2
Les preuves des règles de dérivation des fonctions trigonométriques
Les règles de dérivation des fonctions trigo :
9ème règle : Si f (x) = sin(x)
⇒
…………………..
10ème règle : Si f (x) = cos(x)
⇒
…………………..
11ème règle : Si f (x) = tan(x)
⇒
…………………..
ou …………………..
Exercice A6.8:
• f ′(a) = lim
x→a
Voici la preuve de la 9ème règle ci-dessus qu’il s’agit de compléter
f (x) − ..........
......... − ..........
= lim
......... − ......... x→a ......... − .........
Truc : on utilise la formule de soustraction d’angle (Formulaire page 31)
⎛ ..........⎞
⎛ ..........⎞
⎛ ..........⎞
2 ⋅ cos⎜
2 ⋅ sin⎜
⎟ ⋅ sin⎜
⎟
⎟
⎛ ..........⎞
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
..........
..........
..........
= lim cos⎜
f ′(a) = lim
⎟
x→a
x→a
⎝ ..........⎠
x−a
x−a
⎛ ..........⎞
⎛ ..........⎞
sin⎜
sin⎜
⎟
⎟
⎛ ..........⎞ ⎝ ..........⎠
⎛ ..........⎞
⎝ ..........⎠
= lim cos⎜
= lim cos⎜
⎟
⎟ ⋅ lim
x→a
x→a
⎝ ..........⎠ ..........
⎝ ..........⎠ x→a ..........
..........
..........
⎛ 2a ⎞
= cos ⎜ ⎟ ⋅1 = cos(a)
⎝ 2⎠
En changeant la variable de a en x, on obtient bien : f ′(x) = ...............
Exercice A6.9:
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Démontrer les 2 dernières règles de dérivation.
III
IV
ANNEXE CHAPITRE 6
A.3
Les fonctions trigonométriques réciproques
Introduction
Nous avons vu dans le chapitre 1 que pour définir la fonction réciproque
(à compléter)
…… d’une fonction f, il faut que celle-ci soit ……………, c’est-à-dire
que si a ≠ b dans l’ensemble de ………… de f, alors f (a)...... f (b) . On
peut alors résumer ceci par :
u = f (v) ⇔ v = ………
On a les propriétés suivantes :
(1) l’ensemble de définition de r f = …………………………………
(2) l’ensemble image de r f = …………………………………
(3)
(4)
(
)
f r f (x) = ...... pour tout x ∈ ……
r
f ( f (x)) = ...... pour tout x ∈ ……
(5) les graphes de r f et f sont …………… l’un de l’autre par rapport à
la droite d’équation …………
• La fonction arcsinus, notée arcsin (ou sin-1), est définie par :
[…… ; ……] →
x
[…… : ……]
arcsin(x)
⇒
De même, on peut définir :
• La fonction arccosinus, notée arccos (ou cos-1), est définie par :
[ -1 ; 1 ]
x
→
[…… : ……]
arccos(x)
⇒
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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
Introduction
• La fonction arctangente, notée arctan (ou tan-1), est définie par :
(à compléter)
IR
x
→
[…… : ……]
arctan(x)
⎛
⎛ ⎛ π ⎞⎞
⎛ ⎛ 2π ⎞⎞
⎛ 1 ⎞⎞
Exemple : Déterminer : sin⎜sin −1⎜ ⎟⎟ , cos−1⎜ cos⎜ ⎟⎟ et sin −1⎜ sin⎜ ⎟⎟
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
⎝ ⎝ 4 ⎠⎠
⎝ ⎝ 3 ⎠⎠
Exercice A6.10 :
Déterminer sans calculatrice :
⎛
⎛ 1 ⎞⎞
a) cos⎜cos −1⎜ ⎟⎟
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
⎛ ⎛ −5π ⎞⎞
⎟⎟
c) cos−1⎜ cos⎜
⎝ ⎝ 6 ⎠⎠
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⎛ ⎛ 4π ⎞⎞
b) sin −1⎜ sin⎜ ⎟⎟
⎝ ⎝ 3 ⎠⎠
⎛ ⎛ 7π ⎞⎞
d) tan −1⎜tan⎜ ⎟⎟
⎝ ⎝ 4 ⎠⎠
V
VI
A.4
ANNEXE CHAPITRE 6
Les dérivées des fonctions réciproques
Exercice A6.11 :
On considère sur IR+ la fonction f (x) = x 2 + 3 et le point P(1 ; f (1)).
a) Déterminer r f .
b) Tracer simultanément le graphe de f, celui de r f ainsi que le point P.
c) Calculer la dérivée de f et celle de r f .
d) Calculer f ′(1) et
( rf )′( f (1)) , puis représenter ces valeurs sur le
graphique.
e) Que constatez-vous ?
f) Cette constatation reste-t-elle vrai pour :
3x + 2
pour x ∈ [ −2 ;2] et le point P(1/2 ; f (1/2))
2x −11
Dont on propose ci-dessous une représentation graphique :
f (x) =
g) En déduire
( r f )′(0).
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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
Théorème : Dérivée d’une fonction réciproque
Si f est dérivable sur un intervalle I et si f ′ ne s’annule pas sur I alors :
• f possède une fonction inverse r f dérivable en tout point (f (x) ; x) où x ∈ I.
•
Justification :
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( rf )′(x) = f ′ r f1(x)
( )
VII
VIII
ANNEXE CHAPITRE 6
Exemple : Soit f (x) = x 2 avec x ≥ 0. Déterminer la dérivée de r f (x) = x
a) À l’aide de la formule ci-dessus.
b) À l’aide du calcul « traditionnel », comparer.
Exercice A6.12 :
Effectuer la même démarche pour les fonctions :
x3
3
a) f (x) =
et r f (x) = 4 x
4
b) f (x) = mx (m ≠ 0) et r f (x) = ..........
Les règles de dérivation des fonctions trigo inverses:
11ème règle : Si f (x) = sin −1 (x)
⇒
f ′(x) =
12ème règle : Si f (x) = cos −1 (x)
⇒
f ′(x) =
13ème règle : Si f (x) = tan −1 (x)
⇒
f ′(x) =
1
1− x2
−1
1− x2
1
1+ x 2
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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
Exercice A6.13:
Voici la preuve de la 11ème règle ci-dessus qu’il s’agit de compléter :
Posons f (x) = sin(x) et ainsi r f (x) = ...........
( r f )′ (x)
1
1
=
.................. cos(..................)
=
1
=
Exercice A6.14:
1 − sin 2 (............)
=
1
....................
Démontrer la 12ème règle ci-dessus qu’il s’agit de compléter :
Exercice A6.15: Dériver les fonctions suivantes:
−1⎛ 1 ⎞
b) f (x) = cos ⎜ x ⎟
⎝ ⎠
a) f (x) = sin −1 (2x +1)
c) f (x) =
Exercice A6.16:
1
sin
−1
avec x > 0
( x)
a) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’équation
y = tan(x) au point P(π/4 ; 1).
b) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’équation
y = tan −1 (x) au point P’(1 ; π/4).
Exercice A6.17:
Soit f (x) = x 5 + 2x 3 + x −1
a) Déterminer f (1) et f ′(1) .
b) Déterminer r f (3) et r f ′(3) .
( )
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IX
X ANNEXE CHAPITRE 6
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