Syllabus de Microéconomie

Syllabus de Microéconomie
Roberta Ziparo, Aix-Marseille Université
1
Définitions
1.1
1.1.1
Le consommateur :
Propriétés des préférences des consommateurs :
Les préférences correspondent à une relation de classement des objets dans l’espace des objets.
Soit x et y deux panier de consommation.
• représente la préférence stricte : x y signifie que le panier x est
strictement préféré au panier y. ∼ représente l’indifférence ;
• ∼ représente l’indifference : x ∼ y signifie que x et y sont également
préférés ou que l’on est indifférent entre x et y ;
• représente la préférence faible : x y signifie que x est au moins autant
préféré (désiré) que y.
Hypothèses cruciales :
• La relation de préférence est une relation complète : pour tout x et
yappartenant à X (l’ensemble de consommation), soit x y ou y x ;
• La relation de préférence est une relation réflexive : pour tout x appartenant à X , x x ;
• La relation de préférence est une relation transitive : pour tout x, y et z
appartenant X , si x y et y z , alors x z .
Definition : U ne relation de préférence est dite rationnelle ssi elle est
complète, réflexive et transitive.
Hypothèses additionelles :
• Les préférences sont continues : pour tout x et yappartenant à X, les
ensembles {x : x y}et {x : x y} sont des ensebles fermés ;
• Les préférences sont (strictement) monotones : si x ≥ y alors x y
(x y).
1
• Les préférences sont (strictement) convexes : pour tout x, y et z appartenant X (avec x 6= y), si x z et y z , alors λx + (1 − λ) z pour
tout 0 ≤ λ ≤ 1 (λx + (1 − λ) z pour tout 0 < λ < 1 ).
1.1.2
Propriétés des fonctions d’utilité
Definition : Une fonction u de X dans R est une fonction d’utilite "representant" la relation de preference ssi, pour tout x et y appartenant à
X, x y ⇐⇒ u(x) ≥ u(y).
Definition : Une courbe d’indifférence regroupe toutes les combinaisons de
biens qui procurent le même niveau de satisfaction.
Propriétés :
• Des courbes d’indifférence correspondant à des niveaux de satisfaction
différents ne peuvent pas se croiser ;
• Des préférences convexes sont représentées par des courbes d’indifférence
qui sont convexes ;
• La relation de préférence est (strictement) monotone ssi les fonctions
d’utilité associées sont (strictement) croissantes ;
• Si la relation de préférence est convexe alors les fonctions d’utilité
associées sont quasi-concaves.
Théorème(Debreu,54) : Si une relation de préférénce est rationelle, monotone, continue, alors elle est raprésentée par une fonction d’utilité continue.
Hypothèse : l’individu supposé rationnel maximise son niveau de satisfaction
compte tenu de ses ressources limitées.
Definition : Pour chaque bien h qui rentre la fonction d’utilité d’un consommateur i, la demande (marshallienne) est une fonction qui fait correnspondre un niveau optimal de consomation à chaque vecteur des prix
→
−−
−
−
et du revenu individuel : x(→
p, R) = (x∗1 (→
p, R), x∗2 (→
p, R)), pour h = 1, 2.
1.1.3
Effet de substitution / Effet de revenu
Definition : l’effet revenu d’un bien h mesure la variation de la consommation de ce bien à l’optimum lorsque le revenu de l’agent varie : ER =
→
−
∂x∗
h ( p, R)
.
∂R
Definition : l’effet prix d’un bien h mesure la variation de la consommation
de ce bien à l’optimum lorsque le prix de ce bien varie mais les autres prix
−
∂x∗ (→
p, R)
et le revenu restent inchangés : EP = h∂ph . L’effet-prix se décompose
en deux effets :
2
• Un effet de substitution : mesure la variation dans la consommation du
bien h induite par la seule variation du prix de ce bien, à niveau d’utilité
inchangée.
• Un effet de revenu : correspond à la variation additionnelle dans la
consommation du bien h induite par la variation de pouvoir d’achat permis
par la variation du prix du bien h.
1.2
1.2.1
Le producteur :
Propriétés des ensembles et fonctions de production
Supposons que la firme dispose de biens pouvant être utilises comme des inputs
(facteurs de production) et/ou outputs (facteurs produits). L’output net d’un
bien est donné par la quantite de ce bien produit moins la quantite consommée.
Definition : Un plan de production est defini par la liste des outputs nets des
−
differents biens. On le notera Y = (q1 , ..., qn , x1 , ..., xh ) ou →
q contient la
→
−
−
liste des outputs et x celle des inputs ; par convention, les valeurs de →
x
sont negatives.
Definition : L’ensemble de tous les plans de production techniquement realisables est appelé ensemble de production de la firme.
Propriétés :
• Y est non vide : i.e. il est toujours possible de ne rien produire (0 ∈ Y ).
−
−
−
−
y ∈ Y, et →
y0<→
y =⇒ →
y0 ∈Y.
• Monotonicite ou libre disposition : ∀→
i.e. on peut toujours produire moins avec les mêmes inputs ou autant avec
plus d’inputs (avec convention inputs comptes negativement).
−
−
−
• Divisibilité : ∀→
y ∈ Y,et pour tout scalaire 0 ≤ λ ≤ 1, le plan →
y 0 = λ→
y
→
−
appartient a Y i.e. le plan de production y , est utilisable en reduisant les
inputs et les outputs dans la même proportion.
−
−
−
−
• Additivité : ∀→
y ∈ Y,et ∀→
y 0 ∈ Y, le plan z = →
y +→
y0 ∈Y.
−
−
• Convexité : ∀→
y ∈ Y,et ∀→
y 0 ∈ Y, et pour tout scalaire 0 ≤ λ ≤ 1, le plan
0
−
−
z = λ→
y + (1 − λ) →
y ∈Y.
−
−
−
• Continuité : ∀→
y ∈ Y, et tout voisinage Vy de →
y ,il existe →
y 0 ∈ Vy tel que
0
→
−
y ∈Y.
−
−
−
−
• Y est fermé : si →
yn→→
y et ∀n, →
y n ∈ Y alors →
y ∈ Y.
−
Definition :→
y 1 est dit techniquement efficace s’il appartient a l’ensemble Y
des productions nettes possibles et s’il n’existe dans Y aucun autre vecteur
→
−
y 2 tel que yn2 = yn1 et yn2 > yn1 pour au moins un n.
3
Definition : Si la firme produit un seul output, il est possible de definir la
fonction de production comme suit :
f (x) = {y ∈ R:y est l0 output maximum associé à x ∈ Y }
Propriétés :
• f (0) = 0.
• f (.) est croissante (libre disposition) ;
• f (.) est continue (Y est fermé) ;
• f (.) est quasi-concave (Y est convexe).
Hypothèse : la firme maximise son profit compte tenu de sa contrainte technologique. L’entreprise ne produit que si elle est rentable, c’est-à-dire si le
profit qu’elle réalise en produisant la quantité qui égalise le coût marginal
au prix est supérieur au profit qu’elle réalise en ne produisant rien.
Definition (Seuil de fermeture) : le niveau de prix au-dessous duquel l’entreprise décide de ne rien produire. Si la firme produit 0, elle subit les
coûts fixes F. Elle produit une quantité positive si : P (0) = −F <
P Y − CV (Y ) − F ⇐⇒ P > CVY(Y ) . Cette condition ne peut être remplie
si le prix est inférieur au minimum du coût variable moyen. Le seuil de
fermeture est le minimum du coût variable moyen
Definition (Seuil de rentabilité) : le niveau de prix au-dessus duquel l’entre)
prise réalise un profit positif. P (Y ) > 0 ⇐⇒ P > C(Y
. Si P est inférieur
Y
au minimum du coût moyen, cette condition ne peut être remplie. Le seuil
de rentabilité est le minimum du coût moyen.
N.B. La distinction ne vaut qu’à court terme : à long terme, l’absence de coût
fixe rend égaux le coût moyen et le coût variable moyen
1.2.2
Rendements factoriels / rendements d’échelle
Definition : Une technologie presente des rendements d’echelle constants si
f (tx) = tf (x) pour t ≥ 0 ;
Definition : Une technologie presente des rendements d’echelle croissants si
f (tx) > tf (x) pour tout t > 1 ;
Definition : Une technologie presente des rendements d’echelle decroissants si
f (tx) < tf (x) pour tout t > 1 ;
4
1.3
1.3.1
L’échange :
L’equilibre concurrentiel dans une economie d’échange
Economie “d’echange pur" : economie dans laquelle toute production est absente
(i.e. les agents echangent entre eux des biens dont la quantite totale est donnée
et fixe).
1
2
On note xh = x1h , x2h la consommation de l’agent h et
ω
=
ω
,
ω
ses do-
h
h
h
1
2
1
1
2
tations initiales des deux biens avec ωh 0. ω = ω , ω = ω1 + ω2 , ω1 + ω12
sont les dotations totales de l’economie à deux agents.
Definition : La fonction d’excès de demande de l’agent h dans une économie d’échange est la difference entre l’allocation demandé par l’agent à
1 →
2 →
→
−
−
−
chaque niveau de prix et sont
allocation initiale : zh ( p ) = zh ( p ) , zh ( p ) =
1 →
1
2 →
2
−
−
xh ( p ) − ωh , xh ( p ) − ωh . La fonction d’excès de demande pour chaque
bien l est egale à la somme des fonctions d’excès de demande, pour le bien
−
−
−
l, des tous les consommatuers : z l (→
p ) = z1l (→
p ) + z2l (→
p ).
−
−
Definition : Dans une économie du pur échange, une allocation (x1 (→
p ) , x2 (→
p ))
l
l
l
l
est realisable si x1 + x2 ≤ ω1 + ω2 pour chaque bien l. En autres termes,
une allocation est realisable si l’excès de demande est inferieur ou égal à
zero.
Definition : Un equilibre concurrentiel de l’economie d’échange est un vec−
teur de prix →
p et une allocation x = (x1 , x2 ) tels que :
−
1. pour le vecteur de prix →
p , xh maximise l’utilite de h sous sa contrainte
budgetaire, et ce pour h = 1, 2 ;
2. les marches s’apurent, i.e. x11 + x12 = ω11 + ω21 et x21 + x22 = ω12 + ω22 .
−
Proposition (Loi de Walras) : Soit xh (→
p ) la fonction de demande du
−
−
−
consommateur h ; et x (→
p ) = (x1 (→
p ) , x2 (→
p )) : Alors, on a :
→
−
p
2
X
−
(xh (→
p ) − ωh ) = 0.
h=1
N.B. :
• la loi de Walras est verifiée mêeme en dehors de l’equilibre ;
• le systeme de prix absolus n’est pas determine, seuls les prix relatifs le
sont.
Proposition : Homogénéité de degré zéro de la fonction d’excès de demande
−
−
−
dans un équilibre général de pur échange : z(λ→
p ) = λ0 zh (→
p ) = zh (→
p)
pour tout λ > 0.
N.B. :
5
• Ceci est dû au fait que ce qui compte pour l’équilibre ces sont les prix
relatifs (Loi de Walras) : on peut donc normaliser un prix à l’unité et
resoudre tout par rapport à ceci.
−
−
Definition : On dit qu’une allocation realisable (x1 (→
p ) , x2 (→
p )) est un Optimum de Pareto (ou est Pareto Optimale) s’il n’existe pas d’autre
−
−
allocation realisable (e
x1 (→
p ),x
e2 (→
p )) telle que
u(e
x1 ) ≥ u(x1 )
et
u(e
x2 ) ≥ u(x2 )
avec au moins une inegalité stricte.
Definition : Le lieu de tous les points de tangence des courbes d’indifférence,
et donc le lieu de tous les optima de Pareto est appelé la courbe des
contrats (boite d’Edgeworth). Ceci est une courbe que, à l’interieur de
la boîte d’Edgeworth, représente toutes les allocations de biens efficientes
entre deux consommateurs.
1.3.2
L’equilibre concurrentiel dans une economie avec production
−
−
−
−
Definition : Dans une économie du pur échange, une allocation (x1 (→
p )P
, x2 (→
p ),→
y (→
p ))
m
est realisable si xl1 +xl2 ≤ ω1l +ω2l +y l pour chaque bien l où q l = j=1 qjl
est la quantité totale du bien l produite dans l’économie.
Definition : La frontière des possibilités de production est la courbe
qui represente l’ensemble des production maximales realisables avec les
quantités d’inputs maximales presents dans l’économie. La pente de la
courbe indique de combien la production du bien 2 varie à la variation de
la production du bien 1 :
∂f2
dq2
∂z 2
= − ∂fk1
dq1
1
∂zk
→
−l
−
où ql = fl ( z ) est la production du bien l (avec l = 1, 2) et →
z l le vecteur
d’inputs utilisé par la firme l. Le valuer absolu de la pente est apellé Taux
Marginal de Transformation.
−
Proposition : Homogénéité de degré un de la fonction de profit : π ∗ (λ→
p) =
−
−
λ1 π ∗ (→
p ) = λ1 π ∗ (→
p ) pour tout λ > 0.
N.B. : Ceci est dû au fait que la fonction d’offre depends des prix relatifs des
−
−
−
−
−
−
outputs nets (s (λ→
p ) = argmax λ→
p→
y = argmax →
p→
y = s (→
p )) et donc
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
p ) ou →
y ∗λ = s (λ→
p ) et →
y ∗ = s (→
p ).
π ∗ (λ→
p ) = λ→
p→
y ∗λ = λ→
p→
y ∗ = λπ ∗ (→
−
−
−
−
Definition : On dit qu’une allocation realisable (x1 (→
p ) , x2 (→
p ),→
y (→
p )) , est
un Optimum de Pareto (ou est Pareto Optimale) s’il n’existe pas
6
−
−
−
−
d’autre allocation realisable x01 (→
p ) , x02 (→
p ),→
y 0 (→
p ) telle que
u(x01 ) ≥ u(x1 )
et
u(x02 ) ≥ u(x2 )
avec au moins une inegalité stricte.
Definition : Deux biens l et l0 sont des substituts bruts au vecteur de prix
→
−
p si :
0 −
−
∂z l (→
∂z l (→
p)
p)
>0 .
> 0 et
∂pl
∂pl0
N.B. Deux biens sont des substituts bruts si une augmentation du prix de lun
entraîne une augmentation de la demande excédentaire de lautre et vice
versa.
Definition : On étudie l’evolution des prix vers l’équilibre lorsque l’économie
est en deséquilibre (l’offre est la demande ne sont pas egaux). Supposons
que le commissaire priseur ajuste les prix selon la règle suivante : si, au
temps t, l’excès de demande est positif, au temps t + 1 le prix va agumenter ; si l’excès de demande est negatif, au temps t + 1. Ce mécanisme
d’ajustement des prix est dis proportionnel si plt+1 − plt = αz l (pt )
avec α > 0
1.3.3
Le surplus
Definition : Le surplus du consommateur est défini comme la somme des
différences entre le prix de demande et le prix de marché, pour toutes
les « unités » achetées. Analytiquement, c’est la surface sous la courbe
de demande et au dessus du prix. Etant donné la fonction de demande
´ q∗
inverse p = PD (q), le surplus sera égale à Sc = 0 PD (q)dq − p∗ q ∗ .
N.B. Cette expression du surplus du consommateur nest rigoureusement exacte
que dans le cas dune fonction dutilité linéaire par rapport à la monnaie.
Dans ce cas, v (q, M ) = u (q)+M où M représente un bien composite censé
représenter le reste des biens dans l’économie et dont le prix est normalisé
à un, et que nous appellons monnaie. La condition de premier ordre de la
maximisation de l’utilité nous donne : u0 (q) = p. Ceci definit la fonction
p(q) tel que p(q) = u0 (q).
Definition : Le surplus du producteur est défini comme la somme des différences entre le prix de marché et le prix d’offre, pour toutes les « unités
» achetées. Analytiquement, c’est la surface au dessus de la courbe d’offre
et sous le prix. Etant donné la courbe de l’offre p = Cm(q), le surplus sera
´ q∗
´ q∗
égale à Sp = p∗ q ∗ − 0 Cm(q)dq. Etant donné queCT (q) = 0 Cm(q)dq
et que π = p∗ q ∗ − CT (q ∗ ) on a que le surplus du producteur n’est rien
d’autre que son profit.
7
1.4
Concurrence imparfaite
Definition : Le Duopole de Cournot est un duopole produisant le même
bien et se faisant concurrence par les quantités. Les deux firmes prennent
leur decision simultanément. Chacune des deux firmes considère la quantité offerte sur le marché par sa rivale comme fixée et définit sa propre offre
en fonction de cette hypothèse.
Definition : Le Duopole de Stackelberg est un duopole produisant le même
bien et se faisant concurrence par les quantités. Les deux firmes prennent
leur decision de manière sequentielle. Une de deux firmes (la firme
dominante) prend sa decision de production en première et considère que
sa rivale reagit à ce niveau de production (selon sa fonction de reaction).
La deuxième firme considère la quantité offerte sur le marché par sa rivale
comme fixée et définit sa propre offre en fonction de cette hypothèse.
Definition : Dans le Duopole de Bertrand chacune des entreprises considère
le prix proposé par l’autre comme fixé. Les firmes se ont ainsi concurrence
sur les prix, et non sur les quantités. Les deux firmes prennent leur decision
simultanément. Chaque firme a une fonction de demande différente : la
demande qui s’adresse à la firme 1 dépend du prix offert par cette dernière
mais également du prix offert par la firme 2. Comme les biens sont par
hypothèse parfaitement homogènes, une entreprise qui propose un prix
plus faible que son concurrent reçoit toute la demande du marché. Si elles
offrent toutes les deux le même prix, elles se partagent la demande. A
l’équilibre, le prix est égal au coût marginal et les profits sont nuls.
Aucune entreprise ne peut améliorer ses profits puisqu’une diminution de
prix entraîne une perte et que la demande baisse si le prix augmente.
2
Théorèmes
Théorème (Unicité de l’équilibre général) : Supposons les préférences des
agents strictement monotones. Si tous les biens sont des substituts bruts
−
pour tous les prix, et si →
p ∗ est un vecteur de prix d’équilibre, alors c’est
l’unique prix d’équilibre.
Théorème (Stabilité de l’équilibre général) : Si tous les biens sont des
−
substituts bruts pour tous les prix, et si →
p ∗ est un vecteur de prix d’équi∗
→
−
libre, alors p est stable vis à vis du mécanisme d’ajustement des
prix proportionnel.
Théorème (Premier théorème de l’économie du bien-être) : Supposons
−
que uh (.) est croissante pour tout h. Si (→
p ; x) est un equilibre concurrentiel, alors x est un optimum de Pareto.Théorème
Théorème (Deuxieme théorème de l’économie du bien-être) : Soit
x∗ un optimum de Pareto avec x∗h > 0 pour tout h. Supposons que les
8
fonctions d’utilite des agents sont quasi-concaves, continues et strictement
croissantes. Alors x∗ est une allocation d’equilibre de l’economie dont les
dotations initiales sont ωh = xh .
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