Syllabus de Microéconomie

Syllabus de Microéconomie
Roberta Ziparo, Aix-Marseille Université
1 Définitions
1.1 Le consommateur :
1.1.1 Propriétés des préférences des consommateurs :
Les préférences correspondent à une relation de classement des objets dans l’es-
pace des objets.
Soit xet ydeux panier de consommation.
•  représente la préférence stricte : xysignifie que le panier xest
strictement préféré au panier y.∼représente l’indifférence ;
• ∼ représente l’indifference : x∼ysignifie que xet ysont également
préférés ou que l’on est indifférent entre xet y;
•  représente la préférence faible : xysignifie que xest au moins autant
préféré (désiré) que y.
Hypothèses cruciales :
•La relation de préférence est une relation complète : pour tout xet
yappartenant à X(l’ensemble de consommation), soit xyou yx;
•La relation de préférence est une relation réflexive : pour tout xappar-
tenant à X,xx;
•La relation de préférence est une relation transitive : pour tout x,yet z
appartenant X, si xyet yz, alors xz.
Definition : U ne relation de préférence est dite rationnelle ssi elle est
complète,réflexive et transitive.
Hypothèses additionelles :
•Les préférences sont continues : pour tout xet yappartenant à X, les
ensembles {x:xy}et {x:xy}sont des ensebles fermés ;
•Les préférences sont (strictement) monotones : si x≥yalors xy
(xy).
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•Les préférences sont (strictement) convexes : pour tout x,yet zap-
partenant X(avec x6=y), si xzet yz, alors λx + (1 −λ)zpour
tout 0≤λ≤1(λx + (1 −λ)zpour tout 0<λ<1).
1.1.2 Propriétés des fonctions d’utilité
Definition : Une fonction ude Xdans Rest une fonction d’utilite "repre-
sentant" la relation de preference ssi, pour tout xet yappartenant à
X,xy⇐⇒ u(x)≥u(y).
Definition : Une courbe d’indifférence regroupe toutes les combinaisons de
biens qui procurent le même niveau de satisfaction.
Propriétés :
•Des courbes d’indifférence correspondant à des niveaux de satisfaction
différents ne peuvent pas se croiser ;
•Des préférences convexes sont représentées par des courbes d’indifférence
qui sont convexes ;
•La relation de préférence est (strictement) monotone ssi les fonctions
d’utilité associées sont (strictement) croissantes ;
•Si la relation de préférence est convexe alors les fonctions d’utilité
associées sont quasi-concaves.
Théorème(Debreu,54) : Si une relation de préférénce est rationelle, mono-
tone, continue, alors elle est raprésentée par une fonction d’utilité conti-
nue.
Hypothèse : l’individu supposé rationnel maximise son niveau de satisfaction
compte tenu de ses ressources limitées.
Definition : Pour chaque bien hqui rentre la fonction d’utilité d’un consom-
mateur i,la demande (marshallienne) est une fonction qui fait cor-
renspondre un niveau optimal de consomation à chaque vecteur des prix
et du revenu individuel : −→ x(−→ p,R) = (x∗
1(−→
p,R), x∗
2(−→
p,R)), pour h= 1,2.
1.1.3 Effet de substitution / Effet de revenu
Definition : l’effet revenu d’un bien hmesure la variation de la consomma-
tion de ce bien à l’optimum lorsque le revenu de l’agent varie : ER =
∂x∗
h(−→
p,R)
∂R .
Definition : l’effet prix d’un bien hmesure la variation de la consommation
de ce bien à l’optimum lorsque le prix de ce bien varie mais les autres prix
et le revenu restent inchangés : EP =∂x∗
h(−→
p,R)
∂ph. L’effet-prix se décompose
en deux effets :
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•Un effet de substitution : mesure la variation dans la consommation du
bien hinduite par la seule variation du prix de ce bien, à niveau d’utilité
inchangée.
•Un effet de revenu : correspond à la variation additionnelle dans la
consommation du bien hinduite par la variation de pouvoir d’achat permis
par la variation du prix du bien h.
1.2 Le producteur :
1.2.1 Propriétés des ensembles et fonctions de production
Supposons que la firme dispose de biens pouvant être utilises comme des inputs
(facteurs de production) et/ou outputs (facteurs produits). L’output net d’un
bien est donné par la quantite de ce bien produit moins la quantite consommée.
Definition : Un plan de production est defini par la liste des outputs nets des
differents biens. On le notera Y= (q1, ..., qn, x1, ..., xh)ou −→ qcontient la
liste des outputs et −→ xcelle des inputs ; par convention, les valeurs de −→ x
sont negatives.
Definition : L’ensemble de tous les plans de production techniquement reali-
sables est appelé ensemble de production de la firme.
Propriétés :
•Yest non vide : i.e. il est toujours possible de ne rien produire (0∈Y).
•Monotonicite ou libre disposition :∀−→ y∈Y, et −→ y0<−→ y=⇒−→ y0∈Y.
i.e. on peut toujours produire moins avec les mêmes inputs ou autant avec
plus d’inputs (avec convention inputs comptes negativement).
•Divisibilité : ∀−→ y∈Y,et pour tout scalaire 0≤λ≤1, le plan −→ y0=λ−→ y
appartient a Yi.e. le plan de production −→ y , est utilisable en reduisant les
inputs et les outputs dans la même proportion.
•Additivité : ∀−→ y∈Y,et ∀−→ y0∈Y, le plan z=−→ y+−→ y0∈Y.
•Convexité : ∀−→ y∈Y,et ∀−→ y0∈Y, et pour tout scalaire 0≤λ≤1, le plan
z=λ−→ y+ (1 −λ)−→ y0∈Y.
•Continuité : ∀−→ y∈Y, et tout voisinage Vyde −→ y ,il existe −→ y0∈Vytel que
−→
y0∈Y.
•Yest fermé : si −→ yn→−→ yet ∀n, −→ yn∈Yalors −→ y∈Y.
Definition :−→ y1est dit techniquement efficace s’il appartient a l’ensemble Y
des productions nettes possibles et s’il n’existe dans Yaucun autre vecteur
−→
y2tel que y2
n=y1 net y2 n> y1 npour au moins un n.
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Definition : Si la firme produit un seul output, il est possible de definir la
fonction de production comme suit :
f(x) = {y∈R:y est l0output maximum associ´e`a x ∈Y}
Propriétés :
•f(0) = 0.
•f(.)est croissante (libre disposition) ;
•f(.)est continue (Yest fermé) ;
•f(.)est quasi-concave (Y est convexe).
Hypothèse : la firme maximise son profit compte tenu de sa contrainte tech-
nologique. L’entreprise ne produit que si elle est rentable, c’est-à-dire si le
profit qu’elle réalise en produisant la quantité qui égalise le coût marginal
au prix est supérieur au profit qu’elle réalise en ne produisant rien.
Definition (Seuil de fermeture) : le niveau de prix au-dessous duquel l’en-
treprise décide de ne rien produire. Si la firme produit 0, elle subit les
coûts fixes F. Elle produit une quantité positive si : P(0) = −F <
P Y −CV (Y)−F⇐⇒ P > CV (Y)
Y. Cette condition ne peut être remplie
si le prix est inférieur au minimum du coût variable moyen. Le seuil de
fermeture est le minimum du coût variable moyen
Definition (Seuil de rentabilité) : le niveau de prix au-dessus duquel l’entre-
prise réalise un profit positif. P(Y)>0⇐⇒ P > C(Y)
Y. Si Pest inférieur
au minimum du coût moyen, cette condition ne peut être remplie. Le seuil
de rentabilité est le minimum du coût moyen.
N.B. La distinction ne vaut qu’à court terme : à long terme, l’absence de coût
fixe rend égaux le coût moyen et le coût variable moyen
1.2.2 Rendements factoriels / rendements d’échelle
Definition : Une technologie presente des rendements d’echelle constants si
f(tx) = tf(x)pour t≥0;
Definition : Une technologie presente des rendements d’echelle croissants si
f(tx)> tf(x)pour tout t > 1;
Definition : Une technologie presente des rendements d’echelle decroissants si
f(tx)< tf(x)pour tout t > 1;
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1.3 L’échange :
1.3.1 L’equilibre concurrentiel dans une economie d’échange
Economie “d’echange pur" : economie dans laquelle toute production est absente
(i.e. les agents echangent entre eux des biens dont la quantite totale est donnée
et fixe).
On note xh=x1
h, x2 hla consommation de l’agent het ωh=ω1 h, ω2 hses do-
tations initiales des deux biens avec ωh0.ω=ω1, ω2=ω1
1+ω1 2, ω2 1+ω2 1
sont les dotations totales de l’economie à deux agents.
Definition : La fonction d’excès de demande de l’agent hdans une éco-
nomie d’échange est la difference entre l’allocation demandé par l’agent à
chaque niveau de prix et sont allocation initiale : zh(−→ p) = z1
h(−→
p), z2
h(−→
p)=
x1
h(−→
p)−ω1
h, x2 h(−→
p)−ω2
h. La fonction d’excès de demande pour chaque
bien lest egale à la somme des fonctions d’excès de demande, pour le bien
l, des tous les consommatuers : zl(−→ p) = zl
1(−→
p) + zl
2(−→
p).
Definition : Dans une économie du pur échange, une allocation (x1(−→ p), x2(−→ p))
est realisable si xl
1+xl 2≤ωl 1+ωl 2pour chaque bien l. En autres termes,
une allocation est realisable si l’excès de demande est inferieur ou égal à
zero.
Definition : Un equilibre concurrentiel de l’economie d’échange est un vec-
teur de prix −→ pet une allocation x= (x1, x2)tels que :
1. pour le vecteur de prix −→ p,xhmaximise l’utilite de hsous sa contrainte
budgetaire, et ce pour h= 1,2;
2. les marches s’apurent, i.e. x1
1+x1 2=ω1 1+ω1 2et x2 1+x2 2=ω2 1+ω2 2.
Proposition (Loi de Walras) : Soit xh(−→ p)la fonction de demande du
consommateur h; et x(−→ p)=(x1(−→ p), x2(−→ p)) : Alors, on a :
−→
p
2
X
h=1
(xh(−→ p)−ωh)=0.
N.B. :
•la loi de Walras est verifiée mêeme en dehors de l’equilibre ;
•le systeme de prix absolus n’est pas determine, seuls les prix relatifs le
sont.
Proposition : Homogénéité de degré zéro de la fonction d’excès de demande
dans un équilibre général de pur échange : z(λ−→ p) = λ0zh(−→ p) = zh(−→ p)
pour tout λ > 0.
N.B. :
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