Cours d`algèbre 2
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UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH
FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz
Cours d’algèbre 2
MOUANIS Hakima et ZENNAYI Mohammed
Département de Mathématiques
Filières SMP-SMC (Semèstre 1)
Module Math: Algèbre 1
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PLAN DU COURS
1
E SPACES V ECTORIELS
2
M ATRICES ET D ÉTERMINANTS
3
A PLICATIONS L IN ÉAIRES
4
D IAGONALISATION ET T RIGONALISATION
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Chapitre 1
Espaces vectoriels
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Définitions et propriétés
Définitions et propriétés
Définition
On appelle espace vectoriel sur IR la donnée d’un ensemble E et de deux
opérations + (addition) et · (multiplucation) telles
1
∀(x, y) ∈ E, x + y ∈ E.
2
Il existe dans E un élément, noté 0, qui satisfait :
∀x ∈ E; x + 0 = 0 + x = x.
0
0
0
0
3
∀x ∈ E, il existe x ∈ E tel que x + x = x + x = 0. x est appelé
0
l’opposé de x on le note x = −x.
4
Pour tout x, y, z dans E, on :
(x + y ) + z = x + (y + z)
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Définitions et propriétés
Définitions et propriétés
Définition
∀α, β, γ ∈ IR et ∀x, y ∈ E,
1
(α + β)·x = α·x + β·x.
2
α·(x + y ) = α·x + α·y .
3
(α · β)·x = α·(β·x).
4
1·x = x
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Définitions et propriétés
Définitions et propriétés
Exemples
1
Soit n un entier naturel ≥ 1. le produit cartésien IR n de n copies de IR .
2
L’ensemble des polynômes à coefficients dans IR .
3
L’ensemble IRn [X ], des polynômes à coefficients dans IR et de degré
inférieur ou égal à n (Exp : IR3 [X ] = {P(X ) ∈ IR [X ] / d 0 (P) ≤ 3}).
4
L’ensemble des matrices à coefficients dans IR (Voir cours des Matrices).
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Sous-espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Définition
Soit E un IR -espace vectoriel. Une partie F de E est dite sous-espace
vectoriel de E si
1
0 ∈ F.
2
Si x, y ∈ F alors x + y ∈ F .
3
Si α ∈ IR et x ∈ E alors α·x ∈ F
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Sous-espaces vectoriels
Sous-espace vectoriels
Proposition
Soit E un IR -espace vectoriel. Une partie F de E est un sous-espace vectoriel
de E si et seulement si
1
F 6= ∅.
2
∀α ∈ IR 2 , ∀(x, y) ∈ E 2 , : α · x + y ∈ F
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Sous-espaces vectoriels
Somme de deux sous-espaces
Définition
Soient E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces de E. La partie
F + G = {z = x + y ; x ∈ F et y ∈ G}
est un sous-espace vectoriel de E appelé somme de F et de G.
Si de plus
F ∩ G = {0}
la somme F + G est dite directe et on note
F + G = F ⊕ G.
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Sous-espaces vectoriels
Somme de deux sous-espaces
Exemples
1
2
L’espace des matrices carrées d’ordre n ≥ 1 est somme du sous-espace
des matrices triangulaires supérieures et du sous-espace des matrices
triangulaires inférieures. Mais la somme n’est pas directe
L’espace F = {P ∈ IR [X ]; d o P ≤ 3}
est somme des sous-espaces E1 = Vect{1, X , X 2 } et
E2 = Vect{X 2 , X 3 } mais la somme E1 + E2 n’est pas directe.
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Sous-espaces vectoriels
Somme de deux sous-espaces
Exemples
1
2
L’espace des matrices carrées d’ordre n ≥ 1 est somme du sous-espace
des matrices triangulaires supérieures et du sous-espace des matrices
triangulaires inférieures. Mais la somme n’est pas directe
L’espace F = {P ∈ IR [X ]; d o P ≤ 3}
est somme des sous-espaces E1 = Vect{1, X , X 2 } et
E2 = Vect{X 2 , X 3 } mais la somme E1 + E2 n’est pas directe.
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Sous-espaces vectoriels
Combinaison linéaire
Définition
Soient E un IR -espace vectoriel, x1 , . . . , xp ; p vecteurs de E. Un élément x de
E est dit combinaison linéaire de x1 , . . . , xp si, il existe p scalaires
λ1 , . . . , λp ∈ IR tels que :
x = λ1 ·x1 + · · · + λp ·xp .
Exemple
Soient P = X 3 − 2X + 1, Q = X 4 − 2X 3 + 5X 2 + 4X et T = X 4 + 5X 2 − 2.
T est une combinaison lineaire de P et Q car T = Q − 2P
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Sous-espaces vectoriels
Combinaison linéaire
Définition
Soient E un IR -espace vectoriel, x1 , . . . , xp ; p vecteurs de E. Un élément x de
E est dit combinaison linéaire de x1 , . . . , xp si, il existe p scalaires
λ1 , . . . , λp ∈ IR tels que :
x = λ1 ·x1 + · · · + λp ·xp .
Exemple
Soient P = X 3 − 2X + 1, Q = X 4 − 2X 3 + 5X 2 + 4X et T = X 4 + 5X 2 − 2.
T est une combinaison lineaire de P et Q car T = Q − 2P
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Combinaison linéaire
Combinaison linéaire
Sous-espace engendré
Soit E un IR -espace vectoriel, {x1 , . . . xn } une partie de E. L’ensemble
( n
)
X
Vect(x1 , . . . , xn ) =
λi xi ; λi ∈ IR
i=1
(l’ensemble des combinaisons linéaires des xi ) est un sous-espace vectoriel
de E, appelé sous-espace engendré par les vecteurs x1 , . . . , xn .
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Combinaison linéaire
Partie génératrice
Définition
Soit E un espace vectoriel . Une partie non vide S = {x1 , . . . , xn } de E est dite
partie génératrice de E si
∀x ∈ E, ∃λ1 , . . . , λn ∈ K ;
x=
n
P
λi xi = λ1 x1 + · · · + λn xn .
i=1
C’est-à-dire que tout élément de E est une combinaison linéaire des vecteurs
x1 , . . . , xn .
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Combinaison linéaire
Partie génératrice
Exemple
Soit F = {P = α + βX + γX 2 + λX 3 ∈ IR3 [X ] / α = 2γ et β = −λ }.
1) Montrer que F est un sous espace vectoriel de IR3 [X ].
2) Trouver une partie génératrice de F .
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Combinaison linéaire
Partie libre
Définition
Une partie non vide S = {x1 , . . . , xn } de E est dite une partie libre de E si
∀λ1 , . . . , λn ∈ K ;
(
n
P
λi xi = λ1 x1 + · · · + λn xn = 0) =⇒ (λ1 = λ2 = · · · = λn = 0).
i=1
Exemple
Montrer que la famille {P1 = X 3 − 1, P2 = X 2 + X , P3 = X 2 } est libre
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Combinaison linéaire
Base et Dimension
Définition
1
Une partie non vide S = {x1 , . . . , xn } de E est dite base de E s’elle est à
la fois partie génératrice et libre de E.
2
L’espace E est dit de dimension finie s’il possède une base de cardinal
fini.
3
On montre que toutes les bases d’un espace vectoriel E de dimension
finie ont un même cardinal appelé dimension de E.
Exemple
Calculer la dimension de l’espace vectoriel IRn [X ] avec n ∈ IN ∗
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Combinaison linéaire
Rang d’un système
Définition
Etant donné un système S = {x1 , . . . , xn }, non vide, d’éléments d’un espace
vectoriel E. On appelle rang de S la dimension du sous-espace vectoriel
Vect(S), engendré par le système S.
C’est aussi le nombre maximale des vecteurs libres qu’on peut extraire de ce
système.
Exercice
Déterminer les rangs des systèmes de vecteurs suivants
{(2, 3, 5), (−1, 2, −3), (4, −3, 8)}, {(2, 3, 5), (−1, 2, −3), (1, 5, 2)}.
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