Chapitre 1 : Espaces Vectoriels

Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
PA Toupance
ESISAR
GRENOBLE INP
15 septembre 2015
1/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Groupe
Définition d’un espace vectoriel
Groupe
2/33
Définition :
Un ensemble G muni d’une loi de composition interne T
possède une structure de groupe si :
La loi T est associative.
∀(a, b, c) ∈ G3 , (aT b)T c = aT (bT c)
La loi T possède un élément neutre e.
∀a ∈ G, aT e = eT a = a
Tout élément a de G possède un symétrique.
∀x ∈ G, ∃y ∈ G, xT y = yT x = e
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Groupe
Définition d’un espace vectoriel
Groupe
2/33
Définition :
Un ensemble G muni d’une loi de composition interne T
possède une structure de groupe si :
La loi T est associative.
∀(a, b, c) ∈ G3 , (aT b)T c = aT (bT c)
La loi T possède un élément neutre e.
∀a ∈ G, aT e = eT a = a
Tout élément a de G possède un symétrique.
∀x ∈ G, ∃y ∈ G, xT y = yT x = e
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Groupe
Définition d’un espace vectoriel
Sous groupe
Définition :
Soit (G, T ) un groupe. Une partie H non vide de G est un sous
groupe de G lorsque :
• T est stable dans H :∀(x, y) ∈ H, xT y ∈ H.
• Tout élément de H a son symétrique dans H.
3/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Groupe
Définition d’un espace vectoriel
Sous groupe
Définition :
Soit (G, T ) un groupe. Une partie H non vide de G est un sous
groupe de G lorsque :
• T est stable dans H :∀(x, y) ∈ H, xT y ∈ H.
• Tout élément de H a son symétrique dans H.
Remarque : Un sous groupe est un groupe.
3/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Groupe
Définition d’un espace vectoriel
Sous groupe
3/33
Définition :
Soit (G, T ) un groupe. Une partie H non vide de G est un sous
groupe de G lorsque :
• T est stable dans H :∀(x, y) ∈ H, xT y ∈ H.
• Tout élément de H a son symétrique dans H.
Remarque : Un sous groupe est un groupe.
Exemple : Soit A l’ensemble des nombres pairs de Z et B
l’ensemble des nombres impairs.
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Groupe
Définition d’un espace vectoriel
Propriété :
Soit (G, T ) un groupe. Une partie H de G est un sous groupe
de G si et seulement si :
H 6= ∅ et ∀(x, y) ∈ H, xT y −1 ∈ H
4/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Groupe
Définition d’un espace vectoriel
Propriété :
Soit (G, T ) un groupe. Une partie H de G est un sous groupe
de G si et seulement si :
H 6= ∅ et ∀(x, y) ∈ H, xT y −1 ∈ H
Démonstration
4/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
5/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Groupe
Définition d’un espace vectoriel
A partir de maintenant, l’ensemble K sera égale à R ou C
Définition
Soit E muni d’une l.c.i (notée généralement +) et d’une l.c.e sur
K (notée généralement .).
On dit que (E, +, .) est un K espace vectoriel (K.e.v.) lorsque :
• (E, +) est groupe commutatif.
−
→
L’élément neutre sera noté 0E .
• La
suivantes
:
l.c.e. vérifielespropriétés
→ −
−
→
2
2
∀(α, β) ∈ K , ∀( X , Y ) ∈ E
1
2
3
4
→
−
→
−
→
−
(α + β). X = α. X + β. X
→ −
−
→
→
−
→
−
α.( X + Y ) = α. X + α. Y
→
−
→
−
α.(β. X ) = (α × β). X
→ −
−
→
1. X = X
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Groupe
Définition d’un espace vectoriel
Exemple d’espaces vectoriels
6/33
Exemples :
• Soit E = R2 muni des l.c.i et l.c.e suivantes :
∀(x, y) ∈ E, (x′ , y ′ ) ∈ E, ∀α ∈ R, (x, y)+(x′ , y ′ ) = (x+x′ , y+y ′ )
et α.(x, y) = (αx, αy)
(E, +, .) est un R espace vectoriel.
• L’ensemble des applications de R dans R muni de l’addition
et de la multiplication par un réel est un R espace vectoriel.
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Groupe
Définition d’un espace vectoriel
Propriété
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel,
→ −
−
→
∀(α, β) ∈ K 2 , ∀ X , Y ) ∈ E 2 , on a :
→ −
−
→
• 0. X = 0E
−
→ −
→
• α.0E = 0E
→
−
→ −
−
−
→
→
• α. X = 0E ⇒ α = 0 ou X = 0E
→
−
→
−
• (−1). X = − X
→
−
→
−
→
−
• (α − β). X = α. X − β. X
→ −
−
→
→
−
→
−
• α.( X − Y ) = α. X − α. Y
7/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Définition
Caractérisation d’un sous-espace vectoriel
Sous espace vectoriel
Définition
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
On appelle sous espace vectoriel de E (noté en abrégé ssev) une
partie F de E stable par + et ., c’est à dire :
→
−
→
−
• ∀α ∈ K , ∀ X ∈ F , α. X ∈ F
−
→ −
−
→
→ −
→
• ∀( X , Y ) ∈ F 2 , X + Y ∈ F
et (F, +) est un sous groupe de (E, +).
8/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Définition
Caractérisation d’un sous-espace vectoriel
Sous espace vectoriel
9/33
Remarque : Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
1
2
3
E est un sous espace vectoriel de E.
−
→
{0E } est un sous espace vectoriel de E.
→
−
→
−
→
−
→
−
Soit X ∈ E, F = { Y ∈ E, ∃α ∈ K, Y = α. X } est un sous
espace vectoriel de E.
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
10/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Définition
Caractérisation d’un sous-espace vectoriel
Propriété : Caractérisation d’un ssev
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si :
1
F ⊂E
2
F 6= ∅
3
→ −
−
→
→
−
→
−
∀(α, β) ∈ K 2 , ∀( X , Y ) ∈ F 2 , α. X + β. Y ∈ F
Démonstration :
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Définition
Caractérisation d’un sous-espace vectoriel
Remarque :
• Le 3ième point peut être remplacé par :
→ −
−
→
→ −
−
→
∀α ∈ K , ∀( X , Y ) ∈ F 2 , α. X + Y ∈ F
−→
• Pour montrer que F 6= ∅, on vérifie que OE ∈ F , car :
−
→
⊲ si 0E ∈ F on peut en déduire que F =
6 ∅.
−
→
⊲ si 0E ∈
/ F on peut en déduire que F n’est pas un sous
espace vectoriel.
11/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Définition
Caractérisation d’un sous-espace vectoriel
Sous espace vectoriel
12/33
Exemple : Soit E = R3 muni des opérations usuelles.
Soient F = {(x, y, z) ∈ R3 , x − 2y + z = 0} et
G = {(x, y, z) ∈ R3 , x + 2y + z = 1}.
F et G sont-ils des ssev de E.
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Propriété : intersection de sous espaces vectoriel
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
Si F1 et F2 sont des sous espaces vectoriels de E alors F1 ∩ F2
est un ssev de E.
13/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
13/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Propriété : intersection de sous espaces vectoriel
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
Si F1 et F2 sont des sous espaces vectoriels de E alors F1 ∩ F2
est un ssev de E.
Démonstration :
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Propriété : intersection de sous espaces vectoriel
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
Si F1 et F2 sont des sous espaces vectoriels de E alors F1 ∩ F2
est un ssev de E.
Démonstration :
Remarques :
1
Si F1 , F2 , . . . , Fn sont des ssev de E alors F1 ∩ F2 ∩ · · · ∩ Fn
est un ssev de E
2
Attention, lorsque F1 et F2 sont des ssev, en général
F1 ∪ F2 n’est pas un ssev.
Par exemple, en prenant E = R2 ,
F1 = {(x, 0) où x ∈ R} et F2 = {(0, y) où y ∈ R}
13/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Somme d’espaces vectoriels
14/33
Définition :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
Soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E, la somme de
E1 et E2 est l’ensemble noté E1 + E2 défini par :
−
−
→ −
→ −
→
→
−
→ −
→
E1 + E2 = { X ∈ E, ∃(X1 , X2 ) ∈ E1 × E2 , X = X1 + X2 }
→
→
−
−
→ −
Si U ∈ E1 + E2 alors ∃(U1 , U2 ) ∈ E1 × E2 tels que
−
→ −
→ −
→
U = U1 + U2 .
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
15/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Propriété :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
Si E1 et E2 sont des sous espaces vectoriels de E alors E1 + E2
est un ssev de E.
Démonstration :
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
16/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Définition :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel.
Soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels deL
E, on dit que
E1 et E2 sont en somme directe, et on note E1 E2 , lorsque :
→
−
−
→ −
→
−
→
−
→ −
→
(∀ X ∈ E1 + E2 ), ∃!(X1 , X2 ) ∈ E1 × E2 tel que X = X1 + X2
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
17/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Propriété :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous
espaces vectoriels. E1 et E2 sont en somme directe si et
−→
seulement si E1 ∩ E2 = {OE }
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
17/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Propriété :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous
espaces vectoriels. E1 et E2 sont en somme directe si et
−→
seulement si E1 ∩ E2 = {OE }
Démonstration
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
17/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Propriété :
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous
espaces vectoriels. E1 et E2 sont en somme directe si et
−→
seulement si E1 ∩ E2 = {OE }
Démonstration
Exemple : Soit E = R3 et soient F et G deux ssev de E
définis par :
F = {(x, y, z) ∈ R3 , x = y = z}
G = {(x, y, z) ∈ R3 , x−y+z = 0}
F et G sont-ils en somme directe ?
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Définition
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous
espaces vectoriels. On
L dit que E1 est le supplémentaire de E2
dans E lorsque E1 E2 = E
18/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Intersection de ss ev
Somme d’espaces vectoriels
Somme directe
Supplémentaire d’un ss ev
Définition
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous
espaces vectoriels. On
L dit que E1 est le supplémentaire de E2
dans E lorsque E1 E2 = E
Remarque : Pour montrer que E1 est le supplémentaire de E2
dans E, il faut prouver les 2 assertions suivantes :
• E1 + E2 = E
−
→
• E1 ∩ E2 = {0E }
18/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Famille de vecteurs
19/33
−
→ −
→
−→
Soit E un K espace vectoriel. Soient X1 , X2 , . . . Xn n vecteurs
de E.
On appelle combinaison linéaire de ces n vecteurs, tout vecteur
−
→
X de la forme :
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Famille de vecteurs
19/33
−
→ −
→
−→
Soit E un K espace vectoriel. Soient X1 , X2 , . . . Xn n vecteurs
de E.
On appelle combinaison linéaire de ces n vecteurs, tout vecteur
−
→
X de la forme :
n
X −
→
−
→
−
→
−→
−
→
λi Xi = λ1 .X1 + λ2 .X2 + · · · + λn .Xn
X =
i=1
où (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ K n
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Famille de vecteurs
19/33
−
→ −
→
−→
Soit E un K espace vectoriel. Soient X1 , X2 , . . . Xn n vecteurs
de E.
On appelle combinaison linéaire de ces n vecteurs, tout vecteur
−
→
X de la forme :
n
X −
→
−
→
−
→
−→
−
→
λi Xi = λ1 .X1 + λ2 .X2 + · · · + λn .Xn
X =
i=1
où (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ K n L’ensemble des combinaisons linéaires
−
→ −
→
−→
de X1 , X2 , . . . Xn est noté :
−
→ −
→
−→
Vect X1 , X2 , . . . Xn
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Famille de vecteurs
−
→ −
→
−→
Soit E un K espace vectoriel. Soient X1 , X2 , . . . Xn n vecteurs
de E.
On appelle combinaison linéaire de ces n vecteurs, tout vecteur
−
→
X de la forme :
n
X −
→
−
→
−
→
−→
−
→
λi Xi = λ1 .X1 + λ2 .X2 + · · · + λn .Xn
X =
i=1
où (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ K n L’ensemble des combinaisons linéaires
−
→ −
→
−→
de X1 , X2 , . . . Xn est noté :
−
→ −
→
−→
Vect X1 , X2 , . . . Xn
Cet ensemble est un sous espace vectoriel de E.
19/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Définition
−
→ −
→
−→
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soit B = X1 , X2 , . . . Xn
une famille de vecteurs de E.
On dit que B est une famille génératrice de E lorsque
−→
→
−
→ −
E = Vect X1 , X2 , . . . Xn .
C’est à dire tout vecteur de E s’écrit comme combinaison
−→
→
−
→ −
linéaire des vecteurs X1 , X2 , . . . Xn .
Lorsqu’il existe une famille génératrice finie d’un espace
vectoriel, on dit que celui-ci est de dimension finie.
20/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Définition
−
→ −
→
−→
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soit B = X1 , X2 , . . . Xn
une famille de vecteurs de E.
On dit que B est une famille génératrice de E lorsque
−→
→
−
→ −
E = Vect X1 , X2 , . . . Xn .
C’est à dire tout vecteur de E s’écrit comme combinaison
−→
→
−
→ −
linéaire des vecteurs X1 , X2 , . . . Xn .
Lorsqu’il existe une famille génératrice finie d’un espace
vectoriel, on dit que celui-ci est de dimension finie.
Exemple : E = R3 et F = {(x, y, z) ∈ R3 , x − 2y + z = 0}
Déterminer une famille génératrice de E et de F .
20/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Définition :
−
→ −
→
−→
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soit B = X1 , X2 , . . . Xn
une famille de vecteurs de E.
On dit que B est une famille libre de E lorsque :
∀(λ1 , λ2 , . . . , λn ),
n
X
−
→ −
→
λi Xi = 0E ⇔ ∀i ∈ [1; n]λi = 0
i=1
On dit aussi que la famille B sont linéairement indépendants.
Dans le cas contraire, on dit que B est une famille liée.
21/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Définition :
−
→ −
→
−→
Soit (E, +, .) un K espace vectoriel et soit B = X1 , X2 , . . . Xn
une famille de vecteurs de E.
On dit que B est une famille libre de E lorsque :
∀(λ1 , λ2 , . . . , λn ),
n
X
−
→ −
→
λi Xi = 0E ⇔ ∀i ∈ [1; n]λi = 0
i=1
On dit aussi que la famille B sont linéairement indépendants.
Dans le cas contraire, on dit que B est une famille liée.
Exemple : Dans E = R3 , soit B1 et B2 les familles suivantes :
B1 = {(1, 2, 3), (2, 1, 4), (3, 2, 1)}
B2 = {(1, 2, 4), (−1, 2, 3), (5, −2, −1)}
Ces familles sont-elles libres ?
21/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
22/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Remarques :
• Si une famille de n vecteurs de E sont linéairement
indépendants, il en est de même d’une sous famille de p
vecteurs (p 6 n).
→
−
→
−
−
→ −
→
• Soit X ∈ E, { X } est une famille libre ⇔ X 6= 0E
−
→
• Toute famille qui contient 0E est liée.
• Une famille de 2 vecteurs est liée si et seulement si les 2
vecteurs sont colinéaires.
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
23/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Propriété
Toute sous famille d’une famille libre est libre.
Toute sur famille d’une famille liée est liée.
Propriété
−
→ −
→
−→
X1 , X2 , . . . Xn est une famille liée si et seulement si l’un des
vecteurs est une combinaison linéaire des autres.
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Définition : base d’un espace vectoriel
−
→ −
→
−→
Soit E un K espace vectoriel, et soit B = X1 , X2 , . . . Xn une
famille de vecteurs de E.
On dit que B est une base de E lorsque B est une famille libre
et génératrice de E.
Exemple : Soit E = R2 et soient les 2 familles
B1 = {(1, 0), (0, 1)} et B2 = {(1, 2), (−1, 1)}.
Montrer que B1 et B2 sont des bases de E ?
24/33
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
25/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Définition : base canonique de Rn
−
→
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0)



−
→

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)
Soient les n vecteurs .
..




−
→
en = (0, 0, . . . , 0, 1)
→
−
−
→
→
−
B = e1 , e2 , . . . en est appelée la base canonique de Rn
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
26/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Définition et propriété : coordonnées de vecteurs
Soit E un K espace
vectoriel et soit
→
→
→
B= −
ε1 , −
ε2 , . . . −
εn une base de E.
On a :
n
−
→
→ X −
−
xi →
εi
(∀ X ∈ E), (∃!(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K n , X =
i=1
−
→
On dit que les coordonnées de X sont (x1 , x2 , . . . , xn ).
Exemple : Soient E = R2 et B = {(1, 2), (−1, 1)} une base de
E.
−
→
Déterminer les coordonnées de X = (x, y) dans la base B.
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
27/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Propriété :
−→
Soit E un K espace vectoriel tel que E 6= {OE }.
→ −
−
→
−
→
Soit f1 , f2 , . . . , fn unebase de E.
→
→
Soit B = −
y1 , −
y2 , . . . , −
y→
m une famille de vecteurs de E.
Si m > n alors B est une famille liée de E
Démonstration :
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
28/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Propriété
Dans un espace vectoriel de dimension finie , toutes les bases
ont le même nombre d’éléments. Ce nombre est appelé la
dimension de E, on le note dim E.
Démonstration :
Théorème
−→
Soit E un K espace vectoriel tel que E 6= {OE }.
On peut extraire de tout famille génératrice de E une base de E
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
29/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Théorème de la base incomplète
−→
Soit E un K espace vectoriel tel que E 6= {OE }.
→
→, . . . , −
→ libre peut être
Soit p ∈ N, toute famille −
u1 , −
u
u
2
p
complétée pourobtenir une base de E.
→
−
→
→
→, . . . , −
n−p tel que −
∃( −
u−
u
u→
u1 , −
p+1 , . . . , un ∈ E
2
n soit une base
de E.
Propriété
Soit E un K espace vectoriel de dimension n.
Une famille libre de n vecteurs de E est une base de E. Une
famille génératrice de n vecteurs de E est une base de E.
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Exemple : Soit E = R2 et soit B = (1, 2), (1, −1) .
30/33
1
Montrer que B est une base de E.
2
Déterminer les coordonnées de (1, 0), (0, 1) et de (x, y)
dans B.
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Dimension d’un EV
31/33
Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.
F est un espace vectoriel de dimension finie, on peut ainsi
trouver une base de F : ∃B = {ε1 , ε2 , · · · , εp } base de F, c’est
une famille libre de E ainsi :
dim F ≤ dim E
Si dim F = dim E alors E=F
Exemple : E = R3 et F = {(x, y, z) ∈ R3 /x − 2y + z = 0}
Déterminer une base de F.
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
32/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Dimension d’une somme d’espaces vectoriels
1
dim(F + G) = dim F + dim G − dim (F ∩ G)
2
F ⊕ G ⇔ dim (F + G) = dim F + dim G
3
Si F ⊕ G et dim (F + G) = dim E alors F et G sont
supplémentaires dans E (c.à.d F ⊕ G = E
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels
33/33
Structure d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Intersection et somme d’espace vectoriel
Familles finies de vecteurs de E
Famille génératrice
Famille libre
Base d’un ev de dimension finie
Dimension d’un espace vectoriel
Dimension d’un ssev dans un ev de dimension fini
Démonstration : F ∩ G est un ss ev de F et un ss ev de G.
Soit B = {ε1 , ε2 , · · · , εp } une base de F ∩ G, on la complète
pour obtenir une base de F : {ε1 , ε2 , · · · , εp , xp+1 , · · · , xq }
On peut également compléter B pour obtenir une base de G :
{ε1 , ε2 , · · · , εp , yp+1 , · · · , yr }
{ε1 , ε2 , · · · , εp , xp+1 , · · · , xq , yp+1 , · · · , yr } est une base de F + G
PA Toupance
Chapitre 1 : Espaces Vectoriels