Exercice 20 - XMaths

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Exercice 20
On choisit un enfant au hasard.
On note A l'événement : « l'enfant est porteur du caractère génétique A » et A son contraire.
On note T+ l'événement : « le test est positif » et T- le contraire de T+.
1°) En sachant que dans la population étudiée, un enfant sur 1000 est porteur du caractère A, on peut faire
l'arbre de probabilités suivant :
T+ p(A∩T+) = 0,001
x 0,99 = 0,00099
A
T- p(A∩T-) = 0,001
x 0,01 = 0,00001
T+ p(
A ∩T+) = 0,999 x 0,02 = 0,01998
A
T- p(
A ∩T-) = 0,999 x 0,98 = 0,97902
L'événement T+ « avoir un test positif » est la réunion des deux événements disjoints A∩T+ et A ∩T+ .
On a donc p(T+) = p(A∩T+) + p( A ∩T+) (formule des probabilités totales)
D'après l'arbre P(T+) = 0,001 x 0,99 + 0,999 x 0,02 = 0,00099 + 0,01998 donc p(T+) = 0,02097
La probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère A, notée p
T+
(A) est :
p
T+
(A) = p(A∩T+)
p(T+) = 0,00099
0,02097 donc p
T+
(A) = 11
233 ≈ 4,7%
2°) Si le test est utilisé avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant sur
100 était porteur du caractère A, on pourra faire l'arbre de probabilités suivant :
T+ p(A∩T+) = 0,01
x 0,99 = 0,0099
A
T- p(A∩T-) = 0,01
x 0,01 = 0,0001
T+ p(
A ∩T+) = 0,99 x 0,02 = 0,0198
A
T- p(
A ∩T-) = 0,99 x 0,98 = 0,9702
On a alors P(T+) = 0,01 x 0,99 + 0,99 x 0,02 = 0,0099 + 0,0198 donc p(T+) = 0,0297
La probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère A, est :
p
T+
(A) = p(A∩T+)
p(T+) = 0,0099
0,0297 donc p
T+
(A) = 1
3 ≈ 33,3%
3°) On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant avait
une probabilité p d'être porteur du caractère A.
En utilisant la même méthode qu'aux questions précédentes, on peut écrire :
P(T+) = p x 0,99 + (1 - p) x 0,02 = 0,99 p + 0,02 - 0,02 p = 0,97 p + 0,02
La probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur
du caractère A, est :
p
T+
(A) = p(A∩T+)
p(T+) = 0,99p 0,97p + 0,02 donc V(p) = 99p 97p + 2
(On peut justifier que la fonction V est croissante sur [0 ; 1])
La représentation graphique de V(p) pour p ∈ [0 ; 1] permet
de voir que la valeur prédicitive est satisfaisante
(proche de 1) lorsque le test est appliqué à une population
pour laquelle le risque est assez important.
Dans le cas contraire, la valeur prédictive est faible.
Un tel test appliqué à une population ayant un risque faible
comme dans le 1°) conduit à un résultat non satisfaisant
dans 95% des cas. Il peut donc avoir dans un tel cas un effet
plus néfaste (inquiétude, stress) que bénéfique.
0,001
0,999
0,99
0,01
0,02
0,98
0,01
0,99
0,99
0,01
0,02
0,98