Chapitre 5 _ Algèbre linéaire

MODULE :
RÉUSSIR SA DEUXIÈME ANNÉE
Mathématiques en Classes préparatoires
Filière PT
SOMMAIRE GÉNÉRAL
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Chapitre 1 : Prérequis en analyse
Chapitre 2 : Intégration sur un segment
Chapitre 3 : Intégrales impropres
Chapitre 4 : Séries numériques
Chapitre 5 : Algèbre linéaire
Chapitre 6 : Déterminants
Chapitre 7 : Endomorphismes et matrices carrées
Chapitre 8 : Equations différentielles linéaires
Chapitre 9 : Séries entières
Chapitre 10 : Espaces probabilisés
Chapitre 11 : Calcul différentiel
Chapitre 12 : Courbes du plan
Chapitre 13 : Intégrales dépendant d’un paramètre
Chapitre 14 : Espaces préhilbertiens
Chapitre 15 : Espaces euclidiens, coniques
Chapitre 16 : Géométrie de l’espace
Chapitre 17 : Variables aléatoires discrètes
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Espaces vectoriels :
 Définition :
𝕂 désigne ℝ ou ℂ. On appelle 𝕂-espace vectoriel un
triplet 𝐸, +, . où 𝐸 est un ensemble, + ∶ 𝐸 2 𝐸 est
une loi de composition interne et . ∶ 𝕂 × 𝐸
𝐸 est une
loi de composition externe, qui vérifie de plus :
• le couple (𝐸, +) est un groupe abélien (son neutre
sera noté 0𝐸 ) ;
• les lois + et . sont compatibles au sens suivant :
∀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 2 , ∀(, 𝜇) ∈ 𝕂2 :
. 𝑥 + 𝑦 = . 𝑥 + . 𝑦 ;  + 𝜇 . 𝑥 = . 𝑥 + 𝜇. 𝑥 ;
.(𝜇. 𝑥) = 𝜇 . 𝑥 ; 1𝕂 . 𝑥 = 𝑥.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Remarques :
∗ Un espace vectoriel n’est jamais vide, il possède
toujours 0𝐸 .
∗ Les éléments de 𝐸 s’appellent les vecteurs, et
ceux de 𝕂 les scalaires.
∗ On déduit de la définition que ∀ 𝑥 ∈ 𝐸, −1 . 𝑥 =
− 𝑥, ainsi que
∀ 𝑥 ∈ 𝐸, ∀ ∈ 𝕂,
. 𝑥 = 0𝐸
 = 0𝕂 ou 𝑥 = 0𝐸
∗ Dans la pratique, on ne se sert presque jamais de
cette définition pour démontrer qu’un objet est un
espace vectoriel, on démontre toujours qu’on a
affaire à un sous-espace vectoriel d’un espace
vectoriel notoire.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Espaces vectoriels notoires :
𝑛 désigne un entier naturel non nul.
∗ (𝕂𝑛 , + , . )est le 𝕂-ev formé des 𝑛-uplets d’éléments de
𝕂.
∗ Si 𝑋 désigne un ensemble quelconque non vide et 𝐸 un
𝕂-ev, 𝓕(𝑋, 𝐸), +, . est le 𝕂-ev formé des fonctions
définies sur 𝑋 et à valeurs dans 𝐸.
∗ En particulier, (𝕂ℕ , +, . ) est le 𝕂-ev formé des suites
d’éléments de 𝕂, qui sont aussi les fonctions de ℕ dans
𝕂.
∗ 𝕂 𝑋 ,+ , .
est le 𝕂-ev des polynômes à une
indéterminée à coefficients dans 𝕂.
∗ 𝓜𝑛,𝑝 𝕂 , +, . est le 𝕂-ev des matrices à 𝑛 lignes et 𝑝
colonnes à coefficients dans 𝕂, où 𝑛 ∈ ℕ∗ et 𝑝 ∈ ℕ∗ .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Définition :
On dit qu’un ensemble 𝐹 est un sous-espace vectoriel
de 𝐸, et on note 𝐹 < 𝐸 lorsque
i.
𝐹⊂𝐸
ii.
𝐹≠∅
iii.
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹 2 , 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐹
iv.
∀ , 𝑥 ∈ 𝕂 × 𝐹, . 𝑥 ∈ 𝐹.
Autrement dit, un sous-espace vectoriel de 𝐸 est une
partie de 𝐸, non vide, stable par somme, et stable par
multiplication par un scalaire.

Remarques :
∗ Pour montrer que 𝐹 ≠ ∅ on vérifie toujours que 0𝐸 ∈
𝐹.
∗ Les propriétés (𝑖𝑖𝑖) et (𝑖𝑣) sont équivalentes à
∀ , 𝑥, 𝑦 ∈ 𝕂 × 𝐹 2 , . 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐹.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 1 :
Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel est un
espace vectoriel.

Théorème 2 :
Si 𝐹 et 𝐺 sont deux sous-espaces vectoriels de 𝐸, alors
𝐹 𝐺 est un sous-espace vectoriel de 𝐸.

Définition :
Si 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 sont des vecteurs de 𝐸 et 1 , ⋯ , 𝑛 des
scalaires, le vecteur
1 𝑥1 + ⋯ + 𝑛 𝑥𝑛
de 𝐸 s’appelle une combinaison linéaire des vecteurs
𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 .

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 3 :
i. Soient 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 ∈ 𝐸 . L’ensemble Vect 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 =
1 𝑥1 + ⋯ + 𝑛 𝑥𝑛 , 1 , ⋯ , 𝑛 ∈ 𝕂𝑛 formé par toutes les
combinaisons linéaires des vecteurs 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 est un
sous-espace vectoriel de 𝐸.
C’est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-espace
vectoriel de 𝐸 possédant chaque 𝑥𝑖 . C’est aussi
l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de 𝐸
possédant chaque 𝑥𝑖 . On l’appelle sous-espace vectoriel
engendré par 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 .
ii. De même si 𝐴 est une partie non vide de 𝐸 ,
l’ensemble Vect(𝐴) formé par toutes les combinaisons
linéaires d’un nombre arbitraire (fini) d’éléments de 𝐴
est un sous-ev de 𝐸, appelé sous-ev engendré par 𝐴.
C’est le plus petit sous-ev de 𝐸 contenant 𝐴 , et
l’intersection des sous-ev de 𝐸 contenant 𝐴.

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Bases :
Soit E un 𝕂-ev et 𝓕= 𝑥𝑖 𝑖∈𝐼 une famille d’éléments de 𝐸, indexée
par un ensemble non vide d’indices 𝐼, fini ou infini. Soit 𝑛 un
entier naturel non nul.

Définition :
∗ On appelle relation de dépendance linéaire de la famille 𝓕
une égalité de la forme
1 𝑥𝑖1 + ⋯ + 𝑛 𝑥𝑖𝑛 = 0𝐸 ,
où 1 , ⋯ , 𝑛 sont des scalaires non tous nuls et où 𝑖1 , ⋯ , 𝑖𝑛 sont
des indices distincts de 𝐼.
∗ Si une telle relation de dépendance linéaire de la famille 𝓕
existe, on dit que 𝓕 est une famille liée. Dans le cas contraire,
on dit que est une famille libre.
∗ En particulier, dans le cas d’une famille finie 𝓕= 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛
d’éléments de 𝐸, on a :

𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 est libre
∀ 1 , ⋯ , 𝑛 ∈ 𝕂𝑛 , 1 𝑥1 + ⋯ + 𝑛 𝑥𝑛 =
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Remarque :
Dans la pratique, pour montrer que la famille
𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 d’éléments de 𝐸 est libre, on écrira :
« Soit 1 , ⋯ , 𝑛 ∈ 𝕂𝑛 tel que 1 𝑥1 + ⋯ + 𝑛 𝑥𝑛 = 0𝐸 ;
montrons que 1 = ⋯ = 𝑛 = 0𝕂 ».
Exemple :
Dans 𝕂[X], montrer que toute famille constituée de
polynômes non nuls de degrés distincts est libre.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Définition :
La famille 𝓕= 𝑥𝑖 𝑖∈𝐼 est dite famille génératrice
de 𝐸 si tout vecteur de 𝐸 est combinaison linéaire
des éléments de 𝓕. Autrement dit, 𝓕 est génératrice
lorsque 𝐸 = Vect(𝓕) ou encore lorsque
∀ 𝑥 ∈ 𝐸, ∃ 𝑛 ∈ ℕ∗ , ∃ (𝑖1 , ⋯ , 𝑖𝑛 ) ∈ 𝐼 𝑛 , ∃ 1 , ⋯ , 𝑛 ∈ 𝕂𝑛 ,
𝑥 = 1 𝑥𝑖1 + ⋯ + 𝑛 𝑥𝑖𝑛 .
En particulier, dans le cas d’une famille finie 𝓕
=(𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) d’éléments de 𝐸, on a :
𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 est génératrice de
𝐸 = Vect(𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 )
∀ 𝑥 ∈ 𝐸, ∃ 1 , ⋯ , 𝑛 ∈ 𝕂𝑛 , 𝑥 = 1 𝑥1 + ⋯ + 𝑛 𝑥𝑛 .

Remarquons que par définition, la famille
𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 est génératrice de Vect(𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 ).
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Définition :
Soit 𝓕 = (𝑥𝑖 )𝑖∈𝐼 une famille indexée par un
ensemble totalement ordonné 𝐼.
∗ On dit que 𝓕 est une base de 𝐸, lorsque 𝓕 est à
la fois une famille libre et génératrice de 𝐸.
∗ Dans le cas d’une famille finie 𝓕 =( 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 )
d’éléments de 𝐸, on a :
( 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) est une base de E
∀ 𝑥 ∈ 𝐸, ∃!

1 , ⋯ , 𝑛 ∈ 𝕂𝑛 , 𝑥 = 1 𝑥1 + ⋯ + 𝑛 𝑥𝑛 .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Exemples :
∗ La famille
𝑒1 , 𝑒2 , ⋯ , 𝑒𝑛 =
1,0, ⋯ , 0 , 0, 1, 0, ⋯ , 0 , ⋯ , 0, 0, ⋯ , 1
s’appelle base
canonique de 𝕂𝑛 .
∗ La famille 𝓕 = 𝑋 𝑘 𝑘∈ℕ est une base de 𝕂 𝑋 . En effet,
tout polynôme à coefficients dans 𝕂 s’écrit de manière
unique comme combinaison linéaire d’un nombre fini
d’éléments de cette famille.
Théorème 4 (théorème de la base incomplète) :
Soit 𝓛 une famille libre de 𝐸 et 𝓖 une famille génératrice
de 𝐸, telles que 𝓛 ⊂ 𝓖.
Il existe une base 𝓑 de 𝐸 telle que 𝓛 ⊂ 𝓑 ⊂ 𝓖.

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Corollaire :
i. Toute famille libre de 𝐸 peut être complétée en
une base de 𝐸.
ii. De toute famille génératrice de 𝐸 , on peut
extraire une base de 𝐸.

Une conséquence évidente est que tout espace
vectoriel possède au moins une base.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Dimension :
Soit 𝐸 un 𝕂-ev. On dit que 𝐸 est de dimension finie
lorsque 𝐸 possède une base finie. Dans le cas contraire,
on dit que 𝐸 est de dimension infinie.

Théorème 5 :
Si 𝐸 est de dimension finie, alors toutes les bases
de 𝐸 sont des familles finies, et elles ont toutes un
même cardinal. Ce cardinal commun est appelé
dimension de 𝐸 et est noté dim(𝐸).

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Remarques :
∗ On en déduit que si 𝐸 possède une base infinie,
alors toutes les bases de 𝐸 sont infinies donc 𝐸 est
de dimension infinie. Par exemple, 𝕂[X] est de
dimension infinie car 𝓕= 𝑋 𝑘 𝑘∈ℕ en est une base
infinie.
∗ On a dim 𝐸 = 0
𝐸 = 0𝐸 .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 6 :
Soit un 𝕂-ev de dimension finie 𝑛.
i. 𝑛 est le cardinal maximal des familles libres
d’éléments de 𝐸 . De plus, toute famille libre
constituée d’exactement 𝑛 vecteurs de 𝐸 est une
base de 𝐸.
ii. 𝑛
est le cardinal minimal des familles
génératrices de 𝐸 . De plus, toute famille
génératrice constituée d’exactement 𝑛 vecteurs de
𝐸 est une base de 𝐸.
Ainsi, pour une famille 𝓕 de cardinal 𝑛 d’éléments
de 𝐸, on a :
𝓕 est libre
𝓕 est génératrice
𝓕 est une base.

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Exemple :
Soit 𝑃0 , ⋯ , 𝑃𝑛 une famille d’éléments de 𝕂[X] telle
que ∀ 𝑖 ∈ 0, ⋯ , 𝑛 , deg(𝑃𝑖 ) = 𝑖 . Montrer que cette
famille est une base de 𝕂𝑛 [𝑋].
𝐸 = 𝕂𝑛 [𝑋] est de dimension 𝑛 + 1 car il possède
comme base 1, 𝑋, ⋯ , 𝑋 𝑛 qui est de cardinal 𝑛 + 1.
La famille 𝑃0 , ⋯ , 𝑃𝑛 est une famille libre (car
constituée de polynômes non nuls de degrés
distincts) de cardinal 𝑛 + 1, c’est donc une base de
𝐸.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 7 :
Soit 𝐸 un 𝕂-ev de dimension finie 𝑛.
Si 𝐹 est un sous-espace vectoriel de 𝐸 alors 𝐹 est de
dimension finie et on a 0 ≤ dim 𝐹 ≤ 𝑛.
De plus, on a dim 𝐹 = 𝑛
𝐹 = 𝐸.

Théorème 8 :
Soient 𝐸 et 𝐹 deux 𝕂-ev de dimensions finies.
L’espace produit 𝐸 × 𝐹 = 𝑥, 𝑦 , 𝑥 ∈ 𝐸 et 𝑦 ∈ 𝐹 est un 𝕂ev de dimension finie et on a dim 𝐸 × 𝐹 = dim 𝐸 +
dim(𝐹).
Si 𝑒1 , ⋯ , 𝑒𝑛 et 𝑓1 , ⋯ , 𝑓𝑝 sont des bases de 𝐸 et 𝐹, une
base de 𝐸 × 𝐹 est 𝑒1 , 0𝐹 , ⋯ , 𝑒𝑛 , 0𝐹 , 0𝐸 , 𝑓1 , ⋯ , 0𝐸 , 𝑓𝑝 .

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Espaces supplémentaires :
Soit 𝐸 un 𝕂-ev et soient 𝐹 et 𝐺 deux sous-espaces
vectoriels de 𝐸.

Définition :
On appelle somme de 𝐹 et 𝐺 et on note l’ensemble
𝐹 + 𝐺 des sommes d’un élément de 𝐹 et d’un
élément de 𝐺, soit :
𝐹 + 𝐺 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 ∈ 𝐹, 𝑦 ∈ 𝐺 .

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 9 :
i. 𝐹 + 𝐺 est le sous-espace vectoriel de 𝐸 engendré par 𝐹
et 𝐺, c’est-à-dire 𝐹 + 𝐺 = Vect(𝐹⋃𝐺).
ii. Si 𝐹 et 𝐺 sont de dimension finie, alors 𝐹 + 𝐺 aussi et
on a la formule de Grassmann :
dim 𝐹 + 𝐺 = dim 𝐹 + dim 𝐺 − dim 𝐹 𝐺 .

Définition :
On dit que la somme de 𝐹 et 𝐺 est directe lorsque
𝐹 𝐺 = 0𝐸 . On la note alors 𝐹 ⊕ 𝐺.
On dit que 𝐹 et 𝐺 sont supplémentaires dans 𝐸, si 𝐸
est la somme directe de 𝐹 et 𝐺, c’est-à-dire 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺.
𝐸 =𝐹+𝐺
Ainsi, 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺
tout vecteur de 𝐸
𝐹 𝐺 = 0𝐸
s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de
𝐹 et d’un vecteur de 𝐺.

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 10 :
Tout sous-espace
supplémentaire.

vectoriel
de
𝐸
possède
un
Théorème 11 :
On suppose que 𝐸 est de dimension finie. Alors :
𝐸 =𝐹+𝐺
𝐸 =𝐹⊕𝐺
dim 𝐸 = dim 𝐹 + dim(𝐺)

𝐹 𝐺 = 0𝐸
dim 𝐸 = dim 𝐹 + dim(𝐺)
Autrement dit, deux des trois conditions 𝐸 = 𝐹 + 𝐺 ;
𝐹 𝐺 = 0𝐸 ; dim 𝐸 = dim 𝐹 + dim(𝐺) entraînent la
troisième. Si c’est le cas, on obtient une base de 𝐸 par
concaténation d’une base de 𝐹 et d’une base de 𝐺.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Applications linéaires :
Soient 𝐸 et 𝐹 deux 𝕂-ev.
 Définition :
∗ On dit que 𝑓 est une application linéaire (ou un
morphisme d’espace vectoriel), et on note 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹)
lorsque :
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 2 , 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑦)
et
∀ 𝑥 ∈ 𝐸, ∀ ∈ 𝕂, 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 .
∗ On dit que 𝑓 est un isomorphisme de 𝐸 sur 𝐹 si 𝑓 est
linéaire et bijective de 𝐸 dans 𝐹.
∗ On dit que 𝑓 est un endomorphisme de 𝐸, et on note 𝑓 ∈
𝓛(𝐸) si 𝑓 est linéaire de 𝐸 dans 𝐸.
∗ On dit que 𝑓 est un automorphisme de 𝐸, et on note 𝑓 ∈
𝓖𝓛(𝐸) si 𝑓 est linéaire et bijective de 𝐸 dans 𝐸.
∗ On dit que 𝑓 est une forme linéaire sur 𝐸 si 𝑓 est linéaire de
𝐸 dans 𝕂.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Remarques :
∗ Pour établir la linéarité d’une application 𝑓, on
vérifie d’abord que ∀ 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑓(𝑥) ∈ 𝐹.
∗ On peut se contenter de vérifier l’unique relation
suivante :
∀ (𝑥, 𝑦, ) ∈ 𝐸 2 × 𝕂, 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑦).
∗ Si 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹), on a toujours 𝑓 0𝐸 = 0𝐹 .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 12 :
i.
𝓛 𝐸, 𝐹 , + , . est un 𝕂-ev.
ii.
Si 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹) et 𝑔 ∈ 𝓛(𝐹, 𝐺) alors 𝑔 ○ 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐺)
(où E, F, G sont trois 𝕂-ev).
iii.
𝓛 𝐸 , +, . ,○ est une 𝕂-algèbre.
iv. Si 𝑓 est un isomorphisme de 𝐸 sur 𝐹 alors sa
bijection réciproque 𝑓 −1 est linéaire, donc un
isomorphisme de 𝐹 sur 𝐸.
v.
𝓖𝓛 𝐸 ,○ est un groupe (non commutatif) de
neutre 𝑖𝑑𝐸 , appelé groupe linéaire de 𝐸.

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 13 :
Soit 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹).
i. Si 𝐺 est un sous-ev de 𝐸, alors l’image de 𝐺 par 𝑓,
c’est-à-dire 𝑓 𝐺 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐺 est un sous-ev de 𝐹.
En particulier l’image de 𝒇, qui est 𝐼𝑚 𝑓 = 𝑓 𝐸 =
𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐸 , est un sous-ev de 𝐹.
ii. Si 𝐻 est un sous-ev de 𝐹, alors l’image réciproque
𝑓 −1 𝐻 = 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑓 𝑥 ∈ 𝐻 de 𝐻 par 𝑓 est un sous-ev
de 𝐸. En particulier, le noyau de 𝑓, qui est 𝐾𝑒𝑟 𝑓 =
𝑓 −1 0𝐹 = 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑓 𝑥 = 0𝐹 est un sous-ev de 𝐸.
iii. 𝑓 est injective
𝐾𝑒𝑟 𝑓 = 0𝐸 .

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Remarques :
∗ Par définition, 𝑓 est surjective
𝐼𝑚 𝑓 = 𝐹.
Notons que 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹) est toujours « surjective sur
son image ».
∗ Pour montrer que est injective, on pourra écrire :
« Soit 𝑥 ∈ 𝐸 tel que 𝑓 𝑥 = 0𝐹 ; montrons que 𝑥 =
0𝐸 ».
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 14 :
Soit 𝑓 ∈ 𝓛 𝐸, 𝐹 . L’image par 𝑓 de la famille de 𝐸 est
la famille 𝑥𝑖 𝑖∈𝐼 de 𝐸 est la famille 𝑓( 𝑥𝑖 )𝑖∈𝐼 .
i. Si 𝑓 est injective alors l’image par 𝑓 de toute
famille libre de 𝐸 est une famille libre de 𝐹.
ii. Si 𝑓 est surjective alors l’image par 𝑓 de toute
famille génératrice de 𝐸 est une famille génératrice
de 𝐹 alors 𝑓 est surjective.
iii. 𝐹 est un isomorphisme
l’image par 𝑓 de toute

base de 𝐸 est une base de 𝐹
il existe une base de
𝐸 dont l’image par 𝑓 est une base de 𝐹.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 15 (détermination d’une application
linéaire) :
Soient 𝐸 et 𝐹 deux 𝕂-ev, 𝑥𝑖 𝑖∈𝐼 une base de 𝐸 et
𝑦𝑖 𝑖∈𝐼 une famille quelconque de 𝐹.
Il existe une unique application 𝑓 ∈ 𝓛 𝐸, 𝐹 telle
que ∀ 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 .

Remarque : On en déduit que :
 Pour définir 𝑓 ∈ 𝓛 𝐸, 𝐹 , il suffit de se donner
l’image par 𝑓 des vecteurs d’une base de 𝐸.
 Deux applications linéaires de 𝐸 dans 𝐹 qui
coïncident sur une base de 𝐸 sont égales.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Soient 𝐸 et 𝐹 deux 𝕂-ev.
 Théorème 16 :
Soit 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹) . Si 𝐺 est un sous-ev de 𝐸 de
dimension finie, alors 𝑓(𝐺) est de dimension finie et
dim(𝑓 𝐺 ) ≤ dim(𝐺). Si de plus 𝑓 est injective, on a
dim 𝑓 𝐺 = dim(𝐺) .
Théorème 17 (Théorème du rang) :
Soit 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹). Si E est de dimension finie alors
Ker(f) et Im(f) également et on a :
dim 𝐸 = dim Ker 𝑓 + dim(Im 𝑓 ) .

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Corollaire :
Soient 𝐸 et 𝐹 deux 𝕂-ev de dimensions finies.
i. 𝐸 et 𝐹 sont isomorphes
dim 𝐸 = dim(𝐹).
ii. Soit 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹). On suppose que dim 𝐸 = dim(𝐹) .
Alors
𝑓 injective
𝑓 surjective
𝑓 bijective.

Remarques :
∗ Tout 𝕂-ev 𝐸 de dimension 𝑛 est isomorphe à 𝕂𝑛 . En
effet, un isomorphisme est l’application qui, à tout
vecteur de 𝐸 associe le 𝑛-uplet de ses coordonnées dans
une base fixée.
L’équivalence 𝑓 injective
𝑓 surjective n’est plus
valable entre ev de dimensions infinies, comme le
montre l’exemple suivant.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Exercice :
Soit 𝐸 = ℝ[𝑋] . Etudier l’endomorphisme 𝜑 de 𝐸 défini par ∀ 𝑃 ∈ 𝐸 ,
𝜑 𝑃 = 𝑃 𝑋 + 1 − 𝑃(𝑋).
∗ Il est clair que l’application 𝜑 est bien définie de 𝐸 dans 𝐸 et qu’elle est
linéaire.
∗ 𝜑 n’est pas injective car 1𝐸 ∈ Ker(𝜑). Plus précisément, si 𝑃 ∈ Ker(𝜑)
on a 𝑃 𝑋 + 1 = 𝑃(𝑋) donc ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑃 𝑛 = 𝑃(0) donc le polynôme 𝑃 𝑋 −
𝑃(0) possède une infinité de racines, il est donc nul et donc 𝑃 est
constant. On en déduit que Ker 𝜑 = ℝ0 𝑋 = Vect 1𝐸 .
∗ Montrons que 𝜑 est surjective. Pour cela, montrons d’abord que pour
tout 𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝜑 ℝ𝑛 𝑋 = ℝ𝑛−1 𝑋 .
D’une part, 𝜑(ℝ𝑛 𝑋 ) est engendré par la famille 𝜑 𝑋 𝑘
𝜑 1𝐸 = 0𝐸 et pour 𝑘 ∈ 1, ⋯ , 𝑛 , 𝜑 𝑋 𝑘 = 𝑋 + 1 𝑘 − 𝑋 𝑘 =
ℝ𝑛−1 𝑋 . On en déduit 𝜑(ℝ𝑛 𝑋 ) ⊂ ℝ𝑛−1 [𝑋].
D’autre part, le théorème du rang appliqué à 𝜑𝑛 =
, mais
𝑋𝑖 ∈
0≤𝑘≤𝑛 𝑘
𝑘−1
𝑖=0 𝑖
ℝ𝑛 [𝑋] ℝ𝑛−1 [𝑋]
𝑃 𝜑(𝑃)
donne :
𝑛 + 1 = dim(Ker 𝜑𝑛 ) + dim(Im(𝜑𝑛 )) = 1 + dim(𝜑 ℝ𝑛 [𝑋] ) , donc 𝜑(ℝ𝑛 𝑋 )
est un sous-ev de ℝ𝑛−1 [𝑋] de dimension 𝑛, donc ils sont égaux.
On conclut que est surjective, car ℝ[X]=⋃𝑛∈ℕ ℝ𝑛 [𝑋] = ⋃𝑛∈ℕ 𝜑(ℝ𝑛+1 𝑋 ) ⊂
Im(𝜑), d’où l’égalité Im 𝜑 = ℝ 𝑋 .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 18 :
Soient 𝐸 et 𝐹 deux 𝕂-ev de dimension finie. Alors
𝓛
(𝐸, 𝐹)
de
dimension
finie
et
dim 𝓛 𝐸, 𝐹 = dim(𝐸) × dim(𝐹).

En
particulier,
dim 𝓛 𝐸
dim( 𝓛 𝐸, 𝕂 )= dim(𝐸) .
= (dim(𝐸))2
et
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Exemples d’endomorphisme :
Soit 𝐸 un 𝕂-ev. L’endomorphisme  𝑖𝑑𝐸 de 𝐸 s’appelle
homothétie de rapport  de 𝐸.
Soient 𝐹, 𝐺 deux sous-ev de 𝐸 supplémentaires. On a 𝐸 = 𝐹 ⊕
𝐺 ; tout vecteur 𝑥 de 𝐸 se décompose de manière unique
suivant cette somme directe : 𝑥 = 𝑓 + 𝑔 avec 𝑓 ∈ 𝐹 et 𝑔 ∈ 𝐺.

Définition :
∗ Le projecteur (ou la projection) sur 𝐹 parallèlement à 𝐺
est l’endomorphisme :
𝐸
𝐸
𝑝𝐹,𝐺 =
.
𝑥 =𝑓+𝑔
𝑓
∗ La symétrie par rapport à 𝐹 parallèlement à 𝐺 est
𝐸 𝐸
l’endomorphisme 𝑠𝐹,𝐺 = 𝑥=𝑓+𝑔
.
𝑓−𝑔
∗ L’affinité de base 𝐹, de direction 𝐺 et de rapport  est
𝐸 𝐸
l’endomorphisme 𝑥=𝑓+𝑔
.
𝑓+𝑔

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE

Théorème 19 :
𝑝𝐹,𝐺
i.
𝑠𝐹,𝐺
2
2
= 𝑝𝐹,𝐺 ; 𝑝𝐺,𝐹 = 𝑖𝑑𝐸 − 𝑝𝐹,𝐺 (co-projecteur) ;
= 𝑖𝑑𝐸 ; 𝑠𝐹,𝐺
−1
= 𝑠𝐹,𝐺 ; 𝑠𝐹,𝐺 = 2 𝑝𝐹,𝐺 − 𝑖𝑑𝐸 .
Soit 𝑝 ∈ 𝓛(𝐸) tel que 𝑝2 = 𝑝 . Alors 𝑝 est le
projecteur
sur
𝐹 = Im 𝑝 = Ker(𝑝 − 𝑖𝑑𝐸 )
parallèlement à 𝐺 = Ker(𝑝).
2
iii. Soit 𝑠 ∈ 𝓛(𝐸) tel que 𝑠 = 𝑖𝑑𝐸 . Alors 𝑠 est la
symétrie par rapport à 𝐹 = Ker( 𝑠 − 𝑖𝑑𝐸 )
parallèlement à 𝐺 =Ker(𝑠 + 𝑖𝑑𝐸 ).
ii.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Remarques :
∗ On voit que les relations 𝑝2 = 𝑝 et 𝑠 2 = 𝑖𝑑𝐸 (le
carré est pris au sens de la composition)
caractérisent
les
projecteurs
et
symétries
respectivement.
∗ Dans les deux cas, 𝐹 est l’ensemble des points
fixes de 𝑝 ou 𝑠.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Matrices :
Les indices des lignes et colonnes sont des entiers naturels
non nuls.

Espaces de matrices :

Définition :
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑝
⋮
⋱
⋮
∗ L’ensemble des matrices 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 1≤𝑖≤𝑛 =
à
1≤𝑗≤𝑝
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑝
𝑛 lignes et 𝑝 colonnes d’éléments de 𝕂 se note 𝓜𝑛𝑝 (𝕂).
L’ensemble 𝓜𝑛𝑛 (𝕂) des matrices carrées de taille 𝑛 à
coefficients dans 𝕂 se note simplement 𝓜𝑛 (𝕂).
∗ Si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) et 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 sont dans 𝓜𝑛𝑝 (𝕂) et  ∈ 𝕂 on note
respectivement 𝐴 et 𝐴 + 𝐵 les éléments de 𝓜𝑛𝑝 (𝕂) de
coefficients de place (𝑖, 𝑗) valant 𝑎𝑖𝑗 et 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 .
∗ On appelle matrice élémentaire et on note 𝐸𝑖𝑗 la matrice
dont tous les coefficients sont nuls, à l’exception de celui de
place (𝑖, 𝑗) qui vaut 1.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 20 :
i. Muni des lois + et . ainsi définies, 𝓜𝑛𝑝 (𝕂) est un 𝕂ev.
ii. Soit 𝐼 = 1, ⋯ , 𝑛 × 1, ⋯ , 𝑝
ordonné par l’ordre
lexicographique. La famille 𝐸𝑖𝑗
est une base de

𝑖,𝑗 ∈𝐼
𝓜𝑛𝑝 𝕂 et dim(𝓜𝑛𝑝 𝕂 ) = 𝑛𝑝 ; dim 𝓜𝑛 𝕂
= 𝑛2 .
Exemple :
L’espace 𝓜2 (ℝ) est de dimension 4 et admet pour base
1 0
0 1
0 0
0 0
(𝐸11 , 𝐸12 , 𝐸21 , 𝐸22 ) =
,
,
,
. On
0 0
0 0
1 0
0 1
notera la différence entre cette base et (𝐸11 , 𝐸12 , 𝐸21 , 𝐸22 ).
On veillera donc à ne pas employer la notation fautive
𝐸𝑖𝑗 1≤𝑖≤𝑛 .
1≤𝑗≤𝑝
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Définition :
Soient 𝑛, 𝑝 𝑒𝑡 𝑞 trois entiers naturels non nuls.
Pour 𝐴 ∈ 𝓜𝑛𝑝 (𝕂) et 𝐵 ∈ 𝓜𝑝𝑞 (𝕂) on définit le
produit 𝐴 × 𝐵 de 𝐴 par 𝐵 comme l’élément de
𝓜𝑛𝑞 (𝕂) de coefficients :

𝑝
∀ 𝑖 ∈ 1, ⋯ , 𝑛 , ∀ 𝑗 ∈ 1, ⋯ , 𝑞 , 𝑐𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 .
𝑘=1
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Remarques :
∗ Le produit de deux matrices n’a de sens que si le
nombre de colonnes de la première est égal au nombre
de lignes de la seconde. Mnémotechniquement,
𝓜𝑛𝑝 𝕂 × 𝓜𝑝𝑞 𝕂 = 𝓜𝑛𝑞 𝕂 .
∗ En particulier, le produit de deux éléments de 𝓜𝑛 𝕂
a un sens et le résultat est un élément de 𝓜𝑛 𝕂 .
∗Le produit matriciel n’est pas commutatif. On a 𝐴𝐵 ≠
𝐵𝐴 en général, même lorsque les produits existent tous
les deux et sont des matrices de même taille. Si 𝐴, 𝐵 ∈
𝓜𝑛 𝕂
vérifient 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 on dit que 𝐴 et 𝐵
commutent.
∗ Par contre, le produit matriciel est associatif, 𝐴(𝐵𝐶) =
(𝐴𝐵)𝐶 pourvu que ceci ait un sens.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 21 :
i. Soit et deux matrices élémentaires de tailles
respectives (𝑛, 𝑝) et (𝑝, 𝑞). On a 𝐸𝑖𝑗 × 𝐸𝑘𝑙 = 𝛿𝑗𝑘 𝐸𝑖𝑙 .
ii.
𝓜𝑛 𝕂 , +, . ,× est une algèbre. L’élément neutre
pour le produit matriciel est la matrice 𝐼𝑛 =
1 ⋯ (0)
⋮
⋱
⋮
appelée
𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞 𝐢𝐝𝐞𝐧𝐭𝐢𝐭é
ou
(0) ⋯ 1
𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞 𝐮𝐧𝐢𝐭é d’ordre 𝑛.

Remarques :
∗ 𝛿𝑖𝑗 est le symbole de Kronecker, valant 1 si 𝑖 = 𝑗 et
0 si 𝑖 ≠ 𝑗. Avec cette notation, 𝐼𝑛 = 𝛿𝑖𝑗 1≤𝑖≤𝑛 .
1≤𝑗≤𝑛
∗ ∀ 𝐴 ∈ 𝓜𝑛 𝕂 , 𝐴 × 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛 × 𝐴 = 𝐴.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 22 :
′
i. Soient 𝐴, 𝐴 ∈ 𝓜𝑝 (𝕂) ; 𝐷, 𝐷’ ∈ 𝓜𝑟 (𝕂) ; 𝐵, 𝐵’ ∈ 𝓜𝑝𝑟 (𝕂)
; 𝐶, 𝐶’ ∈ 𝓜𝑟𝑝 (𝕂). On forme les matrices par blocs 𝑀 =
𝐴 𝐵
et 𝑀 = 𝐴′ 𝐵′ éléments de 𝓜𝑝+𝑟 (𝕂) . Alors,
𝐶 𝐷
𝐶′ 𝐷′
𝐴 + 𝐴′ 𝐵 + 𝐵′
𝑀 + 𝑀′ =
𝐶 + 𝐶′ 𝐷 + 𝐷′
et
𝐴𝐴′ + 𝐵𝐶′ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐷′
𝑀𝑀′ =
.
𝐶𝐴 + 𝐷𝐶′ 𝐶𝐵′ + 𝐷𝐷′
ii. Soient 𝐴 ∈ 𝓜𝑛𝑝 𝕂 ; 𝐶1 , ⋯ , 𝐶𝑝 ses colonnes, éléments
𝑥1
de 𝓜𝑛1 𝕂 et 𝑋 = … ∈ 𝓜𝑝1 (𝕂). On a :
𝑥𝑝
𝐴𝑋 = 𝑥1 𝐶1 + ⋯ + 𝑥𝑝 𝐶𝑝 .

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Soient 𝐴 ∈ 𝓜𝑛𝑝 (𝕂)
; 𝐵 = (𝑋1 … 𝑋𝑞 ) ∈
𝓜𝑝𝑞 𝕂 de colonnes 𝑋1 , ⋯ , 𝑋𝑞 , éléments de 𝓜𝑝1 (𝕂).
On a :
𝐴𝐵 = 𝐴𝑋1 … 𝐴𝑋𝑞 .
iii.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Caractéristiques des matrices :
a)
Matrices inversibles :


Définition :
Soit 𝐴 ∈ 𝓜𝑛 (𝕂).
On dit que A est inversible, et on note 𝐴 ∈ 𝐺𝐿𝑛 (𝕂),
si il existe une matrice 𝐵 ∈ 𝓜𝑛 𝕂 telle que 𝐴𝐵 =
𝐵𝐴 = 𝐼𝑛 . Si c’est le cas, 𝐵 est unique ; on l’appelle
inverse de A et on la note 𝐵 = 𝐴−1 .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 23 :
Soient 𝐴 et 𝐵 deux éléments de 𝓜𝑛 𝕂 .
i. Si 𝐴 est inversible, d’inverse 𝐵 alors 𝐵 est
inversible, d’inverse 𝐴. Autrement dit :
𝐴 ∈ 𝐺𝐿𝑛 𝕂
𝐴−1 ∈ 𝐺𝐿𝑛 𝕂 et (𝐴−1 )−1 = 𝐴 .

ii.
𝐴𝐵 = 𝐼𝑛
𝐵𝐴 = 𝐼𝑛
𝐴 et 𝐵 sont inversibles et
inverses l’une de l’autre.
iii. Si 𝐴 et 𝐵 sont inversibles, alors 𝐴𝐵 aussi et on a
(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 .
iv. 𝐺𝐿𝑛 𝕂 , × est un groupe (non commutatif) de
neutre 𝐼𝑛 , appelé groupe linéaire d’ordre 𝑛.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Définition :
Soit 𝐴 ∈ 𝓜𝑛𝑝 (𝕂).

∗ On appelle noyau de A, et on note Ker(𝐴), l’ensemble
Ker 𝐴 = 𝑋 ∈ 𝓜𝑝1 (𝕂), 𝐴𝑋 =
𝓜𝑝1 (𝕂).
0
⋮
0
𝑛
.
C’est un sev de
∗ On appelle image de 𝐴, et on note Im(𝐴), l’ensemble
Im 𝐴 = 𝐴𝑋, 𝑋 ∈ 𝓜𝑝1 (𝕂) . C’est un sev de 𝓜𝑛1 (𝕂).
Remarque :
Si 𝐶1 , ⋯ , 𝐶𝑝 désignent les colonnes de A, alors Im(𝐴) =
Vect(𝐶1 , ⋯ , 𝐶𝑝 ).
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 24 :
Soit 𝐴 ∈ 𝓜𝑛 (𝕂) . 𝐴 est inversible
Ker( 𝐴 ) =
0
Im 𝐴 = 𝓜𝑛1 𝕂
les colonnes de 𝐴
⋮
0 𝑛
forment une base de 𝓜𝑛1 𝕂 .

Remarque :
Pour montrer qu’une matrice 𝐴 ∈ 𝓜𝑛 (𝕂) est
inversible, on pourra écrire :
𝑥1
0
« Soit 𝑋 = … ∈ 𝓜𝑛1 𝕂 tel que 𝐴𝑋 = … ;
𝑥𝑛
0 𝑛
montrons que : 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0 ».
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Transposition :
b)

Définition :
Soit 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗
1≤𝑖≤𝑛
1≤𝑗≤𝑛
𝑡
∈ 𝓜𝑛𝑝 𝕂 . On appelle transposée
de 𝐴, et on note 𝐴, l’élément de 𝓜𝑝𝑛 (𝕂) défini par :
𝑡
𝐴 = 𝑏𝑖𝑗 1≤𝑖≤𝑝
1≤𝑗≤𝑛
où
∀ 𝑖 ∈ 1, ⋯ , 𝑝 , ∀ 𝑗 ∈ 1, ⋯ , 𝑛 , 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 .
Exemple :
𝑡
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 =
𝑒 𝑓
𝑡
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓 .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE

i.
Théorème 25 :
L’application
𝓜𝑛𝑝 (𝕂)
𝓜𝑝𝑛 (𝕂)
𝑡
est linéaire. En
𝐴
𝐴
particulier, si 𝑛 = 𝑝 c’est un endomorphisme de 𝓜𝑛 (𝕂).
ii.
iii.
iv.
𝑡
𝑡
𝐴 = 𝐴.
𝑡
𝐴𝐵 = 𝑡𝐵 𝑡𝐴, pourvu que le produit 𝐴𝐵 ait un sens.
𝑡
Pour , on a 𝐴 est inversible
𝐴 est inversible. Si
c’est le cas,
𝑡
𝐴
−1
=
𝑡
𝐴−1 .
Remarque :
Les colonnes de 𝑡𝐴 étant les lignes de 𝐴, la propriété
(𝑖𝑣) et le théorème 24 permettent d’affirmer que :
𝐴 ∈ 𝓜𝑛 (𝕂) est inversible
les lignes de A
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Définition :
Soit A ∈ 𝓜𝑛 (𝕂).
On dit que 𝐴 est symétrique , et on note 𝐴 ∈ 𝓢𝑛 (𝕂),
𝑡
𝐴 = 𝐴, c’est-à-dire si ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 1, ⋯ , 𝑛 2 , 𝑎𝑗𝑖 = 𝑎𝑖𝑗 .
On dit que 𝐴 est antisymétrique , et on note 𝐴 ∈
𝓐𝑛 (𝕂), 𝑡𝐴 = −𝐴, c’est-à-dire si ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 1, ⋯ , 𝑛 2 , 𝑎𝑗𝑖 =
−𝑎𝑖𝑗 .

Théorème 26 :
i. 𝓢𝑛 (𝕂) est un sous-ev de 𝓜𝑛 (𝕂) de dimension
de base 𝐸11 , ⋯ , 𝐸𝑛𝑛 , 𝐸𝑖𝑗 + 𝐸𝑗𝑖 1≤𝑖≤𝑗≤𝑛
.

𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑥𝑖𝑐𝑜.
𝓐𝑛 (𝕂) est un sous-ev de 𝓜𝑛 (𝕂) de dimension
de base 𝐸𝑖𝑗 − 𝐸𝑗𝑖 1≤𝑖≤𝑗≤𝑛
ii.
𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑥𝑖𝑐𝑜.
𝑛(𝑛+1)
,
2
𝑛(𝑛−1)
,
2
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Exemple :
𝑎 𝑑 𝑒
L’élément générique de 𝓢3 (ℝ) est 𝐴 = 𝑑 𝑏 𝑓 donc 𝓢3 (ℝ) a pour base
𝑒 𝑓 𝑐
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0 , 0 1 0 , 0 0 0 , 1 0 0 , 0 0 0 , 0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
et pour dimension 6. De même l’élément générique de 𝓐3 (ℝ) est
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0
𝑎 𝑏
𝐴 = −𝑎 0 𝑐 d’où la base
−1 0 0 , 0 0 0 , 0 0 1
0 0 0
−1 0 0
0 −1 0
−𝑏 −𝑐 0
et la dimension, 3.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
c)
Trace :

Définition :
Soit 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝓜𝑛 (𝕂) . On appelle trace de la
matrice 𝐴, et on note tr(𝐴) le scalaire tr 𝐴 = 𝑎11 +
⋯ + 𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑖 .

Théorème 27 :
𝓜𝑛 (𝕂) 𝕂
i. L’application 𝑡𝑟 =
est linéaire,
𝐴 tr(𝐴)
c’est donc une forme linéaire sur 𝓜𝑛 (𝕂).
ii. ∀ (𝐴, 𝐵) ∈ 𝓜𝑛 (𝕂) 2 , tr 𝐴𝐵 = tr 𝐵𝐴 .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Exercice :
On note 𝐸 = 𝓜𝑛 (𝕂).
a) Soit ɸ une forme linéaire sur 𝐸. Montrer qu’il existe une
unique matrice 𝑀 ∈ 𝐸 telle que ∀ 𝐴 ∈ 𝐸, ɸ 𝐴 = tr(𝐴𝑀).
b) On note 𝑀ɸ
cette matrice. Montrer que l’application
𝓛(𝐸, ) 𝐸
est un isomorphisme.
ɸ 𝑀ɸ
Existence : on décompose 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐸 en 𝐴 = 𝑛𝑖=1 𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝐸𝑖𝑗 .
On a alors par linéarité ɸ 𝐴 = 𝑛𝑖=1 𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 ɸ(𝐸𝑖𝑗 ) . Or pour 𝑀 =
𝑚𝑖𝑗 ∈ 𝐸 on a tr 𝐴𝑀 = 𝑛𝑖=1 𝐴𝑀 𝑖𝑖 = 𝑛𝑖=1 𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑗𝑖 donc on
aura tr 𝐴𝑀 = ɸ 𝐴 en posant 𝑚𝑗𝑖 = ɸ(𝐸𝑖𝑗 ).
- Unicité : si 𝑀 = 𝑚𝑖𝑗 et 𝑁 = 𝑛𝑖𝑗 conviennent toutes deux, on
a : ∀ 𝐴 ∈ 𝐸, tr 𝐴𝑀 = 𝑡𝑟(𝐴𝑁) et avec la matrice élémentaire 𝐴 =
𝐸𝑖𝑗 on obtient ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 1, ⋯ , 𝑛 2 , 𝑚𝑗𝑖 = 𝑛𝑗𝑖 donc 𝑀 = 𝑁.
b) Pour 𝑀 ∈ 𝐸 notons ɸ𝑀 = 𝐴
tr(𝐴𝑀). L’application proposée
𝐸 𝓛(𝐸, 𝕂)
est la bijection réciproque de
qui est
𝑀 ɸ𝑀
manifestement linéaire. C’est donc un isomorphisme.
a) -
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
d)
Matrices triangulaires, diagonales :

Définition :
Soit 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝓜𝑛 𝕂 . On dit que 𝐴
est
triangulaire supérieure (resp. triangulaire
inférieure ; diagonale) si elle vérifie ∀ 𝑖, 𝑗 ∈
1, ⋯ , 𝑛 2 , 𝑖 > 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 0 (resp. 𝑖 < 𝑗 𝑎𝑖𝑗 = 0 ; 𝑖 ≠
𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 0).
On note 𝑇𝑆𝑛 (𝕂) (resp. 𝑇𝐼𝑛 (𝕂) ; 𝐷𝑛 (𝕂)) l’ensemble
des matrices triangulaires supérieures (resp.
inférieures ; diagonales).
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Remarque :
Il est évident que 𝐷𝑛 𝕂 = 𝑇𝑆𝑛 𝕂
𝑇𝐼𝑛 (𝕂) et que
𝑡
l’application 𝐴
𝐴 est un isomorphisme de 𝑇𝑆𝑛 (𝕂) sur
𝑇𝐼𝑛 (𝕂).
Théorème 28 :
i. 𝑇𝑆𝑛 𝕂 ; 𝑇𝐼𝑛 𝕂 et 𝐷𝑛 𝕂 sont trois sous-algèbres de
𝑛(𝑛+1) 𝑛(𝑛+1)
𝓜𝑛 𝕂 de dimensions respectives
,
et 𝑛.
2
2
ii. Si 𝐹 désigne l’un de ces trois ensembles, et 𝐴, 𝐵 deux
matrices de 𝐹 de coefficients diagonaux 1 , ⋯ , 𝑛 et
𝜇1 , ⋯ , 𝜇𝑛 respectivement, alors 𝐴𝐵 ∈ 𝐹 et ses coefficients
diagonaux sont 1 𝜇1 , ⋯ , 𝑛 𝜇𝑛 .
iii. Soit 𝐴 ∈ 𝐹 de coefficients diagonaux 1 , ⋯ , 𝑛 . 𝐴 est
inversible si et seulement si, ∀ 𝑖 ∈ 1, ⋯ , 𝑛 , 𝑖 ≠ 0 et si
c’est le cas, 𝐴−1 appartient à 𝐹 et ses coefficients
1
1
diagonaux sont , ⋯ , .
1
𝑛

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE

Matrice d’un vecteur, d’un endomorphisme :

Définition :
∗ Soit 𝐸 un 𝕂-ev, de dimension 𝑛, de base 𝛽 = 𝑒1 , ⋯ , 𝑒𝑛 . Pour
𝑥 ∈ 𝐸 décomposé dans 𝛽 en 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 , on appelle
matrice représentative de 𝑥 dans la base 𝛽 la matrice colonne
𝑥1
suivante 𝑥 𝛽 = ⋮ ∈ 𝓜𝑛1 𝕂 .
𝑥𝑛
∗ Soit 𝐸 un 𝕂-ev de dimension 𝑛, de base 𝛽 = 𝑒1 , ⋯ , 𝑒𝑛 ; 𝐹 un
𝕂-ev de dimension 𝑝, de base 𝓑 = 𝑒1 , ⋯ , 𝑒𝑝 et 𝑓 ∈ 𝓛 𝐸, 𝐹 . On
appelle matrice représentative de 𝒇 dans le couple de
𝛽
𝓑
bases 𝛽, 𝓑 la matrice notée 𝑓
obtenue en décomposant
les vecteurs 𝑓 𝑒1 , ⋯ , 𝑓(𝑒𝑛 ) dans 𝓑 :
𝑓
𝛽
𝓑
𝑒1
= ⋮
𝑒𝑝
⋮
⋯
⋱
⋯
⋮
∈ 𝓜𝑝𝑛 𝕂 .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
En particulier, si 𝐸 = 𝐹 et 𝛽 = 𝓑 alors la matrice
𝛽
𝛽
𝑓 ∈ 𝓜𝑛 (𝕂) de l’endomorphisme 𝑓 dans le couple
de bases 𝛽, 𝛽 s’appelle simplement matrice de 𝑓
dans la base 𝛽 et se note 𝑓 𝛽 .
Exemple :
Soit 𝐸 = 𝓜2 (ℝ) ; 𝛽 = (𝐸11 , 𝐸12 , 𝐸21 , 𝐸22 ) ; 𝐹 = ℝ et 𝓑
= (1). On a alors 𝐼2 ∈ 𝐸 et sa matrice colonne
1
0
représentative dans 𝛽 est 𝐼2 𝛽 = 0 ∈ 𝓜4,1 𝕂 .
1
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 29 :
Soient 𝐸, 𝐹, 𝐺 trois 𝕂-ev de dimensions respectives 𝑛, 𝑝, 𝑞 et de
bases respectives 𝛽, 𝓑, 𝐵.
𝐸 𝓜𝑛1 (𝕂)
i. L’application
est un isomorphisme.
𝑥
𝑥𝛽
ii. Si 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹) et 𝑥 ∈ 𝐸 on a :

𝑓(𝑥)
𝓛(𝐸, 𝐹)
iii.
iv.
= 𝑓 × 𝑥 𝛽.
𝓜𝑝𝑛 (𝕂)
𝛽
L’application
est un isomorphisme.
𝑓
𝑓𝓑
Si 𝑔 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹) et 𝑓 ∈ 𝓛(𝐹, 𝐺) alors
𝓑
𝛽
𝐵
v.
𝛽
𝓑
𝛽
𝓑
𝓑
𝐵
𝑓○𝑔 = 𝑓 × 𝑔 .
Soit 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹) et𝛽𝑝 = 𝑛. 𝑓 est un isomorphisme de 𝐸 sur 𝐹
si et seulement si 𝑓
𝓑
∈ 𝐺𝐿𝑛 𝕂 , et si c’est le cas,
𝓑
𝛽 −1
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
𝓛(𝐸) 𝓜𝑛 (𝕂)
est un isomorphisme
𝑓
𝑓𝛽
d’algèbre, i.e. un isomorphisme qui vérifie de plus :
𝐼𝑑𝐸 𝛽 = 𝐼𝑛 et ∀ 𝑓, 𝑔 ∈ 𝓛 𝐸 , 𝑓 ○ 𝑔 𝛽 = 𝑓 𝛽 × 𝑔 𝛽 .
vii. Soit 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸). On a 𝑓 ∈ 𝓖𝓛 𝐸
𝑓 𝛽 ∈ 𝐺𝐿𝑛 (𝕂) et si c’est le
−1
−1
cas alors 𝑓 𝛽 = 𝑓 𝛽
.
vi.
L’application
Remarque :
Avec 𝐸 = 𝕂𝑛 et 𝐹 = 𝕂𝑝 munis de leurs bases canoniques 𝛽 et
𝓛(𝕂𝑛 , 𝕂𝑝 ) 𝓜𝑝𝑛 (𝕂)
𝛽
𝓑, l’isomorphisme réciproque de
est
𝑓
𝑓𝓑
𝓜𝑝𝑛 (𝕂) 𝓛(𝕂𝑛 , 𝕂𝑝 )
où 𝑓𝐴 est défini par ∀ 𝑋 ∈ 𝕂𝑛 , 𝑓𝐴 𝑋 =
𝐴
𝑓𝐴
𝐴𝑋 (on identifie 𝕂𝑛 et 𝓜𝑛1 (𝕂 )). L’application linéaire 𝑓𝐴
s’appelle application linéaire canoniquement associée à
𝑨.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE

Définition :
Soient 𝛽 et 𝛽′ deux bases de 𝐸. On appelle matrice
de passage de 𝜷 à 𝜷′ et on note 𝑃𝛽,𝛽′ la matrice
obtenue en décomposant les vecteurs de 𝛽′ dans la
base 𝛽. Ainsi, si 𝛽 = 𝑒1 , ⋯ , 𝑒𝑛 et 𝛽′ = 𝑒′1 , ⋯ , 𝑒′𝑛
alors :
𝑃𝛽,𝛽′
𝑒1
= ⋮
𝑒𝑛
⋮
⋯
⋱
⋯
⋮
.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 30 :
i. Soient 𝐸 un 𝕂-ev de dimension 𝑛 et 𝛽, 𝛽′ et 𝛽′′ trois
bases de 𝐸. On a :

𝑃𝛽,𝛽′ = 𝑖𝑑𝐸
𝛽′
𝛽
; 𝑃𝛽,𝛽′ × 𝑃𝛽′,𝛽′′ = 𝑃𝛽,𝛽′′ ; 𝑃𝛽,𝛽′ ∈ 𝐺𝐿𝑛 (𝕂) et
(𝑃𝛽,𝛽′ )−1 = 𝑃𝛽′,𝛽 .
Soient 𝐸 un 𝕂-ev de dimension 𝑛 et 𝛽 une base de 𝐸.
Pour toute matrice 𝑃 ∈ 𝐺𝐿𝑛 (𝕂) il existe une unique base
𝛽′ de 𝐸 telle que 𝑃 = 𝑃𝛽,𝛽′ .
ii.
Remarque :
Ainsi toute matrice inversible est une matrice de
passage, par exemple entre la base canonique de
𝓜𝑛1 (𝕂) et la base 𝐶1 , ⋯ , 𝐶𝑛 de 𝓜𝑛1 (𝕂) formée par ses
colonnes.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 31 :
Soient 𝐸 un 𝕂-ev de dimension 𝑛 et 𝛽, 𝛽′ deux bases
de 𝐸.
i. Soit 𝑥 ∈ 𝐸. On a :
𝑥 𝛽 = 𝑃𝛽,𝛽′ 𝑥 𝛽 ′.

Soit 𝐹 un 𝕂-ev de dimension 𝑝 et 𝓑, 𝓑′ deux
bases de 𝐹 et 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹). On a :
ii.
𝑓
iii.
𝛽′
𝓑′
= 𝑃𝓑′,𝓑 × 𝑓
𝛽
𝓑
× 𝑃𝛽,𝛽′ .
En particulier, pour 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸), on a :
𝑓 𝛽′ = 𝑃𝛽′,𝛽 × 𝑓 𝛽 × 𝑃𝛽,𝛽′ .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE

Matrices semblables, équivalentes :

Définition :
Deux matrices 𝐴 et 𝐵 de 𝓜𝑛 (𝕂) sont dites
semblables, et on note 𝐴 ~ 𝐵 lorsque :
∃ 𝑃 ∈ 𝐺𝐿𝑛 𝕂 , 𝐴 = 𝑃𝐵𝑃−1 .
Remarque :
D’après le point (iii) du théorème 31, les matrices
d’un même endomorphisme dans deux bases de E
sont semblables.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 32 :
i. ~ est une relation d’équivalence sur 𝓜𝑛 (𝕂).
ii. Deux matrices sont semblables si et seulement si
ce sont les matrices d’un même endomorphisme
dans des bases (éventuellement) différentes.
iii. Deux matrices semblables ont même trace,
même rang et même déterminant.

Définition :
Soit E un 𝕂-ev de dimension finie et 𝑓 ∈ 𝓛(𝐸).
On appelle trace de 𝑓, et on note tr(𝑓) la trace de la
matrice de f dans n’importe quelle base de 𝐸.

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Définition :
Deux matrices 𝐴 et 𝐵 de 𝓜𝑛𝑝 (𝕂) sont dites
équivalentes, et on note 𝐴 ε 𝐵 lorsque :
∃ 𝑃 ∈ 𝐺𝐿𝑛 𝕂 , ∃ 𝑄 ∈ 𝐺𝐿𝑝 𝕂 , 𝐴 = 𝑃𝐵𝑄.

Remarque :
D’après le point (𝑖𝑖) du théorème 31, les matrices
d’une même application linéaire dans deux couples
de bases de 𝐸 et de 𝐹 sont semblables.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE

i.
Théorème 33 :
ε est une relation d’équivalence sur 𝓜𝑛𝑝 (𝕂).
Deux matrices sont équivalentes si et seulement
si elles ont même rang.
ii.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Rang :
 Définition :
𝐸 de dimension finie.
Le rang d’une famille de 𝑝 vecteurs (𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑝 ) est la
dimension du sev de 𝐸 qu’ils engendrent :
Vect(𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑝 ).
Le rang d’une application linéaire 𝑢 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹)
(𝐸 et 𝐹 deux 𝕂-ev) est dim Im 𝑢 = dim(𝑢 𝐸 ).
𝐴 ∈ 𝓜𝑛,𝑝 (𝕂) , rg( 𝐴 ) est la dimension du sev de
𝓜𝑛,1 (𝕂) engendré par les colonnes de 𝐴.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Remarques :
∗ Si 𝛽 = (𝑒1 , ⋯ , 𝑒𝑛 ) base de 𝐸 et 𝑢 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹). On a
rg(𝑢)= rg(𝑢 𝑒1 , ⋯ , 𝑢(𝑒𝑛 )).
∗ Si 𝑢 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹), 𝛽 base de 𝐸, 𝛽′ base de 𝐹 alors
rg(𝑢)=rg(𝐴) où :
𝑒1
⋯
𝐴 = 𝑢 𝛽,𝛽′ = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∈ 𝓜𝑛,𝑝 (𝕂).
𝑒𝑛
⋯
∗ rg 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 est le nombre maximal de vecteurs
linéairement indépendants qu’on peut extraire de
la famille 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛 .
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème du rang (rappel) :
Soit 𝑢 ∈ 𝓛(𝐸, 𝐹). On a :
dim (Ker(𝑢)) + rg(𝑢) = dim (𝐸).

Théorème 34 :
𝑡
• rg(𝐴) = rg( 𝐴) avec 𝐴 ∈ 𝓜𝑛,𝑝 𝕂 .
• Une opération élémentaire sur les lignes et les
colonnes ne change pas le rang d’une matrice :
 permuter deux lignes ou deux colonnes ;
 rajouter à une ligne ou une colonne une
combinaison linéaire des autres ;
 multiplier une ligne ou une colonne par un
scalaire non nul.

CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Définition :
Pour 𝐴 ∈ 𝓜𝑛 (𝕂). On appelle mineur d’ordre 𝒑 de 𝑨 le
déterminant d’une matrice de taille 𝑝 extraite de 𝐴.

Exemple :
2
1
1
1
1
−1
0
1
1
3
0
−3
0
2
4
2
1 2
est une matrice de taille 2 extraite de 𝐴
1 2
est un mineur d’ordre 2 de 𝐴.
1
1
2
2
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
Théorème 35 :
Le rang de 𝐴 est l’ordre maximal des mineurs ≠ 0
extraits de 𝐴 (𝐴 ∈ 𝓜𝑛,𝑝 𝕂 ).

Exemple :
1
𝐴= 3
2
2
−2 1 −1 𝐿1
−3 0
1 𝐿2
1 −1 0 𝐿3
−1 −1 2 𝐿4
Déterminer son rang.
• 𝐴 ∈ 𝓜4 ℝ
rg(𝐴) ≤ 4. De manière générale, pour
𝐴 ∈ 𝓜𝑝,𝑛 ℝ , rg 𝐴 ≤ min 𝑝, 𝑛 .
• 𝐴 ≠ 0 donc rg(𝐴) ≥ 1. De manière générale, rg 𝐴 =
0 𝐴 = 0.
CHAPITRE 5 :
ALGÈBRE LINÉAIRE
On a, pour 𝐴 ∈ 𝓜𝑛 ℝ (matrice carrée) rg 𝐴 =
𝑛 𝐴 inversible
det(𝐴) ≠ 0.
•
Ici, on a 𝐿4 = 𝐿2 − 𝐿1 donc det 𝐴 = 0 rg(𝐴) ≤ 3.
1 −2
•
est un mineur d’ordre 2 (≠ 0) extrait de
3 −3
𝐴 donc rg(𝐴) ≥ 2.
1 −2 1
−3 0
3 0
• 3 −3
+2×
+1×
0 =1×
1 −1
2 −1
2 1 −1
3 −3
= 3 − 6 + 3 + 6 = 6 ≠ 0 rg(𝐴) ≥ 3.
2 1
Donc rg 𝐴 = 3.
[Pour le calcul du 2ème terme, on rajoute un − en plus du − existant
(ce qui fait +) car 𝑛°𝑙𝑖𝑔𝑛𝑒 + 𝑛°𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑒 = 3 est impair].
FIN