corrigé

DM 7 – Correction
Exercice 39
Pour commencer, on traduit les données de l’énoncé :
•P(I)=1
10
•PI(V)=3
4
•PI(C)=PI∩V(C)=1
40
•PI∩V(C)=1
60
1. On a PI(C)=P(C∩I)
P(I). Or C∩I=(C∩I∩V)∪(C∩I∩V), et cette union est disjointe. On a donc
P(C∩I)=P(C∩I∩V)+P(C∩I∩V)=P(I∩V)PI∩V(C)+P(I∩V)PI∩V(C)=1
60 P(I∩V)+1 40 P(I∩V).
Or P(I∩V)=P(I)PI(V)=3
40 et P(I∩V)=P(I)PI(V)=1 40 , d’où
PI(C)=
1
60 ×3 40 +1 40 ×1 40
1
10
=1
80 +1 160 =3 160
2. On applique les probabilités totales avec le sce (I,I) :
P(C)=P(C∩I)+P(C∩I)=1
60 ×3 40 +1 40 ×1 40
| {z }
d’après la question précédente
+P(I)PI(C)=3
1600 +9 10 ×1 40 =39 1600
La probabilité qu’un véhicule en stationnement soit contrôlé est donc de 38
1600 .
3. On cherche PC∩I(V)=P(C∩I∩V)
P(C∩I). On a déjà calculé numérateur et dénominateur au 1, on obtient :
PC∩I(V)=
1
60 ×3 40
1
60 ×3 40 +1 40 ×1 40
=2
3
4. Soit n∈N. Si Nicolas fraude le jour n, il est verbalisé avec probabilité 1
60 (puisqu’il est contrevenant volontaire).
S’il ne fraude pas le jour n, il n’est bien sûr par verbalisé. D’après l’énoncé, Nicolas fraude le jour n+1 ssi il n’a
pas été verbalisé le jour n. On a donc PNn(Nn+1)=59
60 et PNn(Nn+1)=1. D’après les probabilités totales avec le sce
(Nn,Nn), on en déduit
P(Nn+1)=P(Nn)PNn(Nn+1)+P(Nn)PNn(Nn+1)=P(Nn)×59
60 +(1 −P(Nn)) ×1,
d’où P(Nn+1)=1−1
60 P(Nn) . On reconnaît une suite arithmético-géométrique, on résout l’équation (1) : l=
1−l
60 qui a pour unique solution l=60 61 .
Pour n∈N, on pose un=P(Nn)−l. On a alors un+1=1−1
60 (un+l)−l=1−1 60 (un+l)−1+
l
60
| {z }
d’après (1)
=−1
60 un.
La suite (un) est donc géométrique de raison −1
60 , on en déduit
∀n∈N,P(Nn)=un+60
61 =−1 60 nN0−60 61 +60 61 = −1
60 !n1 61 +60 61 .
On a −1<−1
60 <1, donc −1 60 n
−→
n→+∞0 et P(Nn)−→ n→+∞
60
61 .