corrigé

DM 7 – Correction
Exercice 39
Pour commencer, on traduit les données de l’énoncé :
1
• P(I) = 10
• PI (V) = 34
1
• PI (C) = PI∩V (C) = 40
1
• PI∩V (C) = 60
1. On a PI (C) =
P(C∩I)
P(I) .
Or C ∩ I = (C ∩ I ∩ V) ∪ (C ∩ I ∩ V), et cette union est disjointe. On a donc
P(C ∩ I) = P(C ∩ I ∩ V) + P(C ∩ I ∩ V) = P(I ∩ V)PI∩V (C) + P(I ∩ V)PI∩V (C) =
1
3
et P(I ∩ V) = P(I)PI (V) = 40
, d’où
Or P(I ∩ V) = P(I)PI (V) = 40
PI (C) =
1
60
×
3
40
+
1
40
×
1
40
1
10
=
1
60 P(I
∩ V) +
1
40 P(I
∩ V).
1
1
3
+
=
80 160
160
2. On applique les probabilités totales avec le sce (I, I) :
1
3
1
1
+P(I)PI (C) =
P(C) = P(C ∩ I) + P(C ∩ I) =
×
+
×
60 40 {z 40 40
|
}
3
1600
+
9
10
×
1
40
=
39
1600
d’après la question précédente
La probabilité qu’un véhicule en stationnement soit contrôlé est donc de
3. On cherche PC∩I (V) =
P(C∩I∩V)
P(C∩I) .
38
1600 .
On a déjà calculé numérateur et dénominateur au 1, on obtient :
PC∩I (V) =
1
60
×
1
60
3
40
×
+
3
40
1
40
×
1
40
=
2
3
1
4. Soit n ∈ N. Si Nicolas fraude le jour n, il est verbalisé avec probabilité 60
(puisqu’il est contrevenant volontaire).
S’il ne fraude pas le jour n, il n’est bien sûr par verbalisé. D’après l’énoncé, Nicolas fraude le jour n + 1 ssi il n’a
59
pas été verbalisé le jour n. On a donc PNn (Nn+1 ) = 60
et PNn (Nn+1 ) = 1. D’après les probabilités totales avec le sce
(Nn , Nn ), on en déduit
P(Nn+1 ) = P(Nn )PNn (Nn+1 ) + P(Nn )PNn (Nn+1 ) = P(Nn ) ×
d’où P(Nn+1 ) = 1 −
1−
l
60
1
60 P(Nn )
59
+ (1 − P(Nn )) × 1,
60
. On reconnaît une suite arithmético-géométrique, on résout l’équation (1) : l =
qui a pour unique solution l =
60
61 .
Pour n ∈ N, on pose un = P(Nn ) − l. On a alors un+1 = 1 −
1
60 (un
+ l) − l = 1 −
1
60 (un
l
1
+ l) − 1 +
= − 60
un .
60
| {z }
d’après (1)
1
La suite (un ) est donc géométrique de raison − 60
, on en déduit
!n
n 60
−1 1
60
−1
60
60
∀n ∈ N, P(Nn ) = un + 61 = 60 N0 − 61 + 61 =
+
.
60 61 61
n
−1
On a −1 < −1
−→ 0 et P(Nn ) −→ 60
60 < 1, donc 60
61 .
n→+∞
n→+∞