F1 : Espaces vectoriels - Université de Cergy

CAPES de Mathématiques Université de Cergy Pontoise
TD d’algèbre linéaire 2001/2002
F1 : Espaces vectoriels
Dans toute la feuille, Kest un sous-corps de C, et Eun K-espace vectoriel.
Exercice 1 : Donner des exemples aussi différents que possible de K-espace vectoriel.
Exercice 2 : Soit uun endomorphisme de E. On note u2=u◦u.
1. En remarquant que si u(x) = u2(y)alors x−u(y)appartient à ker u, montrer :
E=im u+ ker u⇐⇒ im u=im u2
.
2. Montrer : im u∩ker u={0} ⇐⇒ ker u= ker u2.
3. Déduire de ce qui précède une condition nécessaire et suffisante sur upour que :
E=im u⊕ker u
Exercice 3 : Soient F, G et Htrois sous-espaces vectoriels . Illustrer à l’aide d’un exemple que la
condition :
F∩G=F∩H=G∩H={0}
ne suffit pas pour affirmer que la somme F+G+Hest directe.
Exercice 4 : Montrer que la somme des sous espaces vectoriels Pi≤nEiest directe ssi
∀i < n, X
j>i
Ej!∩Ei={0}
Exercice 5 : Soient pun projecteur de E,Get Hdeux sous espaces vectoriels supplémentaires de
E, on appelle projection sur Gparallèlement à Hl’application linéaire qdéfinie par :
∀x∈E, ∃!(xG, xH)∈G×H, x =xG+xH, q(x) = xG
1. Montrer que im p⊕ker p=E.
2. Montrer qu’un endomorphisme est un projecteur ssi c’est une projection.
3. Soit Fun SEV de E. Montrer que p−1(F) = ker p⊕(F∩im p)
4. Ici E=R2rapportée à une base (i, j), on considère le projecteur psur Riparallèlement à Rj;
déterminer p−1(R(i+j)).R(i+j)est-il stable par p?
5. Montrer que Fest stable par pssi
F= (F∩ker p)⊕(F∩im p)
.
6. Montrer que pour tout λ /∈ {0; 1},p−λId est un automorphisme de E.
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Exercice 6 : Soient Fun K-espace vectoriel et fune application linéaire de Edans F, si Sest un
supplémentaire de ker f, montrer que la restriction de fàSest un isomorphisme sur im f.
Exercice 7 : Soit fun endomorphisme non nul de E, on note Ef={u◦f|u∈ L(E)}
1. Montrer que Efest un espace vectoriel.
2. En admettant le résultat suivant : tout SEV de Epossède un supplémentaire (Au programme
du CAPES n’est présente que la version en dimension finie). Montrer que pour tout endomor-
phisme gde E:
g∈Ef⇐⇒ ker f⊂ker g
3. Montrer qu’il existe un projecteur pnon nul, appartenant à Ef.
Exercice 8 : Soient Fun SEV de Eet A={f∈ L(E)|f(F)⊂F}, montrer que Aest une sous
algèbre de L(E).
Exercice 9 : Soient K=R,E=C∞(R,R)et Ei={f∈E|f(i)(0) = 0}.
1. Montrer que Eiest un espace vectoriel.
2. Montrer que pour tout i,Rexp est un supplémentaire de Ei.
3. Soit Nun entier naturel, déterminer un supplémentaire Hde G=∩0≤i≤NEi, puis déterminer
la projection de Esur Hparallèlement à G.
Exercice 10 : Soit fun endomorphisme de E, tel que pour tout xde Ela famille (x, f(x)) soit
liée, montrer que fest une homothétie.
Exercice 11 : K=Qet E=R, soit nun entier qui ne soit pas un cube parfait.
1. Montrer que (1,3
√n)est une famille libre.
2. Montrer que (1,3
√2,3 √4) est une famille libre, et que le SEV engendré G, est un sous corps de
R, on pourra considérer ϕx(y) = xy et montrer que pour xnon nul ϕxest un isomorphisme
de G.
Exercice 12 : On suppose Ede dimension finie, soit H1et H2deux hyperplans de Edistincts,
déterminer la dimension de H1∩H2.
Exercice 13 : On suppose Ede dimension finie et soient Fet Gdes sous espaces vectoriels de E
de même dimension.
1. Montrer que si Fet Gsont distincts alors F∪G6=E.
2. En déduire par récurrence qu’il existe un supplémentaire commun à Fet G.
Exercice 14 : Soit f∈ L(R3)tel que f2= 0, montrer :
∃ϕ∈ L(R3, R),∃a∈R3,∀x∈R3, f(x) = ϕ(x)
Exercice 15 : On suppose Ede dimension finie, soit fun endomorphisme de Ede rang 1. Montrer
qu’il existe un unique élément de K,λtel que f2=λf.
Exercice 16 : On suppose Ede dimension n∈N∗, montrer qu’il existe un entier ktel que
rg f > rg f2>rg f3... > rg fk=rg fk+1 =... =rg fN
en déduire que rg fn=rg fn+1
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CAPES de Mathématiques Université de Cergy Pontoise
TD d’algèbre linéaire 2001/2002
F2 : Dimension finie, espace dual, matrice
Dans toute la feuille, Kest un sous-corps de C, et Eun Kespace vectoriel de dimension finie.
Exercice 17 : Soient aet bdeux réels distincts. Montrer que l’ensemble des applications affines f
de Rtelle que f(a) = f(b)forme un espace vectoriel de dimension 1. Montrer que l’ensemble des
polynômes de degré inférieur à net dont la somme des dérivées de tout ordre en 0 est nulle, forme
un espace vectoriel dont on précisera la dimension.
Exercice 18 : Si E=⊕m
i=1Ei,dim Ei≤niet Pni= dim E, montrer que dim Ei=ni.
Exercice 19 : Soit f∈ L(E)on a déjà montré que la suite (rg fk)kétait décroissante, en re-
marquant que rg fk=rg fk+1 + dim(ker f∩im fk), montrer que la suite (rg fk−rg fk+1)kest
décroissante.
Exercice 20 : Caractériser les endomorphismes de R2,R3et R4tels que im f= ker f.
Exercice 21 : Montrer que la famille de fonctions (x7→ cos(xn))nest libre.
Exercice 22 : Soient (u, v, w)un système libre, montrer que (u+v, 2u−3v+ 2w, u −v+ 2w)est
libre.
Exercice 23 : Montrer qu’il y a équivalence pour un sous espace vectoriel Hentre :
–Hest le noyau d’une forme linéaire non nulle.
– Il existe anon nul tel que H⊕Ka =E.
Si l’une de ces propriétés est vérifiée, on dit que Hest un hyperplan. Quelle est la dimension d’un
hyperplan?
Exercice 24 : Soit uun endomorphisme de Etel que u◦u=−Id pour tout élément anon nul de
Eon note Ea=vect {a, u(a)}, soit Fun SEV stable par u.
1. Calculer dim Ea.
2. Montrer que Ea∩F6={0}=⇒Ea⊂F.
3. Montrer que si an’appartient pas à Fla somme Ea+Fest directe.
4. Montrer qu’il existe a1, a2, ...ardans Etels que
E=Ea1⊕Ea2⊕... ⊕Ear
Exercice 25 : Soit Bune base de Eet Φil’application qui a un vecteur xassocie la ième coordon-
née de xdans la base B.
1. Φiest-elle linéaire?
2. Quelle est la notation usuelle de Φi?
3. Si e1= (1,2) et e2= (1,1), déterminer e∗
1.
4. Si e1= (1,2) et e2= (2,3), déterminer e∗
1.
1

Exercice 26 : E=R3[X], on pose ∀a∈R,∀P∈E, Φa(P) = P(a)
1. Déterminer la base duale Bde la base canonique de E.
2. Déterminer une base de Edont la base duale est (Φ0,Φ1,Φ2,Φ3).
3. ∀P∈E, Ψ(P) = R1
0P(t)dt, montrer que Ψappartient au dual de E, et déterminer ses
coordonnées dans la base B.
Exercice 27 : Soient xet ydeux vecteurs de Edistincts, montrer qu’il existe une forme linéaire u
sur Etelle que u(x)6=u(y).
Exercice 28 : Pour une partie A⊂E, on définit A⊥={ϕ∈E∗|;∀x∈A, ϕ(x)=0}, c’est un
sous-espace-vectoriel de E∗. On définit également pour A0⊂E∗,A0> ={x∈E| ∀ϕ∈A0, ϕ(x) =
0}, c’est un sous-espace vectoriel de E. soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E,Met N
deux sous-espaces vectoriels de E∗, montrer les propriétés suivantes :
1. E⊥={0},E∗> ={0}.
2. dim A⊥+ dim A= dim E.
3. (F+G)⊥=F⊥∩G⊥
4. (F∩G)⊥=F⊥+G⊥
5. (F⊥)>=F
Exercice 29 : Soit fun endomorphisme de Etel que fm= 0 et fm−16= 0. (On dit que fest
nilpotent d’ordre m)
1. Montrer en utilisant l’exercice 19 : m≤dim E.
2. Caractériser les endomorphismes nilpotents du plan .
3. Si dim E=m, montrer qu’il existe un vecteur xtel que (x, f(x), f2(x), . . . , fm−1(x)) soit
une base de E, quelle est la matrice de fdans cette base?
4. Caractériser les endomorphismes nilpotents de l’espace.
Exercice 30 : Dans l’espace des polynômes de degré inférieur à n. Quelle est la matrice de la
dérivation, dans la base canonique?
Exercice 31 : Soit A∈ Mn(R), on définit l’endomorphisme φsur Mn(R)par φ(M) = AM.
Quelle est la matrice de φdans la base canonique de Mn(R)? Même question avec ψ(M) = MA ?
Exercice 32 : Soient e1= (2,1) et e2= (3,2) et f(x, y) = (4x−5y, 3x−4y), déterminer la
matrice de fdans la base canonique de R2puis dans la base (e1, e2). Que peut-on en déduire pour
f?
Exercice 33 : Déterminer la matrice dans la base canonique de R3de la projection sur le plan
d’équation 2x−3y−z= 0 parallèlement à R(1,1,1).
Exercice 34 : On suppose que dim E= 2n, caractériser tous les endomorphismes fde Epour
lesquels il existe une base, dans laquelle la matrice de fest de la forme :
0 0
0U
où Uest une matrice n×ninversible.
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CAPES de Mathématiques Université de Cergy Pontoise
TD d’algèbre linéaire 2001/2002
F3 : Matrices, opérations, trace, rang
Dans toute la feuille, Kest un sous-corps de C, et Eun Kespace vectoriel de dimension finie.
Exercice 35 : Les matrices suivantes sont-elles équivalentes? Montrer qu’elles ne sont pas sem-
blables :
1)
A=1 2
−1 1B=1 1 1 1
2)
A=1 2
−1 1B=1 3 1 2
Exercice 36 : Soient P∈ Mn(R), et fl’application de Mn(R)dans lui même, définie par
∀X∈ Mn(R), f(X) = P X +XP
Montrer que fest un endomorphisme puis montrer que sa trace vaut 2ntr P, on pourra pour cela
utiliser la base canonique de Mn(R).
Exercice 37 : Soit Aune matrice de Mn(C)à diagonale strictement dominante c’est à dire telle
que
∀i∈ {1, ...n},|aii|>X
j6=i|aij |
Montrer que Aest inversible (On pourra considérer un Xtel que AX = 0 et j0tel que |Xj0| ≥ |Xj|).
En déduire que les valeurs propres complexes d’une matrice Msont contenues dans la réunion des
boules de centre mii et de rayon Pj6=i|mij |.
Exercice 38 : Soient Aet Bdeux matrices carrées de Mn(R). Montrer que I+AB est inversible
ssi I+BA est inversible.
Exercice 39 : Soient A∈GLp(K), B ∈ Mpq(K), C ∈GLq(K),Mla matrice définie par bloc :
M=A B
0C
En faisant une analogie avec le cas ou A, B, C seraient des éléments de K, montrer que Mest
inversible et calculer son inverse.
Exercice 40 : Soit M∈ Mn(K)avec rg M= 1.
1. Montrer qu’il existe U, V ∈ Mn1(R)tels que M=Ut V
2. Montrer que tr M=t UV .
3. Pour pentier naturel, exprimer une relation entre Mp, M et tr M.
4. Calculer (I+M)(I+kM), en déduire une CNS sur tr Mpour que I+Msoit inversible.
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