Probabilités et Statistiques

Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Probabilités et Statistiques
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Amphi n◦ 2
Novembre 2016
Espérance et variance
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Plan
1
Variables aléatoires
2
Variables aléatoires continues
3
Espérance et variance
Espérance et variance
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Variable aléatoire
Définition
Une variable aléatoire est une application X : Ω −→ R, c’est-à-dire une fonction
qui associe un réel à chaque résultat possible d’une expérience. On note X(Ω)
l’ensemble des valeurs que peut prendre X.
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Exemple
On joue à Pile ou Face.
Je parie 5 euros sur Pile.
Mon gain X est défini par :
X:
Ω = {Pile, Face}
Pile
Face
On a ici X(Ω) = {5, −5}.
−→
7−→
7−→
R
5
−5.
Espérance et variance
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Exemple
On joue à Pile ou Face.
On lance un dé.
Je parie 5 euros sur Pile.
Mon gain X est défini par :
Je parie 5 euros sur un chiffre pair.
Mon gain Y est défini par :
X:
Ω = {Pile, Face}
Pile
Face
On a ici X(Ω) = {5, −5}.
−→
7−→
7−→
R
5
−5.
Y:
Ω = {1, . . . , 6}
2,4,6
1,3,5
−→
7−→
7−→
On a ici Y(Ω) = {5, −5}.
R
5
−5.
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Exemple
On joue à Pile ou Face.
On lance un dé.
Je parie 5 euros sur Pile.
Mon gain X est défini par :
Je parie 5 euros sur un chiffre pair.
Mon gain Y est défini par :
X:
Ω = {Pile, Face}
Pile
Face
On a ici X(Ω) = {5, −5}.
−→
7−→
7−→
R
5
−5.
Y:
Ω = {1, . . . , 6}
2,4,6
1,3,5
−→
7−→
7−→
On a ici Y(Ω) = {5, −5}.
Remarque : le choix du jeu n’a aucune importance.
D’un point de vue probabiliste, ces 2 jeux sont les mêmes.


P({Gagner 5 euros}) = P(X = 5) = P(Y = 5) = 1
2
1

P({Perdre 5 euros}) = P(X = −5) = P(Y = −5) =
2
Ces probabilités sont ce que l’on appelle la loi de X (et de Y) .
R
5
−5.
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Variables aléatoires discrètes
Définition
Une variable aléatoire X est dite discrète si X ne prend qu’un nombre fini (ou
dénombrable) de valeurs : X(Ω) = {x1 , . . . , xn }. Dans ce cas, on définit la loi de X
en spécifiant les valeurs
P(X = xi )
pour tout i ∈ {1, . . . , n}.
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Variables aléatoires discrètes
Loi de Bernoulli
Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1] si
X(Ω) = {0, 1} et :
P(X = 1) = p
On note X ∼ B(p).
et
P(X = 0) = 1 − p.
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Variables aléatoires discrètes
Loi de Bernoulli
Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1] si
X(Ω) = {0, 1} et :
P(X = 1) = p
et
P(X = 0) = 1 − p.
On note X ∼ B(p).
Modèle
On considère une expérience aléatoire dont la probabilité de succès est p. Alors
X définie par
X : Ω = {Succès, Echec} −→ R
Succès
7−→ 1
Echec
7−→ 0.
suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Loi binomiale
Définition
On considère une expérience aléatoire dont la probabilité de succès est p. On
répète n fois cette expérience de manière indépendante et on note X le nombre
de succès obtenus. On a donc
X(Ω) = {0, . . . , n}.
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Loi binomiale
Définition
On considère une expérience aléatoire dont la probabilité de succès est p. On
répète n fois cette expérience de manière indépendante et on note X le nombre
de succès obtenus. On a donc
X(Ω) = {0, . . . , n}.
Alors la loi de X est donnée par :
P(X = k) = Cnk × pk × (1 − p)n−k
pour k ∈ {0, . . . , n}.
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, ce que l’on note
X ∼ B(n, p).
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Exemple
Un QCM comporte 20 questions avec à chaque fois 4 réponses possibles. Un
candidat répond complètement au hasard au QCM. On note X son nombre de
bonnes réponses. Quelle est la probabilité qu’il ait :
1
5 bonnes réponses ?
2
10 bonnes réponses ?
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Exemple
Un QCM comporte 20 questions avec à chaque fois 4 réponses possibles. Un
candidat répond complètement au hasard au QCM. On note X son nombre de
bonnes réponses. Quelle est la probabilité qu’il ait :
1
5 bonnes réponses ?
5
P(X = 5) = C20
×0, 255 × 0, 7515 ' 0, 20
|{z}
=15 504
2
10 bonnes réponses ?
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Exemple
Un QCM comporte 20 questions avec à chaque fois 4 réponses possibles. Un
candidat répond complètement au hasard au QCM. On note X son nombre de
bonnes réponses. Quelle est la probabilité qu’il ait :
1
5 bonnes réponses ?
5
P(X = 5) = C20
×0, 255 × 0, 7515 ' 0, 20
|{z}
=15 504
2
10 bonnes réponses ?
10
P(X = 10) = C20
×0, 2510 × 0, 7510 ' 0, 01
|{z}
=184 756
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Plan
1
Variables aléatoires
2
Variables aléatoires continues
3
Espérance et variance
Espérance et variance
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Quel est le problème ?
Je pense à un chiffre X entre 0 et 3.
X est une v.a. discrète à valeurs dans
{0, 1, 2, 3} dont la loi est donnée par :
Espérance et variance
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Quel est le problème ?
Je pense à un chiffre X entre 0 et 3.
X est une v.a. discrète à valeurs dans
{0, 1, 2, 3} dont la loi est donnée par :
Valeur
Proba
0
0,25
1
0,25
En particulier :
P(X ≤ 2) =
P(X < 2) =
2
0,25
3
0,25
Espérance et variance
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Quel est le problème ?
Je pense à un chiffre X entre 0 et 3.
X est une v.a. discrète à valeurs dans
{0, 1, 2, 3} dont la loi est donnée par :
Valeur
Proba
0
0,25
1
0,25
2
0,25
En particulier :
P(X ≤ 2) = 0, 75
P(X < 2) = 0, 5
3
0,25
Espérance et variance
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Quel est le problème ?
Je pense à un chiffre X entre 0 et 3.
X est une v.a. discrète à valeurs dans
{0, 1, 2, 3} dont la loi est donnée par :
Valeur
Proba
0
0,25
1
0,25
2
0,25
En particulier :
P(X ≤ 2) = 0, 75
P(X < 2) = 0, 5
3
0,25
Je pense à un nombre Y entre 0 et 3.
Y est une v.a. à valeurs dans [0, 3]
donc la loi est donnée par :
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Quel est le problème ?
Je pense à un chiffre X entre 0 et 3.
X est une v.a. discrète à valeurs dans
{0, 1, 2, 3} dont la loi est donnée par :
Valeur
Proba
0
0,25
1
0,25
2
0,25
En particulier :
P(X ≤ 2) = 0, 75
P(X < 2) = 0, 5
Je pense à un nombre Y entre 0 et 3.
Y est une v.a. à valeurs dans [0, 3]
donc la loi est donnée par :
3
0,25
???????
Néanmoins :
P(Y ≤ 2) =
P(Y < 2) =
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Quel est le problème ?
Je pense à un chiffre X entre 0 et 3.
X est une v.a. discrète à valeurs dans
{0, 1, 2, 3} dont la loi est donnée par :
Valeur
Proba
0
0,25
1
0,25
2
0,25
En particulier :
P(X ≤ 2) = 0, 75
P(X < 2) = 0, 5
Je pense à un nombre Y entre 0 et 3.
Y est une v.a. à valeurs dans [0, 3]
donc la loi est donnée par :
3
0,25
???????
Néanmoins :
P(Y ≤ 2) = 2/3
P(Y < 2) = 2/3
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Variables aléatoires continues
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X est continue et admet une densité f si, pour
tous les réels a ≤ b, on a
Z b
f (x)dx.
P(a ≤ X ≤ b) =
a
f doit être positive, intégrable sur R et
R +∞
−∞
f (x)dx = 1.
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Variables aléatoires continues
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X est continue et admet une densité f si, pour
tous les réels a ≤ b, on a
Z b
f (x)dx.
P(a ≤ X ≤ b) =
a
f doit être positive, intégrable sur R et
R +∞
−∞
f (x)dx = 1.
Remarque
La probabilité que X appartienne à l’intervalle [a, b] correspond donc à l’aire sous
la courbe représentative de f , entre a et b. En particulier, pour tout réel a,
P(X = a) = 0. On dit que X ne charge pas les points.
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Exemple : la loi normale
Définition
Une variable aléatoire X suit une loi normale (ou gaussienne) de paramètre m et
σ 2 si X(Ω) = R et si sa densité f vaut :
f (x) = √
ce que l’on note X ∼ N (m, σ 2 ).
1
2πσ 2
−
e
(x−m)2
2σ 2
,
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Exemple : la loi normale
Définition
Une variable aléatoire X suit une loi normale (ou gaussienne) de paramètre m et
σ 2 si X(Ω) = R et si sa densité f vaut :
f (x) = √
1
2πσ 2
−
e
(x−m)2
2σ 2
,
ce que l’on note X ∼ N (m, σ 2 ).
Remarque
- La loi N (0, 1) est appelé loi normale centrée réduite.
X−m
- Si X ∼ N (m, σ 2 ), alors
∼ N (0, 1).
σ
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Plan
1
Variables aléatoires
2
Variables aléatoires continues
3
Espérance et variance
Espérance et variance
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance = Moyenne
Cas discret
Si X(Ω) = {x1 , . . . , xn }, on définit
l’espérance de X par :
E[X] =
n
X
xk × P(X = xk )
k=1
Exemple :
Si X suit une loi de Bernoulli B( 12 ) :
E[X] = 0 ×
1
1
1
+1× =
2
2
2
Espérance et variance
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Espérance = Moyenne
Cas discret
Cas continu
Si X(Ω) = {x1 , . . . , xn }, on définit
l’espérance de X par :
Si X a pour densité f , on définit
l’espérance de X par :
Z +∞
E[X] =
x f (x) dx.
E[X] =
n
X
xk × P(X = xk )
k=1
Exemple :
Si X suit une loi de Bernoulli B( 12 ) :
E[X] = 0 ×
1
1
1
+1× =
2
2
2
−∞
Exemple :
Si X suit une loi normale N (0, 1) :
Z +∞
x2
1
E[X] =
x √ e− 2 dx = 0.
2π
−∞
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Variance / Ecart-type = Tendance à s’écarter de la moyenne
Cas discret
Cas continu
Si X(Ω) = {x1 , . . . , xn }, on définit la
variance de X par :
Si X a pour densité f , on définit la
variance de X par :
Z +∞
V(X) =
x2 f (x)dx − (E[X])2 .
V(X) =
n
X
xk2 P(X = xk ) − (E[X])2
k=1
On appelle σ(X) =
p
V(X) l’écart-type de X.
−∞
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Signification
Voici la répartition des notes de maths dans 2 classes.
Classe 1
Classe 2
Notes X
Proba
1
0, 5
19
0, 5
Notes Y
Proba
8
0, 5
12
0, 5
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Signification
Voici la répartition des notes de maths dans 2 classes.
Classe 1
Classe 2
Notes X
Proba
1
0, 5
19
0, 5
Alors l’espérance vaut
E[X] = 1 × 0, 5 + 19 × 0, 5 = 10
Notes Y
Proba
8
0, 5
12
0, 5
Alors l’espérance vaut
E[Y] = 8 × 0, 5 + 12 × 0, 5 = 10
Variables aléatoires
Variables aléatoires continues
Espérance et variance
Signification
Voici la répartition des notes de maths dans 2 classes.
Classe 1
Classe 2
Notes X
Proba
1
0, 5
Notes Y
Proba
19
0, 5
Alors l’espérance vaut
E[X] = 1 × 0, 5 + 19 × 0, 5 = 10
et la variance
Alors l’espérance vaut
E[Y] = 8 × 0, 5 + 12 × 0, 5 = 10
V(Y) = 82 × 0, 5 + 122 × 0, 5 − 100
= 81
σ(X) =
12
0, 5
et la variance
V(X) = 12 × 0, 5 + 192 × 0, 5 − 100
donc
8
0, 5
=4
√
donc
81 = 9.
√
σ(Y) =
4 = 2.