Probabilités et Statistiques

Variables aléatoires Variables aléatoires continues Espérance et variance
Probabilités et Statistiques
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https://math.maths.univ-evry.fr/cprofeta
Amphi n◦2
Novembre 2016

Variables aléatoires Variables aléatoires continues Espérance et variance
Plan
1Variables aléatoires
2Variables aléatoires continues
3Espérance et variance

Variables aléatoires Variables aléatoires continues Espérance et variance
Variable aléatoire
Définition
Une variable aléatoire est une application X: Ω −→ R, c’est-à-dire une fonction
qui associe un réel à chaque résultat possible d’une expérience. On note X(Ω)
l’ensemble des valeurs que peut prendre X.

Variables aléatoires Variables aléatoires continues Espérance et variance
Exemple
On joue à Pile ou Face.
Je parie 5 euros sur Pile.
Mon gain Xest défini par :
X: Ω = {Pile,Face} −→ R
Pile 7−→ 5
Face 7−→ −5.
On a ici X(Ω) = {5,−5}.
On lance un dé.
Je parie 5 euros sur un chiffre pair.
Mon gain Yest défini par :
Y: Ω = {1,...,6} −→ R
2,4,6 7−→ 5
1,3,5 7−→ −5.
On a ici Y(Ω) = {5,−5}.
Remarque : le choix du jeu n’a aucune importance.
D’un point de vue probabiliste, ces 2 jeux sont les mêmes.
P({Gagner 5 euros}) = P(X=5) = P(Y=5) = 1
2
P({Perdre 5 euros}) = P(X=−5) = P(Y=−5) = 1
2
Ces probabilités sont ce que l’on appelle la loi de X(et de Y) .

Variables aléatoires Variables aléatoires continues Espérance et variance
Exemple
On joue à Pile ou Face.
Je parie 5 euros sur Pile.
Mon gain Xest défini par :
X: Ω = {Pile,Face} −→ R
Pile 7−→ 5
Face 7−→ −5.
On a ici X(Ω) = {5,−5}.
On lance un dé.
Je parie 5 euros sur un chiffre pair.
Mon gain Yest défini par :
Y: Ω = {1,...,6} −→ R
2,4,6 7−→ 5
1,3,5 7−→ −5.
On a ici Y(Ω) = {5,−5}.
Remarque : le choix du jeu n’a aucune importance.
D’un point de vue probabiliste, ces 2 jeux sont les mêmes.
P({Gagner 5 euros}) = P(X=5) = P(Y=5) = 1
2
P({Perdre 5 euros}) = P(X=−5) = P(Y=−5) = 1
2
Ces probabilités sont ce que l’on appelle la loi de X(et de Y) .