TRIANGLE RECTANGLE ET TRIGONOMETRIE I) Triangle rectangle : 1) Triangle rectangle et cercle circonscrit : a) Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse. A C B Le triangle ABC est rectangle en A donc A est sur le cercle de diamètre [BC]. Réciproque : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés alors ce triangle est rectangle . A C B A est sur le cercle de diamètre [BC] donc le triangle ABC est rectangle en A. 1 b) Propriété 2 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. A C B I 1 Le triangle ABC est rectangle en A donc AI = BC , avec I milieu 2 de [BC]. Réciproque : Si , dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle. A C B I 1 AI = BC , avec I milieu de [BC] donc le triangle ABC est 2 rectangle en A. 2 2) Théorème de Pythagore : Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés. A C B Le triangle ABC est rectangle en B donc AC2 = AB2 + BC2 . Réciproque : Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse le plus grand côté. A C B AB2 + BC2 = AC2 donc le triangle ABC est rectangle en B. Contraposée : Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle. A C B AB2 + BC2 ≠ AC2 donc le triangle ABC n’est pas rectangle en B. 3 3) Exemple : a) Soit ABC un triangle tel que le point A soit sur le cercle de diamètre [BC]. Le point I est le milieu de [BC]. On donne BC = 8 cm et AB = 5 cm. 1) 2) 3) 4) Construire le triangle ABC. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. Calculer la distance AI. Justifier. Calculer la distance AC. Justifier. b) Soit MNP un triangle tel que MN = 6 cm, MP = 8 cm et NP = 10 cm. 1) Construire le triangle MNP. 2) Quelle est la nature du triangle MNP ? Justifier. 3) Où se situe le point M ? Justifier. II) Trigonométrie : 1) Cosinus d’un angle aigu : a) Définition: Soit ABC un triangle rectangle en A. On appelle cosinus de , le quotient de la longueur du côté adjacent à l’angle ABC par la longueur de l’hypoténuse. l’angle ABC C hypoténuse B A côté adjacent = cos ABC coté adjacent AB = hypoténuse BC 4 b) Exemples : 1) Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que AB = 4 cm et = 60° . ABC a) Construire le triangle ABC. b) Calculer la distance BC. c) En déduire la distance AC. 2) Soit GHI un triangle rectangle en I, tel que GH = 7 cm et GI = 3 cm. a) Construire le triangle GHI. b) Calculer la distance HI. . c) En déduire une mesure de l’angle GHI (on donnera l’arrondi au dixième) 5 2) Sinus d’un angle aigu : a) Activité: b) Définition: Soit ABC un triangle rectangle en A. On appelle sinus de , le quotient de la longueur du côté opposé à l’angle ABC par la longueur de l’hypoténuse. l’angle ABC C hypoténuse côté opposé B A = sin ABC côté opposé AC = hypoténuse BC c) Remarque: C hypoténuse B A côté opposé = sin ACB côté opposé AB = BC hypoténuse d) Exemple: Soit MNP un triangle rectangle en M tel que MN = 3 cm et NP = 6 cm. 1) Construire le triangle MNP. . 2) Calculer le sinus de l’angle MPN 6 e)) Calcul d’une longueur à l’aide du sinus d’un angle aigu: aigu Connaissant la mesure d’un angle aigu et la longueur de l’hypoténuse ou du côté opposé à cet angle, on peut calculer la longueur des autres côtés. Exemple : On donne la figure ci-dessous. ci a) Calculer LK. LK b) Calculer KM (arrondir au dixième de centimètre) centimètre). f) Calcul de la mesure d’un angle connaissant son sinus sinus: Pour calculer la mesure d’un angle connaissant le sinus de cet -1 angle, on utilise la touche de la calculatrice : sin , arcsinus (asn). La calculatrice doit-être doit en degré. Exemple 1: tel que : Calculer une mesure de l’angle BAC (on donnera l’arrondi au degré) 1 1) sin BAC 3 7 2) sin BAC 11 8 3) sin BAC 9 Exemple 2: Soit RST un triangle rectangle en T tel que ST = 4 cm et RS = 8,5 cm. a) Construire le triangle RST. . b) Calculer une mesure de l’angle SRT (On On donner donnera l’arrondi au degré). 7 3) Tangente d’un angle aigu : a) Définition: Soit ABC un triangle rectangle en A. On appelle tangente de , le quotient de la longueur du côté opposé à l’angle ABC par la longueur du côté adjacent à l’angle ABC . l’angle ABC C côté opposé B A côté adjacent = tan ABC côté opposé AC = côté adjacent AB b) Remarque: C côté adjacent B A côté opposé = tan ACB côté opposé AB = côté adjacent AC c) Exemple: Soit MNP un triangle rectangle en M tel que MN = 2 cm et MP = 5 cm. 1) Construire le triangle MNP. . 2) Calculer la tangente de l’angle MNP . 3) Calculer la tangente de l’angle MPN 8 d) Calcul d’une longueur à l’aide de la tangente d’un angle aigu: Connaissant la mesure d’un angle aigu et la longueur du côté adjacent ou du côté opposé à cet angle, on peut calculer la longueur des autres côtés. Exemple : = 60° et Soit KLM un triangle rectangle en M tel que LKM KM = 4 cm. a) Construire le triangle KLM. b) Calculer LM et LK.(on donnera l’arrondi au dixième) e) Calcul de la mesure d’un angle connaissant sa tangente: Pour calculer la mesure d’un angle connaissant la tangente de cet -1 angle, on utilise la touche de la calculatrice : tan , arctangente (atn). La calculatrice doit-être en degré. Exemple 1: tel que : Calculer une mesure de l’angle BAC (on donnera l’arrondi au degré) = 3 1) tan BAC 4 4) tan BAC = 1 =2 2) tan BAC = 3,5 3) tan BAC Exemple 2: Soit RST un triangle rectangle en T tel que ST = 3 cm et RT = 7 cm. a) Construire le triangle RST. . b) Calculer une mesure de l’angle RST (On donnera l’arrondi au degré). 9 4) Relations entre cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu : + sinଶ A : a) cos ଶ A Propriété : Pour tout angle aigu A ൯ଶ + ൫sin A ൯ଶ = 1 ൫cos A + sinଶ A =1 ou cos ଶ A Démonstration: : b) tan A Pour tout angle aigu A = tan A ୱ୧୬ ୡ୭ୱ c) Remarque : , Pour tout angle aigu A , sin A et tan A sont positifs. cos A d) Exemple : et tan B sachant que B est un Calculer la valeur exacte de cos B = 5 . angle aigu tel que sin B 13 10