mesure de la constante d`influence

- 1 -
Expérience no 33
(Permittivité du vide Ho)
I.Introduction .......................................... 1
II.Théorie ............................................... 1
A.Champ electrique ................................. 1
B.Potentiel ........................................ 2
C.Tension .......................................... 3
D.La capacité ...................................... 4
E.Le condensateur plan ............................. 5
F.Mesure de capacité ............................... 6
III.Exercices ........................................... 7
A.Questions ........................................ 7
B.Exécution ........................................ 7
IV.Appendice ............................................. 8
A.Mesure par pont de Wheatstone .................... 8
B.Propriétés électriques et magnétiques de l’espace 8
C.Montrons que ............................. 9
V.Bibliographie ........................................ 10
La constante Ho apparaît dans le système d’unités MKSA. Elle n’a
pas une valeur prédéterminée comme Po (4• 10-7 NA-2), mais doit
être mesurée.
La mesure de Ho ne peut être réalisée directement (comme celle
d’une température avec un thermomètre par ex.) mais seulement
indirectement. Dans cette expérience la valeur de Ho sera déduite
de la mesure de la capacité C d’un condensateur plan de
dimensions connues:
C = Ho
S
d
S = surface des plaques en m2; d = distance entre les plaques en
m; [C] = F
Dans ce qui suit, nous utiliserons les symboles:
E
: champ électrique, Volt . m-1
A : travail du champ électrique, Joule
φ
: potentiel électrostatique, Volt
V : tension électrique, Volt
Q,q : charge électrique, coulomb
Φ
: flux du champ
E
La présence d’une charge électrique modifie l’espace qui
l’entoure. Elle crée un champ électrique. Ce champ peut être mis
en évidence au moyen d’un corps d’épreuve, constitué par une

- 2 -
charge q suffisamment faible.
En tous points de l’espace où
un champ électrique
E
agit, le
corps d’épreuve sera soumis à
une force
F
= q.
E
(1)
Si on déplace la charge q sur
un élément de chemin
d
s
dans le
champ
E
(xyz) le travail
effectué par la force est
dA =
F
.
d
s
= q(
E
.
d
s
) (2)
Pour un chemin P1P2 sur une
courbe C1, le travail vaudra
Fig. 1
A1,2 = q
&
E (& r )⋅d
&
s
P1
P
2
∫ (3)
Les champs électrostatiques
jouissent d’une propriété
particulière: le travail ne
dépend que des extrémités P1 et
P2 et non des chemins C1 ou C2.
Si donc on calcule le travail
effectué par la force
F
sur le
chemin fermé P1P2P1 on obtient
0, ce qui s’exprime par
q
E
∫
.
d
s
= 0 (4)
Fig. 2
Reprenons l’expression 3) dans le cas du champ électrostatique.
&
E ⋅d
&
s
A
P
∫ ne dépend que des points
A et P et non de C. Si A est
pris comme référence, la valeur
de cette intégrale ne dépendra
que du point P. On pourra donc
définir une fonction scalaire
I(P), le potentiel électro-
statique, telle que
Fig. 3

- 3 -
I(P) = -
&
E ⋅d
&
s
A
P
∫ avec I(A) = 0 par convention (5)
Le signe - dans cette équation provient du fait que l’on veut que
I(P) mesure l’énergie potentielle gagnée (ou perdue) par une
charge unité dans son déplacement de A à P. (Analogie complète
avec le potentiel du champ de gravitation).
La différence de potentiel entre deux points P1 et P2 sera:
 I2 - I1 = 'I = -
&
E ⋅d
&
s
P1
P
2
∫ (6)
Remarques:
- une surface équipotentielle est le lieu géométrique des points
d’égal potentiel I. Sur cette surface, 'I = 0. Il en résulte
que
E
est perpendiculaire à cette surface en tous points.
- La relation entre potentiel I et champ électrique
E
peut
s’écrire (voir appendice):
E
(P) = - (x,y,z) (7)
gra
d
I est un vecteur de composantes
∂φ
∂
x
,
∂φ
∂y,
∂φ
∂
z
La tension électrique V entre deux points P1 et P2 est définie
comme suit:
V = -(I2-I1) = I1-I2 = +
&
E ⋅d
&
s
P1
P
2
∫ (8)
Relation entre la charge (source) et le champ électrostatique
Une manière d’exprimer cette relation est la loi de Gauss
reliant le flux
Φ
du champ
E
à travers une surface fermée
contenant la charge Q.
Rappel:
Un élément de flux est défini
par
d) =
E
.
d
σ
(9)
où
d
σ
est un élément de surface
orienté.
Fig. 4

- 4 -
Loi de Gauss:
Ho)S = Ho
E
S
∫
⋅d
σ
= Q
Ho = permittivité du vide
[Ho] =
As
Vm
(10)
N.B. Q est la charge enfermée
par S
Fig. 5
Deux conducteurs L1 et L2 (voir Fig.6) portés à des potentiels I1
et I2 constituent un condensateur de capacité C.
La tension entre L1 et L2 est donnée par V =
&
E ⋅d
&
s
1
2
∫
De même que le flux, il est naturel que
E
soit proportionnel à Q
mais dépende de la géométrie relative de L1 par rapport à L2.
Alors, on peut écrire
&
E ⋅d
&
s
1
2
∫ =
Q
C
Finalement V =
Q
C
(11)
Remarques:
- Les conducteurs L1 et L2 peuvent avoir des formes et disposi-
tions relatives quelconques. Ce n’est que dans les cas de
géométries simples que l’on peut calculer explicitement la
valeur de C
Fig. 6
Le calcul de Ca est "impossible", ceux de Cb et Cc sont
possibles en négligeant les effets de bord.

- 5 -
- Dans le système MKSA, l’unité de capacité est le Farad (F)
1 F = 1
Coulomb
Volt
= 1 As/V
- Pratiquement, on ne rencontre pas de capacité de 1 Farad. En
effet, la capacité d’une sphère de rayon R par rapport à une
sphère concentrique de rayon infini vaut:
C = 4SHoR Farad (12)
Dans le système UES CGS, |C| = cm et (12) devient
C = R
Pour la terre C = 6 . 108 cm < 1F puisque 1F = 9 . 1011 cm
On utilisera par conséquent les grandeurs:
1PF (microfarad) = 10-6F
1nF (nanofarad) = 10-3PF = 10-9F
1pF (picofarad) = 10-6PF = 10-12F
Le symbole graphique du condensateur est - -
Surface d’une plaque = S; distance entre plaques = d
1) C = Q/V
2) V =
&
E ⋅d
&
s
1
2
∫
3)
+
Q
εo =
E ⋅d
σ
Σ
∫
= ) (Gauss)
Si d << S1/2 seul E entre les
plaques contribue à ) d’où
+Q/Ho = E.S ou encore E =
Q
εoS
2) devient V =
Q
εoS
ds
1
2
∫ =
Q
εoSd
1) devient C = Ho
S
d
(13)
Fig. 7
On obtient ainsi un moyen de mesurer Ho à partir de la mesure de
C, S et d.