mesure de la constante d`influence

- 1 Expérience no 33
(Permittivité du vide Ho)
I.
II.
Introduction .......................................... 1
Théorie ............................................... 1
A.
Champ electrique ................................. 1
B.
Potentiel ........................................ 2
C.
Tension .......................................... 3
D.
La capacité ...................................... 4
E.
Le condensateur plan ............................. 5
F.
Mesure de capacité ............................... 6
III.
Exercices ........................................... 7
A.
Questions ........................................ 7
B.
Exécution ........................................ 7
IV. Appendice ............................................. 8
A.
Mesure par pont de Wheatstone .................... 8
B.
Propriétés électriques et magnétiques de l’espace 8
C.
Montrons que
............................. 9
V.
Bibliographie ........................................ 10
La constante Ho apparaît dans le système d’unités MKSA. Elle n’a
pas une valeur prédéterminée comme Po (4• 10-7 NA-2), mais doit
être mesurée.
La mesure de Ho ne peut être réalisée directement (comme celle
d’une température avec un thermomètre par ex.) mais seulement
indirectement. Dans cette expérience la valeur de Ho sera déduite
de la mesure de la capacité C d’un condensateur plan de
dimensions connues:
S
C = Ho
d
S = surface des plaques en m2; d = distance entre les plaques en
m; [C] = F
Dans ce qui suit, nous utiliserons les symboles:
E
: champ électrique, Volt . m-1
A
: travail du champ électrique, Joule
φ
: potentiel électrostatique, Volt
V
: tension électrique, Volt
Q,q : charge électrique, coulomb
Φ
: flux du champ E
La présence d’une charge électrique modifie l’espace qui
l’entoure. Elle crée un champ électrique. Ce champ peut être mis
en évidence au moyen d’un corps d’épreuve, constitué par une
- 2 charge q suffisamment faible.
En tous points de l’espace où
un champ électrique E agit, le
corps d’épreuve sera soumis à
une force
= q. E
F
(1)
Si on déplace la charge q sur
un élément de chemin d s dans le
champ
E (xyz)
le
travail
effectué par la force est
dA = F . d s = q( E . d s )
(2)
Pour un chemin P1P2 sur une
courbe C1, le travail vaudra
Fig. 1
P2
A1,2 = q
∫
& &
&
E(r ) ⋅ d s
(3)
P1
Les
champs
électrostatiques
jouissent
d’une
propriété
particulière:
le
travail ne
dépend que des extrémités P1 et
P2 et non des chemins C1 ou C2.
Si donc on calcule le travail
effectué par la force F sur le
chemin fermé P1P2P1 on obtient
0, ce qui s’exprime par
∫ E .ds
q
= 0
(4)
Fig. 2
Reprenons l’expression 3) dans le cas du champ électrostatique.
P
&
&
∫ E ⋅ ds
ne dépend que des points
A
A et P et non de C. Si A est
pris comme référence, la valeur
de cette intégrale ne dépendra
que du point P. On pourra donc
définir une fonction scalaire
I(P),
le
potentiel
électrostatique, telle que
Fig. 3
- 3 P
I(P) = -
∫
&
&
E ⋅ ds
avec I(A) = 0 par convention
(5)
A
Le signe - dans cette équation provient du fait que l’on veut que
I(P) mesure l’énergie potentielle gagnée (ou perdue) par une
charge unité dans son déplacement de A à P. (Analogie complète
avec le potentiel du champ de gravitation).
La différence de potentiel entre deux points P1 et P2 sera:
P2
&
&
∫ E ⋅ ds
I2 - I1 = 'I = -
(6)
P1
Remarques:
- une surface équipotentielle est le lieu géométrique des points
d’égal potentiel I. Sur cette surface, 'I = 0. Il en résulte
que E est perpendiculaire à cette surface en tous points.
I
- La relation entre potentiel
s’écrire (voir appendice):
et
champ
électrique
E
peut
E (P)
= - (x,y,z)
grad I est un vecteur de composantes
(7)
∂φ
∂φ
∂φ
,
,
∂x
∂y
∂z
La tension électrique V entre deux points P1 et P2 est définie
comme suit:
P2
&
&
V = -(I2-I1) = I1-I2 = + ∫ E ⋅ ds
(8)
P1
Relation entre la charge (source) et le champ électrostatique
Une manière d’exprimer cette relation est la loi de Gauss
reliant le flux Φ du champ E à travers une surface fermée
contenant la charge Q.
Rappel:
Un élément de flux est défini
par
d) = E . dσ
(9)
où dσ est un élément de surface
orienté.
Fig. 4
- 4 Loi de Gauss:
Ho)S = Ho ∫ E ⋅ dσ = Q
S
Ho = permittivité du vide
[Ho] =
As
Vm
(10)
N.B. Q est la charge enfermée
par S
Fig. 5
Deux conducteurs L1 et L2 (voir Fig.6) portés à des potentiels I1
et I2 constituent un condensateur de capacité C.
2
La tension entre L1 et L2 est donnée par V =
&
∫E
&
⋅ ds
1
De même que le flux, il est naturel que E soit proportionnel à Q
mais dépende de la géométrie relative de L1 par rapport à L2.
Alors, on peut écrire
2
&
∫E
1
Finalement
V =
&
Q
⋅ ds =
C
Q
C
(11)
Remarques:
- Les conducteurs L1 et L2 peuvent avoir des formes et dispositions relatives quelconques. Ce n’est que dans les cas de
géométries simples que l’on peut calculer explicitement la
valeur de C
Fig. 6
Le calcul de Ca est "impossible", ceux de
possibles en négligeant les effets de bord.
Cb
et
Cc
sont
- 5 - Dans le système MKSA, l’unité de capacité est le Farad (F)
Coulomb
1 F = 1
= 1 As/V
Volt
- Pratiquement, on ne rencontre pas de capacité de 1 Farad. En
effet, la capacité d’une sphère de rayon R par rapport à une
sphère concentrique de rayon infini vaut:
C = 4SHoR
Farad
(12)
Dans le système UES CGS, |C| = cm et (12) devient
C = R
Pour la terre C = 6 . 108 cm < 1F puisque 1F = 9 . 1011 cm
On utilisera par conséquent les grandeurs:
1PF
(microfarad)
= 10-6F
1nF
(nanofarad)
= 10-3PF = 10-9F
1pF
(picofarad)
= 10-6PF = 10-12F
Le symbole graphique du condensateur est - -
Surface d’une plaque = S; distance entre plaques = d
1) C = Q/V
2
&
&
2) V = ∫ E ⋅ ds
1
+Q
3)
=
εo
∫E
⋅ dσ = ) (Gauss)
Σ
Si d << S1/2 seul E entre les
plaques contribue à ) d’où
Q
+Q/Ho = E.S ou encore E =
ε oS
2
2) devient V =
Q
Q
ds =
d
∫
ε oS 1
ε oS
1) devient C = Ho
S
d
(13)
Fig. 7
On obtient ainsi un moyen de mesurer Ho à partir de la mesure de
C, S et d.
- 6 -
La mesure de C pourrait se faire à partir de la définition C=Q/V
(Méthode de Maxwell).
Mais considérons le fait que:
1F = 1C/V = 1As/V = 1s/•
On doit donc pouvoir déterminer C par une mesure de temps et de
résistance. La mesure s’effectue dans un dispositif semblable au
pont de Wheatstone.
Rc: résistance de protection
R1: résistance variable connue
R2 et R3:résistances fixes connues
G = PA-mètre
C = capacité à mesurer
I = relais au mercure
Il
relie alternativement
3 aux
points 1 et 2. En position 1, le
condensateur se charge à travers R3,
R2 et G, et en 2 il est courtcircuité et se décharge.
Si Q est la fréquence d’interruption, C se déchargera et
chargera Q fois par sec. Dans la branche AE circulera Q fois par
seconde une impulsion de charge Q=CV’. V’ = tension aux bornes
du condensateur. (Il est clair que le temps de charge de C doit
être beaucoup plus petit que 1/Q).
Par conséquent, il s’écoulera un courant moyen
J = QQ = QCV’
(14)
Par analogie avec la loi d’Ohm
1
J =
V’
(15)
R
On voit que la branche AE présente une résistance équivalente
1
R4 =
(16)
νC
La condition d’équilibre du pont, c’est-à-dire pour laquelle
aucun courant ne passe dans le galvanomètre est (cf. courant
continu):
R1R3 = R2R4
donc
1 R2
C =
(=C* dans l'expérience)
ν R 1R3
Pour des mesures de grande précision, il faudrait faire intervenir les résistances internes du galvanomètre et de la source
de tension. (cf. appendice).
Dans notre cas, ces corrections sont assez petites pour être négligées.
- 7 -
!
!
1) Déterminer C* (cf. Fig.9) pour 10 valeurs de l’écartement d
entre les armatures.(2mm < d < 10mm). Le choix se portera sur
des valeurs de d telles que les grandeurs 1/d soient
équidistantes.
2) Tracer la courbe C* = f(1/d) et, à partir de la géométrie du
dispositif, en tirer la valeur de Ho.
3) Déterminer graphiquement 'C.
4) Vérifier que HoPo = 1/c2.
5) Examiner et discuter les différentes causes d’erreur.
"
Le schematic de l’expérience est décrit pars Fig. 10.
L’écartement du condensateur plan est déterminé par 3 vis
micrométriques. Manipuler l’appareillage de façon à ne pas
forcer sur le dispositif de mesure de l’écartement. Le courant
pulsatoire est donné par un relais à mercure, fréquence 50 Hz.
Ajuster R1 de manière à obtenir un courant nul dans le
galvanomètre G. Utiliser successivement les sensibilités 500, 50
et 5 mV.
Le schéma équivalent de l’appareillage de mesure est le suivant:
Le pont et les conducteurs le
reliant à C représentent une
capacité parasite ∆ C qu’on ne
peut calculer. Par un câblage
approprié,
on
la
maintiendra
aussi petite que possible.
NE PAS MODIFIER LA GEOMETRIE DU
CABLAGE PENDANT LA MESURE.
Le pont permet donc de mesurer
Fig. 9
en fait C* = C + 'C.
On reportera sur un graphique C* en fonction de 1/d et on
1
tracera la meilleure droite représentant C* = HoS
+ 'C.
d
L’intersection à l’origine donnera 'C et la pente donnera HoS.
- 8 -
Fig. 10
"
##
#
Le Handbuch der Physik vol. XVI p. 509 traite de la mesure par
pont de Wheatstone telle que nous l’avons décrite et donne pour C
la relation suivante:
1 R2
C =
f
ν R 1R3
où
R2
1 −
( R1 + R2 + R s )( R 2 + R 3 + R g )
f =
R 2R g
R2 Rs
1 +
1 +
R 1(R 2 + R3 + R g )
R3 (R 1 + R 2 + R s )
Rs et Rg sont les résistances internes de la batterie et du
galvanomètre respectivement.
Si Rs et Rg sont petits et si R2 << 1/QC et R1 >> R2 alors f • 1.
C’est ce que nous avons dans notre cas.
$
%
L’espace possède des propriétés électriques et magnétiques qui ne
sont pas indépendantes l’une de l’autre. Les courants électriques
sont la source des champs magnétiques et la propriété de l’espace
caractérisant cette relation entre courant et champ est donnée
par une constante Po qu’on appellera constante d’induction ou
mieux perméabilité du vide. Les sources des champs électrostatiques sont les charges électriques. La constante Ho, constante
d’influence ou mieux permittivité du vide, caractérise les
propriétés électriques de l’espace.
Dans le système d’unités MKSA, on pose par définition
P0 = 4• . 10-7 Vs/A.m = Henry/m = H/m
Cette convention permet alors de définir l’Ampère à partir du
- 9 champ produit par un courant et de l’action de ce champ sur un
autre courant. Cette interaction dépend en effet de Po:
1A = Intensité du courant J parcourant deux conducteurs
métalliques minces rectilignes, parallèles et distants de d = 1m,
lorsque la force/m agissant entre eux F = PoJ2/2•d vaut 2.10-7
Newton.
Il est évident qu’une fois la valeur de Po choisie, celle de Ho
n’est plus arbitraire mais doit être déterminée par l’expérience.
L’espace vide peut être le siège d’ondes électromagnétiques qui
font intervenir à la fois ses propriétés électriques et magnétiques. La propagation de telles ondes électromagnétiques, dont la
lumière est un cas particulier sera évidemment liée aux grandeurs
Ho et Po. Les équations fondamentales de l’électrodynamique
(équations de Maxwell) montrent en effet que la vitesse de
propagation c de la lumière dans le vide est donnée par
1
ε o µo
vitesse de la lumière c =
La considération des dimensions rend ce résultat immédiatement
plausible.
Soit une fonction I(xyz) en P. En un point P’ (x+h1, y+h2, z+h3)
la fonction vaudra selon la formule des accroissements finis:
∂φ
∂φ
∂φ
1) I(x+h1, y+h2, z+h3) = I(xyz) + h1
+ h2
+ h3
∂x Q
∂y Q
∂z Q
Q étant un point situé sur le segment PP’ = 'S.
Considérons dans l’espace une direction fixée par un vecteur
unité u fixant la direction du segment PP’: ∆ S = ∆ S. u .
h1 qui est l’accroissement selon x vaudra ∆ S . i où i est un
vecteur unité fixé sur l’axe des x ( j sur y, k sur z). De même
h2 = ∆ S . j , h3 = ∆ S . k .
Considérons maintenant le rapport:
φ(P’) − φ(P)
φ(x + ∆ S ⋅ i , y + ∆S ⋅ j ,z + ∆ S ⋅ k ) − φ( xyz)
2)
=
∆S
∆S
Ce qui au moyen de 1) devient:
∂φ
& &
∂φ
& &
∂φ
& &
∆Su ⋅ i +
∆Su ⋅ j +
∆Su ⋅ k
∂x Q
∂y Q
∂z Q
2') =
∆S
A la limite où Q → P, on a
&
∂φ &
∂φ &
∂φ &
= u .[
i +
j+
k] = u .G
∂x P
∂y P
∂z P
Expression que l’on note
 ∂φ 
 ∂s  u
- 10 C’est-à-dire la dérivée de I dans la direction u .
Le vecteur G est appelé gradient de la fonction I et se note
.
On voit que le produit scalaire u ·
même direction que le gradient.
est maximum quand u a la
La variation de la fonction I sera donc maximum dans la direction
du gradient.
Comme par définition -dA = dI = - E . d s
 ∂φ 
ds
= -E .
= - E . u ; d’où par comparaison
 ∂s  u
ds
E
= - grad I
Pour une fonction régulière f, on montre que rot. grad f = 0.
Dans notre cas, on aura donc: rot E = 0, ce qui est bien en accord
avec la loi de Stokes:
∫
v ⋅ ds =
C
∫∫ rotv
⋅ dσ
Σ
Où v = champ vectoriel et • = surface quelconque limitée par C.
Nous avons vu (équ. 4) que
∫
E ⋅ ds = 0, C étant une courbe fermée
C
quelconque. L’intégrale de surface ne sera nulle que si rot E ≡ 0.
" $ %& ' (#
1) J. Rossel, Physique générale, Ed. du Griffon,Neuchâtel 1970
2) H. Schilt, Précis de physique générale III, Electricité, Ed.
du Griffon, Neuchâtel 1950
3) Handbuch der Physik XVI, p. 509 ss