1) Cinmatique du point

1re B et C
1 Cinématique du Point
Chapitre 1: Cinématique du Point
1. Position par rapport à un référentiel
G G G
a) Repère cartésien (0, i , j, k ) (lié au référentiel)
Nous utiliserons ce repère si la trajectoire est rectiligne ou parabolique (tir oblique, ...)
JJJJG
La position du mobile M est repérée par son vecteur position : OM
x
JJJJG
JJJJG
G G G
OM y ⇔ OM = xi + yj + zk
z
G G
b) Repère de Frenet (M, T, N ) (lié au mobile)
La trajectoire doit être connue d’avance !
Nous utiliserons ce repère si la trajectoire est circulaire/elliptique (satellites, charges dans un
champ magnétique, ...)
La trajectoire est munie d’une origine O. Elle est orientée (si possible dans le sens du
mouvement).
La position du mobile M est repérée par son abscisse curviligne s.
1
1re B et C
1 Cinématique du Point
G
G
Le repère de Frenet est lié au point M. Il comporte deux vecteurs unitaires T et N :
G
• T est tangent à la trajectoire au point M et orienté dans le sens de l’orientation de la
trajectoire.
G
G
• N est perpendiculaire à T et dirigé vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.
G
G
Si la trajectoire n'est pas plane on ajoute un troisième vecteur unitaire k perpendiculaire à T
G
et N .
2. Vitesse par rapport à un référentiel
a) Définition
⎯⎯→
⎯⎯→
G
Δ OM d OM
v = lim
=
(1)
Δt → 0
Δt
dt
⎯⎯→
G
La vitesse instantanée v est la dérivée de la position OM par rapport au temps.
La vitesse exprime la rapidité avec laquelle la position varie.
G
Le vecteur vitesse v est tangent à la trajectoire.
2
1re B et C
1 Cinématique du Point
b) Coordonnées cartésiennes
vx
G
G
G
G
G
v vy ⇔ v = vx i + vy j + vzk
3
(2)
vz
x
⎯
⎯→
G G G
OM y ⇔ OM = x i + y j + zk
⎯
⎯→
(3)
z
G
G d G G
(1) et (3) ⇒ v = ( x i + y j + zk )
dt
G dx G dy G dz G
v=
i+
j+ k
dt
dt
dt
(2) et (4) ⇒ v x =
dx
dt
vy =
(4)
dy
dt
vz =
dz
dt
c) Coordonnées de Frenet
G
G
G v
G
v T ⇔ v = vTT + v N N
vN
G
G
G
Comme v est tangent à la trajectoire vN = 0 ⇒ v = v T ⋅ T
JJJJG
JJJJJJJG
Δ OM
M1M 2
G
Définition de la vitesse : v = lim
avec Δt = t2 – t1
= lim
Δt → 0
Δt → 0
Δt
Δt
JJJJJJJG
G
Δs ⎞ G
G ⎛
Δt → 0 ⇒ M1M 2 → ΔsT ⇒ v = ⎜ lim
⎟⋅T
⎝ Δt → 0 Δ t ⎠
G ds G
Finalement v = T
dt
⇒
vT =
ds
dt
et
vN = 0
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d) Vitesse linéaire et vitesse angulaire dans le cas du mouvement circulaire uniforme
Un mobile M se déplace à vitesse constante v sur une trajectoire circulaire de rayon R.
Origine des temps et des espaces: à t = 0, M se trouve à l'origine O de la trajectoire circulaire
que l'on oriente dans le sens du mouvement.
La position du mobile peut être repérée soit par son abscisse curviligne s, soit par son
abscisse angulaire θ qui mesure l'angle de la rotation depuis l'origine O sur le cercle.
A l'instant t1, son abscisse
curviligne est s1, à l'instant t2, il est
s2. Son déplacement pendant la
durée Δt = t2 − t1 est Δs = s2 − s1.
A l'instant t1, son abscisse
angulaire est θ1. (C'est l'angle entre
CO et CM1.) A l'instant t2, il est θ2.
Son angle de rotation pendant la
durée Δt = t2 − t1 est Δθ = θ2 − θ1.
La mesure de l'abscisse angulaire θ
est positive si la trajectoire du
point a été orientée dans le sens du
mouvement ! Cette mesure s'exprime en radians (rad) dans le Système International d'unités.
•
Relation entre l’arc et l’angle:
Δs = R ⋅ Δθ , où Δθ est exprimé en rad
Le radian est donc l'angle pour lequel l'arc est égal au rayon.
Pour 1 tour complet, Δs = 2πR.
On a donc: 1 tour = 360° = 2π rad.
•
Vitesse linéaire v (instantanée):
C'est la vitesse instantanée de M: v = v T =
Dans le cas du mouvement uniforme
v=
ds
.
dt
Δs
Δt
(formule vue en classe de 2e)
1re B et C
•
1 Cinématique du Point
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Vitesse angulaire ω (instantanée):
C'est l'angle duquel M tourne par unité de temps: ω = lim
Δt → 0
Dans le cas du mouvement uniforme
ω=
Δθ
Δt
Δθ dθ
=
Δt
dt
(formule à retenir)
Unité S.I.: 1 rad/s.
•
Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire d'un point:
Δs
Δθ
R ⋅ Δθ
=
= R⋅
= R ⋅ω
Δt
Δt
Δt
v=
v = R ⋅ω
Finalement:
•
(formule à retenir)
Période de rotation T
C'est la durée d'1 tour: Δt = T si Δθ = 2π
ω=
•
2π
2π
⇔ Période T =
ω
T
(formule à retenir)
Fréquence de rotation f
C'est le nombre de tours par seconde.
En T secondes il y a 1 tour
En 1 seconde il y a 1/T tours
Fréquence f =
1
exprimée en hertz (Hz)
T
(formule à retenir)
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3. Accélération par rapport à un référentiel
a) Définition
G
G
G
Δv dv
=
a = lim
(1)
Δt → 0 Δ t
dt
G
G
L’accélération a est la dérivée de la vitesse v par rapport au temps.
L'accélération exprime la rapidité avec laquelle la vitesse varie.
⎯⎯→
⎯⎯→
⎛ ⎯⎯→ ⎞
G d OM G d ⎜ d OM ⎟ d 2 OM
Comme v =
, a= ⎜
⎟=
dt
dt ⎜ dt ⎟
dt 2
⎠
⎝
⎯⎯→
G
L’accélération a est la dérivée seconde de la position OM par rapport au temps.
b) Coordonnées cartésiennes
ax
G
G
G
G
G
a a y ⇔ a = a x i + a y j + a zk
az
(2)
vx
G
G
G
G
G
v vy ⇔ v = vx i + vy j + vzk
(3)
vz
G
G
G
G d
(1) et (3) ⇒
a = (v x i + v y j + v z k )
dt
G dv G dv y G dv z G
a= x i+
j+
k
(4)
dt
dt
dt
dv y
dv
dv
ax = x ; ay =
; az = z
(2) et (4) ⇒
dt
dt
dt
6
1re B et C
Or v x =
dx
dt
1 Cinématique du Point
⇒ ax =
d2x
dt 2
De même pour ay et az ⇒ a x =
d2x
d2y
d 2z
;
a
;
a
=
=
y
z
dt 2
dt 2
dt 2
c) Coordonnées de Frenet
G
G
G a
G
a T ⇔ a = a TT + a N N
aN
G
G
a exprime la rapidité avec laquelle v varie
- en norme ;
- en direction.
•
G
G
G G
Mouvement rectiligne: a & v (résultat de la classe de 2e) ⇒ a = a T T et aN = 0
Déterminons aT !
G
G
Δv
a = lim
Δt → 0 Δ t
G
v − v1T G
a = lim 2T
T
Δt →0
Δt
Δv G
G
a = lim T T
Δt →0 Δt
dv
G dv G
a = T T ⇒ aT = T
dt
dt
La composante tangentielle de l'accélération exprime la rapidité avec laquelle la norme
de la vitesse varie.
G G
v et a de même sens ⇔ v augmente ⇔ mvt de plus en plus rapide
G G
v et a de sens opposé ⇔ v diminue ⇔ mvt de plus en plus lent (freinage)
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1re B et C
•
1 Cinématique du Point
Mouvement circulaire uniforme de rayon R: v constant ⇒ a T =
8
G
G
dv T
= 0 et a = a N N
dt
Déterminons aN !
G
G
Δv
a = lim
Δt → 0 Δ t
* Signe de aN :
G
G
G
G
Δt → 0 ⇒ Δv → 0 ⇒ direction et sens de Δv → direction et sens de N
G
G
G
Donc : a de même direction et de même sens que N ⇔ aN > 0 ⇔ a est centripète
* Valeur de aN :
G
G
Δv
Δv
a = a N = lim
= lim
Δt → 0 Δt
Δt → 0 Δt
Δt → 0 ⇒ Δθ → 0
(v1 = v2 = v)
v ⋅ Δθ
Δt →0
Δt
Δθ
= v ⋅ lim
Δt → 0 Δt
= v⋅ω
G
G
(Δθ entre v1 et v 2 =
abscisse angulaire entre
les
vecteurs
positions
JJJJJG
JJJJJG
OM1 et OM 2 !)
a N = lim
Comme v = Rω
aN =
v2
= Rω 2 = vω
R
p
⇒ corde AB → arc AB
G
p = v ⋅ Δθ
⇒ Δv → AB
1re B et C
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Conclusions:
1) Au cours d'un mouvement
circulaire uniforme de rayon R
et de vitesse v (de vitesse
angulaire ω), l'accélération est
centripète et de norme
v2
a = aN =
= Rω 2
R
2) L'accélération normale exprime
la rapidité avec laquelle la
direction de la vitesse varie.
d) Exemples
G G
G G
v ⋅ a > 0 ⇔ angle entre v et a aigu ⇔ v augmente ⇔ mvt de plus en plus rapide
G G
G G
v ⋅ a < 0 ⇔ angle entre v et a obtu ⇔ v diminue ⇔ mvt de plus en plus lent (freinage)
G G
G G
v ⋅ a = 0 si angle rectangle entre v et a ⇔ v constant ⇔ mvt uniforme
G G
G G
K
v ⋅ a = 0 si a = 0 ⇔ v constant ⇔ mvt rectiligne et uniforme
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1re B et C
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4. Mouvements rectilignes
Nous les étudions dans un repère cartésien comportant un seul axe Ox parallèle au
mouvement.
Nous établirons les formules vues en classe de 2e beaucoup plus aisément à l'aide des
relations avec les dérivées.
a) Mouvement rectiligne uniforme (MRU)
C'est un mouvement à vecteur accélération nul!
*
Conditions initiales (C.I.)
t = 0 ⇒ x = x0
(1)
vx = v0x
*
*
Accélération
G G
a = 0 ⇒ ax = 0
(2)
∀t
Vitesse
ax =
dv x
⇒ v x = K (K = constante d'intégration)
dt
(3)
Déterminons K : t = 0 : (2) ⇒ vx = v0x
(3) ⇒ vx = K
D'où : K = v0x !
Finalement : v x = v 0 x
*
∀t
Position
dx
⇒ x = v 0 x t + K ' (K' = constante d'intégration)
dt
Déterminons K' : t = 0 (1) ⇒ x = x0
Or v x =
(4) ⇒ x = K’
D'où : K' = x0 !
Finalement : x = v 0 x t + x 0
∀t
(4)
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b) Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)
C'est un mouvement à vecteur accélération constant!
*
Conditions initiales (C.I.)
t = 0 ⇒ x = x0
(1)
vx = v0x
*
*
(2)
Accélération
G
a constant ⇒ ax constant
∀t
Vitesse
ax =
dv x
⇒ v x = a x t + K (K = constante d'intégration)
dt
(3)
Déterminons K : t = 0 : (2) ⇒ vx = v0x
(3) ⇒ vx = K
D'où : K = v0x !
Finalement : v x = a x t + v 0 x
*
∀t
(4)
Position
Or v x =
1
dx
⇒ x = a x t 2 + v 0 x t + K ' (K' = constante d'intégration) (5)
dt
2
Déterminons K' : t = 0
(1) ⇒ x = x0
(5) ⇒ x = K'
D'où : K' = x0 !
Finalement : x =
1
a x t 2 + v 0x t + x 0
2
∀t
(6)
En éliminant t entre (4) et (6) on obtient une relation entre les vitesses et les abscisses :
v 2x − v 02 x = 2a x ( x − x 0 )
⇔
( )
Δ v 2x = 2a x Δx