Chapitre 1: Cinématique du Point

1re B et C
1 Cinématique du Point
Chapitre 1: Cinématique du Point
1. Position par rapport à un référentiel
  
a) Repère cartésien (0, i , j, k ) (lié au référentiel)
Nous utiliserons ce repère si la trajectoire est rectiligne ou parabolique (tir oblique, ...)

La position du mobile M est repérée par son vecteur position : OM
x


  
OM y  OM  xi  yj  zk
z
 
b) Repère de Frenet (M, T , N ) (lié au mobile)
La trajectoire doit être connue d’avance !
Nous utiliserons ce repère si la trajectoire est circulaire/elliptique (satellites, charges dans un
champ magnétique, ...)
La trajectoire est munie d’une origine O. Elle est orientée (si possible dans le sens du
mouvement).
La position du mobile M est repérée par son abscisse curviligne s.
1
1re B et C
1 Cinématique du Point


Le repère de Frenet est lié au point M. Il comporte deux vecteurs unitaires T et N :

 T est tangent à la trajectoire au point M et orienté dans le sens de l’orientation de la
trajectoire.


 N est perpendiculaire à T et dirigé vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.


Si la trajectoire n'est pas plane on ajoute un troisième vecteur unitaire k perpendiculaire à T

et N .
2. Vitesse par rapport à un référentiel
a) Définition



 OM d OM
v  lim

(1)
t 0
t
dt


La vitesse instantanée v est la dérivée de la position OM par rapport au temps.
La vitesse exprime la rapidité avec laquelle la position varie.

Le vecteur vitesse v est tangent à la trajectoire.
2
1re B et C
1 Cinématique du Point
b) Coordonnées cartésiennes
vx





v vy  v  vx i  vy j  vzk
vz
(2)
x


  
OM y  OM  x i  y j  zk


3
(3)
z
 d   
(1) et (3)  v  (x i  y j  zk )
dt
 dx  dy  dz 
v
i
j k
dt
dt
dt
(2) et (4)  v x 
dx
dt
vy 
(4)
dy
dt
vz 
dz
dt
c) Coordonnées de Frenet


 vT

v
 v  vT T  v N N
vN



Comme v est tangent à la trajectoire vN = 0  v  vT  T


OM
M1M 2

Définition de la vitesse : v  lim
 lim
avec t = t2 – t1
t 0
t 0
t
t


 
s  
t  0  M1M 2  sT  v   lim
T
 t 0 t 
 ds 
Finalement v  T
dt

vT 
ds
dt
et
vN = 0
1re B et C
1 Cinématique du Point
4
d) Vitesse linéaire et vitesse angulaire dans le cas du mouvement circulaire uniforme
Un mobile M se déplace à vitesse constante v sur une trajectoire circulaire de rayon R.
Origine des temps et des espaces: à t = 0, M se trouve à l'origine O de la trajectoire circulaire
que l'on oriente dans le sens du mouvement.
La position du mobile peut être repérée soit par son abscisse curviligne s, soit par son
abscisse angulaire  qui mesure l'angle de la rotation depuis l'origine O sur le cercle.
A l'instant t1, son abscisse
curviligne est s1, à l'instant t2, il est
s2. Son déplacement pendant la
durée t = t2  t1 est s = s2  s1.
A l'instant t1, son abscisse
angulaire est 1. (C'est l'angle entre
CO et CM1.) A l'instant t2, il est 2.
Son angle de rotation pendant la
durée t = t2  t1 est  = 2  1.
La mesure de l'abscisse angulaire 
est positive si la trajectoire du
point a été orientée dans le sens du
mouvement ! Cette mesure s'exprime en radians (rad) dans le Système International d'unités.

Relation entre l’arc et l’angle :
s  R   , où  est exprimé en rad
Le radian est donc l'angle pour lequel l'arc est égal au rayon.
Pour 1 tour complet, s = 2R.
On a donc : 1 tour = 360° = 2 rad.

Vitesse linéaire v (instantanée) :
C'est la vitesse instantanée de M: v  v T 
Dans le cas du mouvement uniforme
v
ds
.
dt
s
t
(formule vue en classe de 2e)
1re B et C

1 Cinématique du Point
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Vitesse angulaire  (instantanée) :
C'est l'angle duquel M tourne par unité de temps:   lim
t  0
Dans le cas du mouvement uniforme


t

 d

t
dt
   t
(formule à retenir)
Unité S.I.: 1 rad/s.

Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire d'un point :
s R  


 R
 R 
t
t
t
v
v  R 
Finalement:

(formule à retenir)
Période de rotation T :
C'est la durée d'1 tour : t  T si   2


2
2
 Période T 

T
(formule à retenir)
Fréquence de rotation f :
C'est le nombre de tours par seconde.
En T secondes il y a 1 tour
En 1 seconde il y a 1/T tours
Fréquence f 
1
exprimée en hertz (Hz)
T
(formule à retenir)
1re B et C
1 Cinématique du Point
3. Accélération par rapport à un référentiel
a) Définition



v dv
a  lim

(1)
t  0 t
dt


L’accélération a est la dérivée de la vitesse v par rapport au temps.
L'accélération exprime la rapidité avec laquelle la vitesse varie.


  
 d OM  d  d OM  d 2 OM
Comme v 
, a 

dt
dt  dt 
dt 2




L’accélération a est la dérivée seconde de la position OM par rapport au temps.
b) Coordonnées cartésiennes
ax





a a y  a  a x i  a y j  azk
(2)
az
vx





v vy  v  vx i  vy j  vzk
(3)
vz
(1) et (3) 
(2) et (4) 



 d
a  (v x i  v y j  v z k )
dt
 dv  dv y  dv z 
a x i
j
k
(4)
dt
dt
dt
dv y
dv
dv
ax  x ; ay 
; az  z
dt
dt
dt
6
1re B et C
Or v x 
dx
dt
1 Cinématique du Point
 ax 
d2x
dt 2
De même pour ay et az  a x 
d2x
d2y
d2z
;
a

;
a

y
z
dt 2
dt 2
dt 2
c) Coordonnées de Frenet


 aT

a
 a  a TT  a N N
aN


L’accélération exprime la rapidité avec laquelle v varie en norme et en direction.

 

Accélération d’un mobile en mouvement rectiligne : a  v  a  a T T et aN = 0
Déterminons aT !


v
a  lim
t 0 t

v  v1T 
a  lim 2T
T
t  0
t

v T 
a  lim
T
t  0 t
 dv 
a TT
dt
Finalement : a T 
dvT
et aN = 0
dt
La coordonnée tangentielle de l'accélération exprime la rapidité avec laquelle la norme de
la vitesse varie.
 
v et a de même sens  v augmente  mvt de plus en plus rapide
 
v et a de sens opposé  v diminue  mvt de plus en plus lent (freinage)
7
1re B et C

1 Cinématique du Point
8
Accélération d’un mobile en mouvement circulaire uniforme
Méthode 1
y
M effectue un mouvement uniforme de
vitesse v sur une trajectoire circulaire de
rayon R.
v
T
M (t)
N
A l’instant t = 0, la position du mobile
M0 est donnée par le vecteur position

OM 0 et par l’abscisse angulaire 0 = 0.
 
Soit un repère cartésien (O, i , j ) tel

que l’axe Ox soit colinéaire à OM 0 .

A l’instant t, le vecteur position est OM
et l’abscisse angulaire .
a
j
x
O
i
R
M0
(t=0)
La relation    t du mouvement
circulaire uniforme s’écrit ici :   t .
Exprimons les coordonnées des vecteurs position, vitesse et accélération !
Vecteur position :
 x  OM  cos   R  cos(t)
OM
y  OM  sin   R  sin(t)
Vecteur vitesse :

 dOM
v
dt

 dv
Vecteur accélération : a 
dt
(1)
dx
  R  sin(t)

dt
 v
dy
vy 
  R  cos(t)
dt
vx 
dv x
 2  R  cos(t)  2  x

dt
 a
dv y
ay 
 2  R  sin(t)  2  y
dt
ax 
(2)





(1) et (2)  a  2  OM  a est de même direction que OM




Comme 2  0 , a est de sens contraire à celui de OM  a centripète


Norme de a : a  2  OM  2  R

v2

Coordonnées de a : a T  0 et a N  R2 
 v
R

(colinéaire à N )
(v = R)
La cordonnée normale de l'accélération exprime la rapidité avec laquelle la direction de
la vitesse varie.
1re B et C
1 Cinématique du Point
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Méthode 2
M effectue un mouvement
uniforme de vitesse v sur une
trajectoire circulaire de
rayon R.
dv
v constant  a T  T  0
dt


et a  a N N
Déterminons aN !


v
a  lim
t 0 t
* Signe de aN :




t  0  v  0  direction et sens de v  direction et sens de N



Donc :
a de même direction et de même sens que N  aN > 0  a est centripète
* Valeur de aN :


v
v
a  a N  lim
 lim
t 0 t
t  0  t

t  0    0  corde AB  arc AB

  v   ou (v1 = v2 = v)
 v  AB
v  
t  0
t

 v  lim
t  0 t
 v


( entre v1 et v 2 =
abscisse angulaire entre les

vecteurs positions OM1 et

OM 2 !)
a N  lim
Comme v = R
aN 
v2
 R 2  v
R
1re B et C
1 Cinématique du Point
Conclusions:
1. Au cours d'un mouvement circulaire uniforme de rayon
R et de vitesse v (de vitesse angulaire ), l'accélération
est centripète et de norme :
v2
a
 R2
R
v2

Coordonnées de a : a N 
 R2 ; aT = 0
R
2. La coordonnée normale de l'accélération exprime la
rapidité avec laquelle la direction de la vitesse varie.
d) Remarque : mouvement curviligne quelconque
Dans le cas général d'un mouvement circulaire non uniforme, l’accélération s’écrit :

 d vT  v2 

a = aT  T + a N  N 
T +
N
dt
R
Cette expression reste même valable pour un mouvement curviligne quelconque. Le
rayon R désigne alors le rayon de courbure de la trajectoire qui peut varier durant le
mouvement. Ce n'est que pour un mouvement circulaire que le rayon de courbure est
constant.
Exemples :
 
 
v  a  0  angle entre v et a aigu
 v augmente
 mvt de plus en plus rapide
 
 
v  a  0  angle entre v et a obtu
 v diminue
 mvt de plus en plus lent (freinage)
 
 
v  a  0, si angle rectangle entre v et a
 v constant
 mvt uniforme
 
 
v  a  0, si a  0

 v constant
 mvt rectiligne et uniforme
10
1re B et C
1 Cinématique du Point
11
4. Mouvements rectilignes
Nous les étudions dans un repère cartésien comportant un seul axe Ox parallèle au
mouvement.
Nous établirons les formules vues en classe de 2e beaucoup plus aisément à l'aide des
relations avec les dérivées.
a) Mouvement rectiligne uniforme (MRU)
C'est un mouvement à vecteur accélération nul!
*
Conditions initiales (C.I.)
t = 0  x = x0
(1)
vx = v0x
*
*
Accélération
 
a  0  ax  0
(2)
t
Vitesse
ax 
dv x
 0  v x  K (K = constante d'intégration)
dt
(3)
Déterminons K : t = 0 : (2)  vx = v0x
(3)  vx = K
D'où : K = v0x !
Finalement : v x  v 0 x
*
t
Position
Or v x 
dx
 v0x  x  v0 x t  K ' (K' = constante d'intégration)
dt
Déterminons K' : t = 0
(1)  x = x0
(4)  x = K’
D'où : K' = x0 !
Finalement : x  v 0 x t  x 0
t
(4)
1re B et C
1 Cinématique du Point
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b) Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)
C'est un mouvement à vecteur accélération constant!
*
Conditions initiales (C.I.)
t = 0  x = x0
(1)
vx = v0x
*
*
(2)
Accélération

a constant  ax constant
t
Vitesse
ax 
dv x
 constant  v x  a x t  K (K = constante d'intégration)
dt
(3)
Déterminons K : t = 0 : (2)  vx = v0x
(3)  vx = K
D'où : K = v0x !
Finalement : v x  a x t  v 0 x
*
t
(4)
Position
Or v x 
dx
1
 a x t  v0x  x  a x t 2  v0x t  K ' (K' = constante d'intégration)
dt
2
Déterminons K' : t = 0
(5)
(1)  x = x0
(5)  x = K'
D'où : K' = x0 !
Finalement : x 
1
a x t 2  v 0x t  x 0
2
t
En éliminant t entre (4) et (6) on obtient une relation entre les vitesses et les abscisses :
v 2x  v 20 x  2a x ( x  x 0 )

 
 v 2x  2a x x
(6)