Composants Hyperfréquences

Composants Hyperfréquences
Partie III : Propriétés électroniques des matériaux semiconducteurs
Table des matières
1 Concentrations des porteurs de charges 1
1.1 Classification des solides par la conduction électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Métaux et isolants à T= 0 K.................................... 1
1.1.2 Semiconducteursintrinsèques.................................... 2
1.2 Concentration électronique dans un métal à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Concentration de porteurs dans un semiconducteur à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Généralités pour un semiconducteur non dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Cas d’un semiconducteur intrinsèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Cas du semiconducteur extrinsèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.4 Population dans un semiconducteur extrinsèque non dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Conductivité électrique 7
2.1 Régimepermanent .............................................. 7
2.1.1 Mobilité et conductivité des électrons et des trous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Variation de la conductivité avec la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Densitédecourantdediffusion ................................... 9
2.1.4 Courant total en régime isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5 Propriétés à fort champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Régimevariable................................................ 11
2.2.1 Phénomène de génération et de recombinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Duréedevie ............................................. 12
2.2.3 Neutralitéélectrique ......................................... 13
3 Caractéristiques des semiconducteurs usuels 13
Concentrations des porteurs de charges
1 Concentrations des porteurs de charges
1.1 Classification des solides par la conduction électrique
1.1.1 Métaux et isolants à T= 0 K
– À 0 K, la fonction de distribution de Fermi-Dirac prend la valeur 1 pour E≤EFet 0 pour E > EF, c’est-à-dire
que les électrons occupent tous les états de plus faible énergie.
– Deux cas peuvent se présenter dans ces conditions :
– la bande de plus haute énergie occupée peut être soit parfaitement remplie,
– soit imparfaitement remplie (figure 1).
– Dans le premier cas, il ne peut y avoir de conduction électrique, on a un isolant ; l’autre cas correspond au
métal.
– La dernière bande saturée est appelée bande de valence et la bande permise, située immédiatement au-dessus,
est dite bande de conduction.

Fig. 1 – Remplissage des bandes.
– À T= 0 K, le niveau de Fermi d’un conducteur est le dernier niveau occupé de la bande de conduction,
tandis que, dans l’isolant, il se situe entre le niveau le plus élevé Evde la bande de valence et le niveau le plus
bas Ecde la bande de conduction.
1.1.2 Semiconducteurs intrinsèques
Semiconducteurs intrinsèques
– Élevons la température, à partir de T= 0 K, d’un solide isolant, de largeur de bande interdite EG=Ec−Ev
(en anglais energy gap).
– La fonction d’occupation des états de la bande de conduction va augmenter avec la température ; un certain
nombre d’électrons passent de la bande de valence dans la bande de conduction et le solide présente une
conductivité intermédiaire entre celle des isolants (inférieure à 10−8(Ωcm)−1) et celle des conducteurs (de
l’ordre de 106(Ωcm)−1).
– Un tel corps est dit semiconducteur intrinsèque ; il n’y a donc aucune différence fondamentale entre un tel
semiconducteur et un isolant.
– Mais dans l’isolant, EGest si grand (EG≥2−3eV) que sa conductivité reste négligeable à toutes les
températures auxquelles on peut le porter sans le détruire.
– Dans le cas contraire (EG<1à 2 eV), c’est un semiconducteur intrinsèque.
Concentration électronique dans un métal à l’équilibre
1.2 Concentration électronique dans un métal à l’équilibre
– La densité d’électrons libres ndans le métal est de l’ordre de la densité de cellules élémentaires (≈1022 cm−3)
et est reliée au niveau de Fermi EFpar la relation :
n=2
ΩZEhautBC
Ec
N(E)fn(E)dE (1)
– Le facteur 2 tient compte du fait que chaque état peut contenir deux électrons de spins opposés.
– À T= 0 K, la fonction de Fermi est un échelon unité et la position du niveau de Fermi est telle que :
EF0−Ec=3n
8π2/3h2 2mn
(2)
2

Fig. 2 – Position du niveau de Fermi.
Fig. 3 – Fonction de Fermi dans un métal.
– Le tableau donne les valeurs de cette position du niveau de Fermi à 0 K pour quelques métaux.
– À température plus élevée, sous l’effet de l’agitation thermique, certains des électrons acquièrent des énergies
plus importantes, supérieures à celles du niveau de Fermi (figure 3) et celui-ci se trouve alors légèrement relevé
tel que :
EF−Ec= (EF0−Ec)"1 + π2
12 kT EF0−Ec2#(3)
– Cette variation de EFpar rapport à Ecest cependant très faible devant kT et peut, en général, être négligée.
– D’une manière générale, dans un métal, on peut considérer que la fonction −∂fn(E)
∂E s’identifie au premier
ordre avec la fonction de Dirac δ(E−EF0).
– Cette remarque permet, en intégrant par parties, de trouver immédiatement toute moyenne de fonction élec-
tronique α(E)
α≈2
Ω
1
nZ∞
Ec
α(E)N(E)fn(E)dE =2β(EF0)
nΩ(4)
où β(E)est la primitive de α(E)N(E).
– Par exemple : l’énergie moyenne de l’électron libre dans le métal vaut
E−Ec≈3
5(EF0−Ec)(5)
Concentration de porteurs dans un semiconducteur à l’équilibre
3

1.3 Concentration de porteurs dans un semiconducteur à l’équilibre
1.3.1 Généralités pour un semiconducteur non dégénéré
– Soit net ples densités, par unité de volume, d’électrons de la bande de conduction et de trous de la bande
de valence ; il vient :
n=2
ΩZEhautBC
Ec
N(E)fn(E)dE (6)
p=2
ΩZEv
EbasBV
P(E) [1 −fn(E)] dE (7)
N(E)et P(E)sont les densités d’états.
– La décroissance exponentielle de fn(E)pour les grandes valeurs de Eet de 1−fn(E)pour les faibles valeurs
de Epermet de remplacer, sans grand risque d’erreur, la limite supérieure de la première intégrale par +∞
et la limite inférieure de la seconde par −∞.
– Si, de plus, l’on suppose que l’occupation des états situés de part et d’autre de la bande interdite par leurs
porteurs respectifs est faible (on dit que le semiconducteur est non dégénéré, la dégénérescence s’identifiant
avec l’état métallique), le niveau de Fermi EFsera alors dans la bande interdite, à au moins 5kT des bords de
bandes et l’on pourra ainsi négliger, aux dénominateurs de fn(E)et de 1−fn(E), l’unité devant l’exponentielle.
– Il vient alors
n= 4π2mn
h23/2Z+∞
Ec
(E−Ec)1/2eEF−E
kT dE (8)
p= 4π2mp
h23/2ZEv
−∞
(Ev−E)1/2eE−EF
kT dE (9)
d’où
n=Nce−Ec−EF
kT (10)
et
p=NveEv−EF
kT (11)
en posant
Nc= 2 2πmnkT
h23/2
(12)
Nv= 2 2πmpkT
h23/2
(13)
– Les quantités Ncet Nvsont appelées densités équivalentes d’état, puisque tout se passe comme si les bandes
de conduction et de valence étaient réduites à leurs niveaux extrêmes Ecet Ev, les niveaux étant Ncet Nv
fois dégénérés.
– Remarquons que le produit np ne dépend plus de EF, mais uniquement, pour un semiconducteur donné, de
la température
np =NcNve−EG/kT (14)
Cas d’un semiconducteur intrinsèque
4

Fig. 4 – Valeurs des paramètres de l’éq. (17)
1.3.2 Cas d’un semiconducteur intrinsèque
On a
n=p=ni= (NcNv)1/2e−EG/2kT (15)
niest la densité intrinsèque d’électrons et de trous, et les relations (8) et (9) donnent pour l’énergie de Fermi EF i
EF i =Ei+3
4kT ln mp mn
(16)
avec Ei=Ec+Ev
2
– L’énergie de Fermi coïncide avec Ei(milieu de la bande interdite) si mp=mn.
– Cela reste vrai à T= 0 K si mp6=mn; lorsque la température augmente, le niveau de Fermi se déplace
progressivement vers la bande où les porteurs ont la plus faible masse effective.
Cas du semiconducteur extrinsèque
1.3.3 Cas du semiconducteur extrinsèque
– Si, dans le réseau tétraédrique du germanium ou du silicium, on remplace un atome par celui d’un élément
de la cinquième colonne de la classification périodique, l’arsenic par exemple, quatre électrons de l’arsenic
établissent des liaisons de valence avec quatre des atomes les plus voisins du réseau.
– Le cinquième électron, localisé sur l’atome d’arsenic aux très basses températures, est soumis au potentiel
attractif de l’ion positif d’arsenic, dans la même situation que l’électron dans le potentiel du proton, si ce n’est
que l’électron est libre (donc l’atome d’arsenic ionisé) lorsque son énergie est égale à Ecet qu’alors sa masse
est mn.
– Les états énergétiques Ende cet électron, représentés sur la figure 5, sont donc tels que :
En−Ec=−13,6
n2
mn
mε0 ε2(eV) (17)
avec εpermittivité du cristal.
– Par exemple l’atome d’arsenic est donc capable de fournir, lorsqu’il est ionisé thermiquement, un électron à
la bande de conduction ; pour cette raison, il est dit atome donneur.
– Si l’atome substitutionnel est un atome de la troisième colonne, par exemple un atome d’indium, aux très
basses températures les trois électrons périphériques établissent trois liaisons de valence avec trois atomes
voisins et la quatrième liaison est incomplète, tant que l’atome d’indium reste neutre.
– Si la température augmente, un électron de valence peut compléter cette liaison ; par suite l’atome d’indium
devient ion négatif et un trou positif apparaît dans la bande de valence.
– L’atome d’indium qui, en acceptant un électron, fournit un trou à la bande de valence est appelé atome
accepteur.
– Les états énergétiques du trou positif sont obtenus à partir de la relation (17) en remplaçant mnpar mpet
En−Ecpar Ev−En.
– Le niveau fondamental est à 10 meV environ au-dessus du haut de la bande de valence (figure 4).
– Le semiconducteur est dit de type P ou N s’il possède beaucoup plus d’accepteurs que de donneurs, ou
réciproquement.
5