Composants Hyperfréquences

Composants Hyperfréquences
Partie III : Propriétés électroniques des matériaux semiconducteurs
Table des matières
1 Concentrations des porteurs de charges
1.1 Classification des solides par la conduction électrique . . . . . . . . .
1.1.1 Métaux et isolants à T = 0 K . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Semiconducteurs intrinsèques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Concentration électronique dans un métal à l’équilibre . . . . . . . .
1.3 Concentration de porteurs dans un semiconducteur à l’équilibre . . .
1.3.1 Généralités pour un semiconducteur non dégénéré . . . . . .
1.3.2 Cas d’un semiconducteur intrinsèque . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Cas du semiconducteur extrinsèque . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Population dans un semiconducteur extrinsèque non dégénéré
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1
1
1
2
2
4
4
5
5
6
2 Conductivité électrique
2.1 Régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Mobilité et conductivité des électrons et des trous
2.1.2 Variation de la conductivité avec la température .
2.1.3 Densité de courant de diffusion . . . . . . . . . . .
2.1.4 Courant total en régime isotherme . . . . . . . . .
2.1.5 Propriétés à fort champ électrique . . . . . . . . .
2.2 Régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Phénomène de génération et de recombinaison . .
2.2.2 Durée de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Neutralité électrique . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
7
9
9
9
11
11
11
12
13
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3 Caractéristiques des semiconducteurs usuels
13
Concentrations des porteurs de charges
1
Concentrations des porteurs de charges
1.1
1.1.1
Classification des solides par la conduction électrique
Métaux et isolants à T = 0 K
– À 0 K, la fonction de distribution de Fermi-Dirac prend la valeur 1 pour E ≤ EF et 0 pour E > EF , c’est-à-dire
que les électrons occupent tous les états de plus faible énergie.
– Deux cas peuvent se présenter dans ces conditions :
– la bande de plus haute énergie occupée peut être soit parfaitement remplie,
– soit imparfaitement remplie (figure 1).
– Dans le premier cas, il ne peut y avoir de conduction électrique, on a un isolant ; l’autre cas correspond au
métal.
– La dernière bande saturée est appelée bande de valence et la bande permise, située immédiatement au-dessus,
est dite bande de conduction.
Fig. 1 – Remplissage des bandes.
– À T = 0 K, le niveau de Fermi d’un conducteur est le dernier niveau occupé de la bande de conduction,
tandis que, dans l’isolant, il se situe entre le niveau le plus élevé Ev de la bande de valence et le niveau le plus
bas Ec de la bande de conduction.
1.1.2
Semiconducteurs intrinsèques
Semiconducteurs intrinsèques
– Élevons la température, à partir de T = 0 K, d’un solide isolant, de largeur de bande interdite EG = Ec − Ev
(en anglais energy gap).
– La fonction d’occupation des états de la bande de conduction va augmenter avec la température ; un certain
nombre d’électrons passent de la bande de valence dans la bande de conduction et le solide présente une
conductivité intermédiaire entre celle des isolants (inférieure à 10−8 (Ω cm)−1 ) et celle des conducteurs (de
l’ordre de 106 (Ω cm)−1 ).
– Un tel corps est dit semiconducteur intrinsèque ; il n’y a donc aucune différence fondamentale entre un tel
semiconducteur et un isolant.
– Mais dans l’isolant, EG est si grand (EG ≥ 2 − 3 eV) que sa conductivité reste négligeable à toutes les
températures auxquelles on peut le porter sans le détruire.
– Dans le cas contraire (EG < 1 à 2 eV), c’est un semiconducteur intrinsèque.
Concentration électronique dans un métal à l’équilibre
1.2
Concentration électronique dans un métal à l’équilibre
– La densité d’électrons libres n dans le métal est de l’ordre de la densité de cellules élémentaires (≈ 1022 cm−3 )
et est reliée au niveau de Fermi EF par la relation :
2
n=
Ω
Z
EhautBC
N (E)fn (E)dE
(1)
Ec
– Le facteur 2 tient compte du fait que chaque état peut contenir deux électrons de spins opposés.
– À T = 0 K, la fonction de Fermi est un échelon unité et la position du niveau de Fermi est telle que :
EF 0 − Ec =
2
3n
8π
2/3
h2
2mn
(2)
Fig. 2 – Position du niveau de Fermi.
Fig. 3 – Fonction de Fermi dans un métal.
– Le tableau donne les valeurs de cette position du niveau de Fermi à 0 K pour quelques métaux.
– À température plus élevée, sous l’effet de l’agitation thermique, certains des électrons acquièrent des énergies
plus importantes, supérieures à celles du niveau de Fermi (figure 3) et celui-ci se trouve alors légèrement relevé
tel que :
"
2 #
π2
kT
EF − Ec = (EF 0 − Ec ) 1 +
(3)
12 EF 0 − Ec
– Cette variation de EF par rapport à Ec est cependant très faible devant kT et peut, en général, être négligée.
n (E)
– D’une manière générale, dans un métal, on peut considérer que la fonction − ∂f∂E
s’identifie au premier
ordre avec la fonction de Dirac δ(E − EF 0 ).
– Cette remarque permet, en intégrant par parties, de trouver immédiatement toute moyenne de fonction électronique α(E)
Z
2 1 ∞
2β(EF 0 )
α≈
α(E)N (E)fn (E)dE =
(4)
Ω n Ec
nΩ
où β(E) est la primitive de α(E)N (E).
– Par exemple : l’énergie moyenne de l’électron libre dans le métal vaut
E − Ec ≈
3
(EF 0 − Ec )
5
Concentration de porteurs dans un semiconducteur à l’équilibre
3
(5)
1.3
Concentration de porteurs dans un semiconducteur à l’équilibre
1.3.1
Généralités pour un semiconducteur non dégénéré
– Soit n et p les densités, par unité de volume, d’électrons de la bande de conduction et de trous de la bande
de valence ; il vient :
Z
2 EhautBC
N (E)fn (E)dE
(6)
n=
Ω Ec
Z
2 Ev
p=
P (E) [1 − fn (E)] dE
(7)
Ω EbasBV
N (E) et P (E) sont les densités d’états.
– La décroissance exponentielle de fn (E) pour les grandes valeurs de E et de 1 − fn (E) pour les faibles valeurs
de E permet de remplacer, sans grand risque d’erreur, la limite supérieure de la première intégrale par +∞
et la limite inférieure de la seconde par −∞.
– Si, de plus, l’on suppose que l’occupation des états situés de part et d’autre de la bande interdite par leurs
porteurs respectifs est faible (on dit que le semiconducteur est non dégénéré, la dégénérescence s’identifiant
avec l’état métallique), le niveau de Fermi EF sera alors dans la bande interdite, à au moins 5kT des bords de
bandes et l’on pourra ainsi négliger, aux dénominateurs de fn (E) et de 1−fn (E), l’unité devant l’exponentielle.
– Il vient alors
3/2 Z +∞
EF −E
2mn
(8)
n = 4π
(E − Ec )1/2 e kT dE
2
h
Ec
3/2 Z Ev
E−EF
2mp
(Ev − E)1/2 e kT dE
(9)
p = 4π
h2
−∞
d’où
n = Nc e −
et
p = Nv e
Ec −EF
kT
Ev −EF
kT
(10)
(11)
en posant
Nc = 2
Nv = 2
2πmn kT
h2
3/2
2πmp kT
h2
3/2
(12)
(13)
– Les quantités Nc et Nv sont appelées densités équivalentes d’état, puisque tout se passe comme si les bandes
de conduction et de valence étaient réduites à leurs niveaux extrêmes Ec et Ev , les niveaux étant Nc et Nv
fois dégénérés.
– Remarquons que le produit np ne dépend plus de EF , mais uniquement, pour un semiconducteur donné, de
la température
np = Nc Nv e−EG /kT
(14)
Cas d’un semiconducteur intrinsèque
4
Fig. 4 – Valeurs des paramètres de l’éq. (17)
1.3.2
Cas d’un semiconducteur intrinsèque
On a
1/2 −EG /2kT
n = p = ni = (Nc Nv )
e
(15)
ni est la densité intrinsèque d’électrons et de trous, et les relations (8) et (9) donnent pour l’énergie de Fermi EF i
mp
3
EF i = Ei + kT ln
4
mn
(16)
v
avec Ei = Ec +E
2
– L’énergie de Fermi coïncide avec Ei (milieu de la bande interdite) si mp = mn .
– Cela reste vrai à T = 0 K si mp 6= mn ; lorsque la température augmente, le niveau de Fermi se déplace
progressivement vers la bande où les porteurs ont la plus faible masse effective.
Cas du semiconducteur extrinsèque
1.3.3
Cas du semiconducteur extrinsèque
– Si, dans le réseau tétraédrique du germanium ou du silicium, on remplace un atome par celui d’un élément
de la cinquième colonne de la classification périodique, l’arsenic par exemple, quatre électrons de l’arsenic
établissent des liaisons de valence avec quatre des atomes les plus voisins du réseau.
– Le cinquième électron, localisé sur l’atome d’arsenic aux très basses températures, est soumis au potentiel
attractif de l’ion positif d’arsenic, dans la même situation que l’électron dans le potentiel du proton, si ce n’est
que l’électron est libre (donc l’atome d’arsenic ionisé) lorsque son énergie est égale à Ec et qu’alors sa masse
est mn .
– Les états énergétiques En de cet électron, représentés sur la figure 5, sont donc tels que :
13,6 mn ε0 2
En − Ec = − 2
(eV)
(17)
n m
ε
avec ε permittivité du cristal.
– Par exemple l’atome d’arsenic est donc capable de fournir, lorsqu’il est ionisé thermiquement, un électron à
la bande de conduction ; pour cette raison, il est dit atome donneur.
– Si l’atome substitutionnel est un atome de la troisième colonne, par exemple un atome d’indium, aux très
basses températures les trois électrons périphériques établissent trois liaisons de valence avec trois atomes
voisins et la quatrième liaison est incomplète, tant que l’atome d’indium reste neutre.
– Si la température augmente, un électron de valence peut compléter cette liaison ; par suite l’atome d’indium
devient ion négatif et un trou positif apparaît dans la bande de valence.
– L’atome d’indium qui, en acceptant un électron, fournit un trou à la bande de valence est appelé atome
accepteur.
– Les états énergétiques du trou positif sont obtenus à partir de la relation (17) en remplaçant mn par mp et
En − Ec par Ev − En .
– Le niveau fondamental est à 10 meV environ au-dessus du haut de la bande de valence (figure 4).
– Le semiconducteur est dit de type P ou N s’il possède beaucoup plus d’accepteurs que de donneurs, ou
réciproquement.
5
Fig. 5 – États énergétiques dans un semiconducteur dopé.
Population dans un semiconducteur extrinsèque non dégénéré
1.3.4
Population dans un semiconducteur extrinsèque non dégénéré
– La présence de donneurs ou d’accepteurs ionisés modifie la population des bandes, donc la valeur de l’énergie
de Fermi EF par rapport à celle EF i du semiconducteur intrinsèque. Compte tenu des relations (10), (11),
(12), (13) et (16), il vient :
kT
n
EF = EF i +
ln
(18)
2
p
– Le niveau de Fermi est situé dans la moitié de bande interdite voisine de la bande des porteurs les plus
nombreux, dits majoritaires, et d’autant plus proche de cette bande que la densité des porteurs majoritaires
est grande devant celle des minoritaires.
– Le semiconducteur est dit de type N si n > p et de type P dans le cas contraire. On a toujours la relation :
np = n2i
(19)
– Si l’on désigne par Na , Nd les densités d’accepteurs et de donneurs d’énergie d’activation Ea et Ed ; nd et pa
les densités de donneurs et d’accepteurs non ionisés, la valeur de EF est réglée par la condition de neutralité
électrique, que l’on écrit en égalant charges positives et négatives :
p + Nd − nd = n + Na − pa
avec
Nd
nd =
1+
Na − pa =
1
gd e
Ed −EF
kT
Na
1+
1
ga e
Ea −EF
kT
(20)
(21)
(22)
Pour le germanium et le silicium, les facteurs de dégénérescence gd et ga des niveaux donneurs et accepteurs sont
tels que gd = 2 et ga = 4.
– Regardons la variation de n en fonction de la température pour un semiconducteur de type N , partiellement
compensé (Nd > Na ).
– A températures suffisamment basses (domaine des impuretés) :
Ec −Ed
– si 2Na Nc e− kT
Ec −Ed
Nd − Na
n≈
Nc e− kT
(23)
2Na
6
Fig. 6 – Densité des électrons n et des trous p dans un semiconducteur.
– si 2ND Nc e−
Ec −Ed
kT
2Na
n≈
1
2
Nd Nc
2
1/2
e−
Ec −Ed
2kT
(24)
– A températures intermédiaires (domaine d’épuisement), où les donneurs et accepteurs sont tous ionisés :
n ≈ Nd − Na
(25)
– enfin, à température suffisamment élevée pour que les populations soient directement contrôlées par le processus d’excitation intrinsèque :
n = p = ni
(26)
– L’étude du semiconducteur de type P où Na > Nd se déduit des relations précédentes en échangeant n et p,
Nd et Na , Ed et Ea , et enfin Ec et Ev .
– Sur la figure 6 sont représentées les variations de n et p en fonction de 1/kT
Conductivité électrique
2
Conductivité électrique
2.1
2.1.1
Régime permanent
Mobilité et conductivité des électrons et des trous
– Contrairement au mouvement uniformément accéléré qui anime l’électron dans le vide, sous l’effet d’un champ
électrique uniforme, dans un solide cristallin conducteur ou semiconducteur, il existe une limitation au mouvement de l’électron due aux défauts de périodicité du cristal.
– Ces défauts proviennent :
– des vibrations thermiques des atomes du réseau, que l’on classe en modes, dont le quantum d’excitation est
appelé phonon ;
– des défauts cristallins et atomes d’impuretés étrangers au réseau.
– Ces défauts provoquent des écarts au potentiel périodique, qui perturbent le mouvement de l’électron (collisions) ;
7
Fig. 7 – Mobilité et conductivité.
– en l’absence de champ électrique, l’électron aura un mouvement désordonné et sa vitesse moyenne sera nulle.
→
−
– Par contre, en présence d’un champ électrique uniforme E , si l’on désigne par τr l’intervalle de temps moyen
entre deux collisions (dit temps de relaxation), l’accroissement moyen de vitesse entre deux chocs vaut :
→
−
→
−
q
−
τr E = −µn E
h4→
vi=−
mn
– La quantité µn ainsi définie :
µn =
qτr
mn
(27)
(28)
est appelée mobilité des électrons et, par suite, la densité de courant de conduction des électrons, dans un
semiconducteur homogène, est :
→
−
→
−
−
J c,n = −qnh4→
v i = σn E
(29)
avec σn = qnµn (conductivité des électrons).
– Dans le cas des semiconducteurs, un raisonnement analogue effectué sur les trous, de densité p, de la bande
→
−
de valence permet de définir la mobilité des trous µp et une densité de courant de conduction de trous J c,p ,
tels que
qτr
µp =
(30)
mp
→
−
→
−
→
−
J c,p = qpµp E = σp E
(31)
avec σp = qpµp (conductivité des trous).
– La densité totale de courant de conduction vaut donc :
→
−
→
−
→
−
→
−
J c = J c,p + J n,p = σ E
(32)
σ est la conductivité du matériau semiconducteur, soit :
σ = σn + σp = q(nµn + pµp )
(33)
– Le tableau 2 donne les valeurs numériques, à T = 300 K et pour des matériaux proches de l’intrinsèque, des
mobilités et de la conductivité.
Variation de la conductivité avec la température
8
Fig. 8 – Mobilité et conductivité en fonction de la température
2.1.2
Variation de la conductivité avec la température
– Aux basses températures, les collisions avec les impuretés dominent et la mobilité varie comme T 3/2 , alors
qu’à température plus élevée (au-dessus de 200 K), les collisions avec les phonons donnent une loi de variation
de la mobilité comme T −3/2 .
– La figure 8 montre les allures des variations de mobilité et de conductivité.
– En particulier, la conductivité en fonction de 1/T a une allure exponentielle décroissante à haute (région
intrinsèque) et basse température (région d’ionisation des impuretés) et une allure croissante dans la région
de température intermédiaire, correspondant à la zone d’épuisement où tous les donneurs et accepteurs sont
ionisés.
Densité de courant de diffusion
2.1.3
Densité de courant de diffusion
−−→
−−→
– Si le matériau n’est pas homogène, s’il existe donc un gradient de concentration de porteurs gradp ou gradn,
il y aura diffusion, c’est-à-dire transport de porteurs de la région de forte concentration vers la région de faible
concentration avec un flux de porteurs proportionnel au gradient de concentration,
−−→
−−→
– soit −Dp gradp, −Dn gradn (Dp et Dn sont les coefficients de diffusion).
→
−
→
−
– Par suite les densités de courant de diffusion J dp et J dn sont :
−−→
→
−
J dp = −qDp gradp
(34)
−−→
→
−
J dn = qDn gradn
(35)
Courant total en régime isotherme
2.1.4
Courant total en régime isotherme
→
−
– Si dans le matériau coexistent champ électrique E et gradient de concentration, les densités de courants de
→
−
→
−
→
−
trous J p et d’électrons J n et de courant total J sont :
−−→
→
−
→
−
J p = q(µp p E − Dp gradp)
(36)
−−→
→
−
→
−
J n = q(µn n E + Dn gradn)
(37)
9
→
−
→
−
→
−
J = Jp+ Jn
(38)
– Il faut noter que dans un matériau inhomogène, en l’absence de polarisation extérieure, l’énergie de Fermi EF
est constante et il existe un courant de conduction contrebalançant le courant de diffusion pour assurer que
le courant total soit nul ;
→
−
– il y a donc un champ électrique local E tel que
→
−
1 −−→
1 −−→
E = grad(Ec − EF ) = − grad(EF − Ev )
q
q
(39)
– Utilisant les expressions (10) et (11) de n et p, il vient en dérivant
−−→
−−→
→
−
qE
gradn
gradp
=
=−
p
kT
n
(40)
→
−
→
−
et de J p et J n on déduit les relations entre coefficients de diffusion et mobilités, dites relations d’Einstein :
Dp
Dn
kT
=
=
µp
µn
q
(41)
– En présence de polarisation extérieure, il est toujours possible de représenter localement les densités n et p
par des expressions du type des relations (10) et (11) en introduisant respectivement, pour les électrons et les
trous, des pseudo-niveaux de Fermi EF n et EF p .
– Par rapport aux caractéristiques du semiconducteur à l’équilibre ni et EF i , on a :
EF n = EF i + kT ln
n
ni
p
ni
np
= kT ln 2
ni
(42)
EF p = EF i − kT ln
(43)
EF n − EF p
(44)
– Si ψ est le potentiel local d’où dérive le champ électrique, il faut aussi noter qu’en posant :
−−→ EF p
→
−
E p = grad
−ψ
q
−−→ EF n
→
−
E n = grad
−ψ
q
(45)
(46)
les équations (36) et (37) donnant les densités de courant s’écrivent :
→
−
→
−
J p = σp E p
(47)
→
−
→
−
J n = σn E n
(48)
version modifiée de la loi d’Ohm.
Propriétés à fort champ électrique
10
Fig. 9 – Vitesse de dérive des électrons à fort champ électrique, à 300 K.
2.1.5
Propriétés à fort champ électrique
– À faible champ électrique, la vitesse de dérive est proportionnelle au champ électrique, la constante de proportionnalité est appelée la mobilité.
– Lorsque le champ est suffisamment intense, on observe un phénomène de non-linéarité et la vitesse de dérive
cesse de croître ; donc la mobilité est inversement proportionnelle au champ électrique.
– Sur la figure 9 on distingue la valeur de saturation pour la vitesse (107 cm/s pour le silicium, par exemple),
mais aussi le phénomène de survitesse, présent dans les composés III-V à gap direct, dû au transfert des
électrons de la vallée centrale à haute mobilité vers la vallée satellite à faible mobilité, assisté par le champ
électrique.
– Si la pente négative est utilisée dans les diodes Gunn, on cherche, actuellement, à utiliser la survitesse pour créer
de nouveaux composants possédant des distances interélectrodes inférieures au micromètre (microélectronique
submicronique).
Régime variable
2.2
2.2.1
Régime variable
Phénomène de génération et de recombinaison
– Si, par une excitation appropriée, on crée des porteurs en excès par rapport à l’équilibre thermodynamique,
de densités n − n0 et p − p0 , et si brusquement l’excitation cesse, les concentrations décroissent vers leur valeur
d’équilibre, en un certain temps.
– La création de porteurs est régie par les taux (m−3 s−1 ) de génération d’électrons Gn et de trous Gp respectivement dans les bandes de conduction et de valence, et la recombinaison des porteurs, par les taux (m−3 s−1 )
Rn et Rp .
– Elle s’effectue :
– soit de bande à bande ; alors une paire électron-trou se recombine directement avec émission d’un photon
(recombinaison radiative) ou avec transfert de l’énergie à un autre porteur libre (recombinaison Auger) ; on
rencontre ce type dans les composés III-V à gap direct ;
– soit par l’intermédiaire de centres recombinants, de niveaux situés dans la bande interdite ; le centre capture
un porteur, puis un porteur de type opposé, et, alors, une paire électron-trou se recombine. Ce processus
est prépondérant dans le germanium et le silicium.
– Les équations de conservation des électrons et des trous sont données par :
−
∂n
1 →
= div J n + Gn − Rn
∂t
q
11
(49)
et
−
∂p
1 →
= div J p + Gp − Rp
∂t
q
(50)
Durée de vie
2.2.2
Durée de vie
– La génération-recombinaison se décompose en un phénomène spontané, purement thermique, se produisant
en l’absence de toute excitation, et un phénomène stimulé par l’excitation :
G = Gsp + Gst
(51)
R = Rsp + Rst
(52)
– À l’équilibre thermodynamique (indice 0) :
→
−
→
−
J n = J p = Gst = Rst = 0
(53)
et donc
Gsp,n0 − Rsp,n0 = Gsp,p0 − Rsp,p0 = 0
(54)
– Si cet équilibre est légèrement déplacé par une excitation qui a cessé, il y a proportionnalité entre la recombinaison nette et la densité en excès des porteurs minoritaires, soit :
np − np0
si type P
(55)
Gsp,n − Rsp,n = −
τn
pn − pn0
Gsp,p − Rsp,p = −
si type N
(56)
τp
avec τn , τp durées de vie en volume des électrons et des trous.
– Si, de plus, l’état hors équilibre est homogène, on a :
∂ (np − np0 )
np − np0
=−
si type P
∂t
τn
(57)
∂ (pn − pn0 )
pn − pn0
=−
si type N
(58)
∂t
τp
dans l’hypothèse simple où τn ou τp sont des constantes, la densité des porteurs minoritaires retourne exponentiellement à l’équilibre avec une constante de temps égale à la durée de vie.
– Dans le cas où il existe une faible excitation permanente et homogène, le régime permanent est obtenu lorsque :
(Gst,n − Rst,n ) τn = np − np0 si type P
(59)
(Gst,p − Rst,p ) τp = pn − pn0 si type N
(60)
– Ces expressions montrent qu’en moyenne les populations en excès de porteurs minoritaires sont échangées
respectivement chaque τn seconde ou τp seconde, ce qui justifie l’appellation durée de vie.
Exemple 1
– Décroissance de porteurs photoexcités d’une manière homogène avec un taux net G (sans polarisation et type
P) :
∂np
np − np0
=G−
(61)
∂t
τn
– état permanent atteint lorsque np = np0 + Gτn
– retour à l’équilibre par arrêt de l’excitation au temps t = 0, à partir de cet état permanent (G = 0) :
np (t) = np0 = Gτn e−t/τn
12
Fig. 10 – Calcul du temps de relaxation diélectrique.
Exemple 2
– Barreau unidimensionnel avec injection de porteurs d’un côté (type N) : on néglige le courant de conduction
∂pn
pn − pn0
∂ 2 pn
=−
+ Dp
∂t
τp
∂x2
(62)
– régime permanent avec pn (0) = Cte et pn (∞) = pn0
p
– longueur semi-infinie (un contact injectant) : pn (x) = pn0 + [pn (0) − pn0 ] e−x/Lp avec Lp = Dp τp longueur
de diffusion.
– longueur W avec pn (0) = Cte et pn (W ) = pn0 (un contact injectant, un contact extractant) :
pn (x) = pn0 + [pn (0) − pn0 ] sinh
W −x
W
sinh
Lp
Lp
(63)
Exemple 3
– Régime transitoire avec injection impulsionnelle dans un barreau semi-infini :
pn (0,t) = pn0 + P0 δ(x)
pn (x,t) = pn0
a t = 0 (P0 = Cte)
a t = ∞ pour tout x
solution :
(64)
(65)
2
pn (x,t) = P0 e
− τtp
e
x
− 4D
pt
2
p
πDp t
(66)
Neutralité électrique
2.2.3
Neutralité électrique
– Si l’on combine les équations de conservation de Gauss et du courant, en négligeant les phénomènes de
génération et de recombinaison et, dans un milieu homogène, on sait qu’une densité de charge non nulle ne
peut exister qu’à l’état transitoire et décroît exponentiellement vers zéro avec, comme constante de temps, td
temps de relaxation diélectrique, tel que :
ε
(67)
td =
σ
Caractéristiques des semiconducteurs usuels
3
Caractéristiques des semiconducteurs usuels
13
Fig. 11 – Principales caractéristiques de semiconducteurs.
14