CH 8 Nombres complexes

Nombres complexes (Partie 1)
Chapitre 8
I.
Introduction historique
Les algébristes italiens de la Renaissance tels que, au 𝑋𝑉𝐼 è𝑚𝑒 siècle, Niccolo Fontana dit Tartaglia
(1499 − 1557) et Jérôme Cardan (1501 − 1576) mais aussi Rafaele Bombelli (1526 − 1576)
cherchaient à résoudre des équations provenant de questions arithmétiques d’origine financière ou
géométriques.
L’inconnue y était considérée comme une « quantité », la notion de nombre étant encore floue. Ils
cherchaient donc des solutions positives et évitaient soigneusement l’usage des nombres négatifs.
En cherchant à résoudre l’équation du troisième degré 𝑥 3 − 15𝑥 − 4 = 0, Bombelli obtint une
équation intermédiaire à priori impossible : 𝑦² = −121 !!! Un carré devait être négatif, il aurait dû
donc s’arrêter là. Pourtant, il continua en utilisant un nombre qu’il nota −1 pour signifier que son
carré est égal à −1. A priori, cela est impossible puisque tout carré est positif. Et pourtant, grâce à cet
artifice, Bombelli obtint finalement le nombre 4 comme racine de l’équation 𝑥 3 − 15𝑥 − 4 = 0.
Cette démarche lui permit donc de trouver une solution réelle de cette équation. Très vite, les
algébristes constatèrent que ces nombres (qualifiés d’imaginaires par René Descartes (1596 − 1650))
fournissent des solutions acceptables, ce qui en légitima l’usage sans pour autant en expliquer ni le
sens ni l’efficacité.
Il faudra attendre les 𝑋𝑉𝐼𝐼𝐼è𝑚𝑒 et 𝑋𝐼𝑋 è𝑚𝑒 siècle et les travaux de D’Alembert, Gauss, Argand,
Cauchy et Hamilton pour qu’une théorie rigoureuse soit établie et qu’une interprétation géométrique
soit donnée.
L’écriture −1 n’ayant pas de sens, on utilise la notation 𝑖, inventée par Leonhard Euler (1707 −
1783) en 1777, en remplacement de cette écriture et on écrira à présent 𝑖² = −1.
Le terme nombre complexe sera lui proposé par Carl Friedrich Gauss (1777 − 1855).
II.
Forme algébrique d’un nombre complexe
1. Définition – Vocabulaire
Théorème-Définition 1 :
(admis)
Il existe un ensemble noté ℂ , appelé ensemble des nombres
complexes, qui possède les propriétés suivantes :
 ℝ⊂ ℂ;
 ℂ est muni d’une addition et d’une multiplication qui
possèdent les mêmes propriétés que celles dans ℝ ;

ℂ contient un nombre noté 𝑖 tel que 𝒊² = −𝟏 ;

Tout nombre complexe 𝑧 s’écrit de manière unique sous
la forme 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 avec 𝑥 et 𝑦 réels.
Définition 2 :
L’écriture 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 est appelé forme (ou écriture) algébrique du nombre
complexe 𝑧.
Vocabulaire :
Le réel 𝑥 est appelé la partie réelle de 𝑧 et se note 𝒙 = 𝑹𝒆(𝒛) .
Le réel 𝑦 est appelé la partie imaginaire de 𝑧 et se note 𝒚 = 𝑰𝒎(𝒛) .
Exemples : Pour 𝑧 = 2 − 𝑖 3, on a 𝑅𝑒 𝑧 = 2 et 𝐼𝑚 𝑧 = − 3.
𝑅𝑒 2𝑖 − 3 = −3, 𝐼𝑚 3 + 7𝑖 = 7 et 𝑅𝑒 15𝑖 = 0.
On constate que 𝑅𝑒 𝑧 et 𝐼𝑚 𝑧 sont des nombres réels.
pl
Remarque : Si 𝑦 = 0 alors 𝑧 = 𝑥 donc on retrouve que tout nombre réel est un nombre complexe.
Si 𝑥 = 0 alors 𝑧 = 𝑖𝑦, on dit que 𝑧 est un imaginaire pur. On note 𝑖ℝ l’ensemble des
imaginaires purs.
0 est le seul complexe à la fois réel et imaginaire pur.
Conséquence :
Pour tout nombre complexe 𝑧,
 𝒛 est un nombre réel ⟺ 𝑰𝒎 𝒛 = 𝟎 ;
 𝒛 est un imaginaire pur ⟺ 𝑹𝒆 𝒛 = 𝟎.
2. Opérations dans ℂ
On considère 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 et 𝑧 ′ = 𝑥 ′ + 𝑖𝑦′ deux nombres complexes.
 𝑧 + 𝑧 ′ = 𝑥 + 𝑥 ′ + 𝑖(𝑦 + 𝑦 ′ ) ;
 𝑧𝑧 ′ = 𝑥𝑥 ′ − 𝑦𝑦 ′ + 𝑖(𝑥𝑦 ′ + 𝑥 ′ 𝑦) ;
Définition 3 :
Cas particulier :
Exemple :
𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 − 𝑖𝑦 = 𝑥² − (𝑖𝑦)² = 𝑥² + 𝑦². (voir III. 1.)
On considère les nombres complexes 𝑧 = −2 + 3𝑖 et 𝑧 ′ = 4 − 5𝑖. Ecrire sous forme
algébrique 𝑧 + 𝑧 ′ , 𝑧𝑧 ′ et 𝑧².
3. Egalite de deux nombres complexes
Propriété 1 :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils sont la même partie
réelle et la même partie imaginaire.
Traduction :
On considère deux nombres complexes 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 et 𝑧 ′ = 𝑥 ′ + 𝑖𝑦′.
𝒙 + 𝒊𝒚 = 𝒙′ + 𝒊𝒚′ ⟺ 𝒙 = 𝒙′ 𝒆𝒕 𝒚 = 𝒚′
Conséquence :
𝑧 = 0 ⟺ 𝑅𝑒 𝑧 = 0 et 𝐼𝑚 𝑧 = 0.
Exemples :
(1) Déterminer les réels 𝑥 et 𝑦 pour que (2𝑖 + 1)𝑥 + −1 + 𝑖 𝑦 = 1 + 2𝑖.
(2) Soit le nombre complexe 𝑧 = 𝑥 + 2 + 𝑖 −𝑖𝑥 + 𝑥 + 2𝑖 − 5𝑖𝑥.
 A quelle condition 𝑧 est-il un réel ?
 A quelle condition 𝑧 est-il un imaginaire pur ?
Méthode :
Objectif :
III.
Ecrire le nombre complexe sous sa forme algébrique 𝑥 + 𝑖𝑦 afin
d’identifier partie réelle et partie imaginaire.
Je dois :
 Savoir effectuer des sommes et des produits avec des nombres complexes.
Conjugué d’un nombre complexe
1. Définition
Définition 4 :
Soit 𝑧 le nombre complexe de forme algébrique 𝑥 + 𝑖𝑦 avec 𝑥 ∈ ℝ et 𝑦 ∈ ℝ.
On appelle conjugué de 𝒛 le nombre complexe noté 𝑧 défini par 𝒛 = 𝒙 − 𝒊𝒚 .
Remarque : 𝒛𝒛 = 𝒙² + 𝒚² (voir II. 2.). Le réel 𝑧𝑧 est donc un réel positif ou nul.
pl
Exemples :
(1) Déterminer le conjugué des nombres complexes suivants :
𝑧 = 3 − 2𝑖 ; 𝑧 = −1 + 5𝑖 ; 𝑧 = 6𝑖 et 𝑧 = 2.
(2) Résoudre dans ℂ une équation avec 𝑧 et 𝑧.
Introduire la forme algébrique de 𝑧.
Résoudre dans ℂ l’équation 𝑖𝑧 − 1 = 2𝑧 + 𝑖.
Méthode :
Applications :
3
3 + 2𝑖
(1) Ecrire sous forme algébrique des nombres suivants : 𝑧 = 4 − 5𝑖 et = 4 + 3𝑖 .
Méthode :
Pour écrire un inverse ou un quotient sous forme algébrique, on
multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du
dénominateur.
(2) Résoudre dans ℂ l’équation 3𝑖𝑧 − 2 + 4𝑖 = 1 − 2𝑖 𝑧 + 6.
2. Propriétés
Propriété 2 :
Soit 𝑧 un nombre complexe.

𝒛 =𝒛 ;

𝒛 + 𝒛 = 𝟐𝑹𝒆(𝒛) et 𝒛 − 𝒛 = 𝟐𝒊 𝑰𝒎(𝒛) ;

𝑧 est un réel ⟺ 𝑧 = 𝑧 et 𝑧 est un imaginaire pur ⟺ 𝑧 = −𝑧.
Propriété 3 :
Conjugué et opérations
On considère deux nombres complexes 𝑧 et 𝑧′.
Exemple :

𝒛 + 𝒛′ = 𝒛 + 𝒛′ et 𝒛𝒛′ = 𝒛𝒛′ ;

Pour tout 𝑧′ ≠ 0, alors :

Pour tout 𝑛 entier naturel non-nul, 𝒛𝒏 = 𝒛
𝟏
𝒛′
=
𝟏
𝒛′
IV.
𝒛
𝒛′
=
𝒏
𝒛
𝒛′
;
.
Déterminer le conjugué des nombres complexes suivants :
𝑧1 = 2 + 3𝑖 4 − 𝑖 ; 𝑧2 = (3 − 5𝑖)3 et 𝑧3 =
Objectif :
et
1−3𝑖
2𝑖
.
Je dois :
 Savoir calculer le conjugué d’un nombre complexe et calculer un produit, un
quotient avec des nombres complexes.
Equations du second degré à coefficients réels
Propriété 4 :
Pour tout nombre complexe 𝑧 et 𝑧′, 𝒛𝒛′ = 𝟎 ⟺ 𝒛 = 𝟎 𝒐𝒖 𝒛′ = 𝟎 .
(admise)
Exemple :
Résoudre dans ℂ l’équation 𝑧² + 9 = 0.
pl
Théorème :
Soit l’équation 𝑎𝑧² + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0, d’inconnue 𝑧 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des réels avec 𝑎 ≠ 0.
On note ∆ le réel 𝑏² − 4𝑎𝑐 appelé discriminant.
−𝒃− ∆
–𝒃+ ∆

Si ∆> 0 alors l’équation admet deux solutions réelles :

Si ∆= 0 alors l’équation admet une solution réelle :

Si ∆< 0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
− 𝒃 − 𝒊 −∆
𝟐𝒂
et
𝟐𝒂
et
𝟐𝒂
−𝒃
𝟐𝒂
− 𝒃+ 𝒊 −∆
𝟐𝒂
Remarque : On en déduit que dans ℂ, 𝑎𝑧² + 𝑏𝑧 + 𝑐 admet toujours une forme factorisée 𝑎 𝑧 − 𝑧1 (𝑧 − 𝑧2 )
où 𝑧1 et 𝑧2 sont les racines de 𝑎𝑧² + 𝑏𝑧 + 𝑐, avec éventuellement 𝑧1 = 𝑧2 .
Exemple :
Résoudre dans ℂ l’équation −10𝑧² + 2𝑧 − 1 = 0.
Objectif :
Je dois :
 Savoir résoudre dans ℂ une équation du second degré à coefficients réels.
pl