CH 8 Nombres complexes

Chapitre 8 Nombres complexes (Partie 1)
I. Introduction historique
Les algébristes italiens de la Renaissance tels que, au è siècle, Niccolo Fontana dit Tartaglia
(1499 1557) et Jérôme Cardan (1501 1576) mais aussi Rafaele Bombelli (1526 1576)
cherchaient à résoudre des équations provenant de questions arithmétiques d’origine financière ou
géométriques.
L’inconnue y était considérée comme une « quantité », la notion de nombre étant encore floue. Ils
cherchaient donc des solutions positives et évitaient soigneusement l’usage des nombres négatifs.
En cherchant à résoudre l’équation du troisième degré 315  4 = 0, Bombelli obtint une
équation intermédiaire à priori impossible : ² = 121 !!! Un carré devait être négatif, il aurait dû
donc s’arrêter là. Pourtant, il continua en utilisant un nombre qu’il nota 1 pour signifier que son
carré est égal à 1. A priori, cela est impossible puisque tout carré est positif. Et pourtant, grâce à cet
artifice, Bombelli obtint finalement le nombre 4 comme racine de l’équation 315  4 = 0.
Cette démarche lui permit donc de trouver une solution réelle de cette équation. Très vite, les
algébristes constatèrent que ces nombres (qualifiés d’imaginaires par René Descartes (1596 1650))
fournissent des solutions acceptables, ce qui en légitima l’usage sans pour autant en expliquer ni le
sens ni l’efficacité.
Il faudra attendre les è et è siècle et les travaux de D’Alembert, Gauss, Argand,
Cauchy et Hamilton pour qu’une théorie rigoureuse soit établie et qu’une interprétation géométrique
soit donnée.
L’écriture 1 n’ayant pas de sens, on utilise la notation , inventée par Leonhard Euler (1707 
1783) en 1777, en remplacement de cette écriture et on écrira à présent ² = 1.
Le terme nombre complexe sera lui proposé par Carl Friedrich Gauss (1777 1855).
II. Forme algébrique d’un nombre complexe
1. Définition – Vocabulaire
Théorème-Définition 1 : Il existe un ensemble noté  , appelé ensemble des nombres
complexes, qui possède les propriétés suivantes :
    ;
  est muni d’une addition et d’une multiplication qui
possèdent les mêmes propriétés que celles dans  ;
  contient un nombre noté  tel que ² =  ;
 Tout nombre complexe  s’écrit de manière unique sous
la forme =+ avec  et  réels.
Définition 2 : L’écriture =+ est appelé forme (ou écriture) algébrique du nombre
complexe .
Vocabulaire : Le réel  est appelé la partie réelle de  et se note =().
Le réel  est appelé la partie imaginaire de  et se note =().
Exemples : Pour = 2  3, on a = 2 et =3.
2  3=3, 3 + 7= 7 et 15= 0.
On constate que  et  sont des nombres réels. pl
(admis)

Remarque : Si = 0 alors = donc on retrouve que tout nombre réel est un nombre complexe.
Si = 0 alors =, on dit que  est un imaginaire pur. On note  l’ensemble des
imaginaires purs.
0 est le seul complexe à la fois réel et imaginaire pur.
Conséquence : Pour tout nombre complexe ,
  est un nombre réel  = ;
  est un imaginaire pur  =.
2. Opérations dans 
Définition 3 : On considère =+ et =+ deux nombres complexes.
 +=++(+) ;
 = +(+) ;
Cas particulier : +  =²()²=²+². (voir III. 1.)
Exemple : On considère les nombres complexes =2 + 3 et = 4 5. Ecrire sous forme
algébrique +, et ².
3. Egalite de deux nombres complexes
Propriété 1 : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils sont la même partie
réelle et la même partie imaginaire.
Traduction : On considère deux nombres complexes =+ et =+.
+ =+  =  =
Conséquence : = 0  = 0 et = 0.
Exemples :
(1) Déterminer les réels  et  pour que (2+ 1)+1 + = 1 + 2.
(2) Soit le nombre complexe =+2+ ++ 2  5.
 A quelle condition  est-il un réel ?
 A quelle condition  est-il un imaginaire pur ?
Méthode : Ecrire le nombre complexe sous sa forme algébrique + afin
d’identifier partie réelle et partie imaginaire.
Objectif : Je dois :
 Savoir effectuer des sommes et des produits avec des nombres complexes.
III. Conjugué d’un nombre complexe
1. Définition
Définition 4 : Soit  le nombre complexe de forme algébrique + avec    et   .
On appelle conjugué de  le nombre complexe noté  défini par  =   .
Remarque :  =² + ² (voir II. 2.). Le réel  est donc un réel positif ou nul.
pl

Exemples :
(1) Déterminer le conjugué des nombres complexes suivants :
= 3 2 ; =1 + 5 ; = 6 et = 2.
(2) Résoudre dans  une équation avec  et .
Méthode : Introduire la forme algébrique de .
Résoudre dans  l’équation   1 = 2+.
Applications :
(1) Ecrire sous forme algébrique des nombres suivants : =3
4  5 et =3 + 2 4 + 3 .
Méthode : Pour écrire un inverse ou un quotient sous forme algébrique, on
multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du
dénominateur.
(2) Résoudre dans  l’équation 3  2 + 4=12+ 6.
2. Propriétés
Propriété 2 : Soit  un nombre complexe.
= ;
 + =() et    = () ;
  est un réel   = et  est un imaginaire pur   =.
Propriété 3 : Conjugué et opérations
On considère deux nombres complexes  et .
 + = +
 et 
=
 ;
 Pour tout   0, alors :  =
 et 
=
 ;
 Pour tout  entier naturel non-nul,  =.
Exemple : Déterminer le conjugué des nombres complexes suivants :
1=2 + 34  ; 2= (3 5)3 et 3=13
2 .
Objectif : Je dois :
 Savoir calculer le conjugué d’un nombre complexe et calculer un produit, un
quotient avec des nombres complexes.
IV. Equations du second degré à coefficients réels
Propriété 4 : Pour tout nombre complexe  et , =   =  = .
Exemple : Résoudre dans  l’équation ² + 9 = 0.
pl
(admise)

Théorème : Soit l’équation ²+ += 0, d’inconnue  où , et  sont des réels avec   0.
On note  le réel ²4 appelé discriminant.
 Si > 0 alors l’équation admet deux solutions réelles :    
 et   + 
 Si = 0 alors l’équation admet une solution réelle :  
 Si < 0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
 et  + 
Remarque : On en déduit que dans , ²+ + admet toujours une forme factorisée   1(  2)
où 1 et 2 sont les racines de ²+ +, avec éventuellement 1= 2.
Exemple : Résoudre dans  l’équation 10² + 2  1 = 0.
Objectif : Je dois :
 Savoir résoudre dans  une équation du second degré à coefficients réels.

pl