Exemple : 12 × 34=……. Arithmétique 1°) Vocabulaire : Entiers naturels : ce sont les nombres ………………………... : 0 ; 1 ;2 ;3 ;4 .…. 26 …. 115 ….. etc. L’ensemble des entiers naturels est noté : ℕ Remarque : la somme et le produit de deux entiers naturels est toujours un ……………………………... Par contre la différence ou le quotient de deux entiers naturels n’est pas toujours un entier naturel. 12 × 35=..……. 416=12 × …… +…… Le quotient de la division euclidienne de 416 par 12 est ………. et le reste est ………… Diviseur : un entier a est divisible par un entier d lorsque le reste de la division euclidienne de a par d est ………. ….. On dit alors que d est un diviseur de a. Dire que ‘d’ est un diviseur de ‘a’ ceci signifie qu’il existe un entier n tel que a = n × d Exemple 12 est un diviseur de 408 car 408 = 34 × 12 La différence de deux entiers « n-m » est un entier naturel si et PGCD : On appelle PGCD de deux nombres le ………. ………….. seulement si ……………. ………………………. ……………….. à ces deux nombres. Les Nombres rationnels sont tous les nombres qui peuvent s’écrire 2 sous forme de fraction ( 5 ; 7,2 ; ..) 3 L’ensemble des nombres rationnels est noté : ℚ Exemple : le pgcd de 12 et 8 est …… on écrit Multiple : Les multiples d’un entier naturel ‘p’ sont tous les nombres de la forme ……..……….. où n ∈ ℕ Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à …….. qui n’est Division Euclidienne : Effectuer la division Euclidienne ci–contre : 4 1 6 1 2 et compléter 416 = 12 × …… + ….. et a=….. × …….+……. Nombre premier : divisible que par …… et par ………………… Deux Nombres premiers entre eux : Deux entiers a et b sont dits premiers entre eux lorsque …………………………………….. a ces deux nombres est 1 exemple : 10 et 21 sont-ils premiers entre eux ? Les diviseurs de 10 sont …………………. Soit a et b deux entiers naturels (b ≠ 0): La division Euclidienne de a par b est l’opération qui permet de calculer le quotient entier ‘q’ et le reste ‘r’ tel que : ….. ≤ a<……….. PGCD ( 12 ; 8 ) = ….. ( 0 ≤ r < ……. ) Les diviseurs de 21 sont …………………………… Le plus grand diviseur commun de 10 et 21 est ……….. donc 10 et 21 sont ………………………….. Soit a et b deux entiers relatifs tels que a>b II) Algorithme des différences : Soit a et b deux entiers non nuls. avec a > b et d un diviseur commun à a Du coup d’après la propriété ……… Si un nombre d est diviseur commun de b et de a-b et à b Ceci signifie qu’il existe un entier n et un entier m tel que a= ..... × ........ alors d est un diviseur commun de b et de la somme b + a-b et b= ..... × ........ donc : Si un nombre d est diviseur commun de b et de a-b Du coup : a+b = d (….. +……) où n+m ∈ ℕ donc a+b est bien le produit de d par un nombre ………. alors d est un diviseur commun de b et …. Et d’après la propriété B°) on peut dire que : Si un nombre d est un diviseur commun à a et b alors d est un diviseur donc d divise la …………….. a+b commun de b et a-…. On vient de prouver que Du coup Propriété : A°) Tout diviseur commun à deux entiers a et à b divise leur Les diviseurs communs à deux entiers a et b avec a>b sont les diviseurs communs à b et a-b ………………… Algorithme des différences : Soit a et b deux entiers non nuls. avec a > b et d un diviseur commun à a exemple Rechercher le PGCD de 204 et 85 et b 204 - 85 =119 donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( 85 ; ……. ) Ceci signifie qu’il existe un entier n tel que a= ..... × ........ 119 - 85=….. donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( 85 ; ……. ) 85 - 34=……. donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( …… ; ……. ) ….. - …...=…… donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( …… ; ……. ) donc d divise la ……………………….. a-b …..- …..=…… donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( …… ; ……. ) On vient de prouver que : 17 - …..=0 Propriété : Le PGCD de 204 et 85 est ………. B°) Dans cet algorithme, la dernière différence non ………… est le PGCD et un entier m et b= ..... × ........ avec n > …… Du coup : a-b = d (….. -……) et ….-…. ∈ ℕ Tout diviseur commun à deux entiers a et à b divise leur ………………………. de 204 et 85 3°) Algorithme d’Euclide Algorithme d’Euclide : Soit a et b deux entiers et d un diviseur commun à a et b. exemple Rechercher le PGCD de 204 et 85 Soit q le quotient de la division de a par b et r le reste 2 0 4 on a alors a = b × …… + r 8 5 204 = 85 × ……+34 Donc pgcd ( 204 ; 85) = pgcd ( 85 ; ….. ) Du coup r = a – …. × …. De plus comme d divise b alors d ……….… b × q Du coup d divise a et b × q donc d divise la différence a – …. × …. 8 5 85 = ….. × ….. +…. Donc pgcd ( 204 ; 85) = pgcd ( …. ; ….. ) C’est dire d divise …… Donc : Tout diviseur commun à deux entiers a et à b divise le ………….. de la division euclidienne. … = ….. × ….+…. Donc pgcd (204 ; 85) = ………. On s’arrête lorsque le reste est nul. Donc Si d divise a et b alors d divise b et r Le PGCD est le dernier reste non nul. De plus avec le même raisonnement si d divise b et r alors d divise b et la somme b × …… + r Donc si d divise b et r alors d divise b et a Du coup Les diviseurs communs à deux entiers a et b sont les diviseurs communs à b et r où r est le reste de la division de a par b. Du coup si a=bq+r où r est le reste de la division Euclidienne de a par b alors PGCD (a ; b) = PGCD ( b ; …..) En déduire l’écriture sous forme de fraction irréductible de 204 85