Arithmétique

Exemple : 12 × 34=…….
Arithmétique
1°) Vocabulaire :
Entiers naturels : ce sont les nombres ………………………... :
0 ; 1 ;2 ;3 ;4 .…. 26 …. 115 ….. etc.
L’ensemble des entiers naturels est noté : ℕ
Remarque : la somme et le produit de deux entiers naturels est toujours
un ……………………………...
Par contre la différence ou le quotient de deux entiers naturels n’est pas
toujours un entier naturel.
12 × 35=..…….
416=12 × …… +……
Le quotient de la division euclidienne de 416 par 12 est ………. et le
reste est …………
Diviseur : un entier a est divisible par un entier d lorsque le reste de
la division euclidienne de a par d est ………. …..
On dit alors que d est un diviseur de a.
Dire que ‘d’ est un diviseur de ‘a’ ceci signifie qu’il existe un
entier n tel que a = n × d
Exemple 12 est un diviseur de 408 car 408 = 34 × 12
La différence de deux entiers « n-m » est un entier naturel si et
PGCD : On appelle PGCD de deux nombres le ………. …………..
seulement si …………….
………………………. ……………….. à ces deux nombres.
Les Nombres rationnels sont tous les nombres qui peuvent s’écrire
2
sous forme de fraction ( 5 ; 7,2 ; ..)
3
L’ensemble des nombres rationnels est noté : ℚ
Exemple : le pgcd de 12 et 8 est …… on écrit
Multiple :
Les multiples d’un entier naturel ‘p’ sont tous les
nombres de la forme ……..……….. où n ∈ ℕ
Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à …….. qui n’est
Division Euclidienne :
Effectuer la division Euclidienne ci–contre :
4 1 6
1 2
et compléter 416 = 12 × …… + …..
et a=….. × …….+…….
Nombre premier :
divisible que par …… et par …………………
Deux Nombres premiers entre eux :
Deux entiers a et b sont dits premiers entre eux lorsque
…………………………………….. a ces deux nombres est 1
exemple : 10 et 21 sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de 10 sont ………………….
Soit a et b deux entiers naturels (b ≠ 0): La division Euclidienne de a par
b est l’opération qui permet de calculer le quotient entier ‘q’ et le
reste ‘r’ tel que :
….. ≤ a<………..
PGCD ( 12 ; 8 ) = …..
(
0 ≤ r < ……. )
Les diviseurs de 21 sont ……………………………
Le plus grand diviseur commun de 10 et 21 est ………..
donc 10 et 21 sont …………………………..
Soit a et b deux entiers relatifs tels que a>b
II) Algorithme des différences :
Soit a et b deux entiers non nuls. avec a > b et d un diviseur commun à a
Du coup d’après la propriété ………
Si un nombre d est diviseur commun de b et de a-b
et à b
Ceci signifie qu’il existe un entier n et un entier m tel que a= ..... × ........
alors d est un diviseur commun de b et de la somme b + a-b
et b= ..... × ........
donc : Si un nombre d est diviseur commun de b et de a-b
Du coup : a+b = d (….. +……) où n+m ∈ ℕ
donc a+b est bien le produit de d par un nombre ……….
alors d est un diviseur commun de b et ….
Et d’après la propriété B°) on peut dire que :
Si un nombre d est un diviseur commun à a et b alors d est un diviseur
donc d divise la …………….. a+b
commun de b et a-….
On vient de prouver que
Du coup
Propriété :
A°) Tout diviseur commun à deux entiers a et à b divise leur
Les diviseurs communs à deux entiers a et b avec a>b sont les diviseurs
communs à b et a-b
…………………
Algorithme des différences :
Soit a et b deux entiers non nuls. avec a > b et d un diviseur commun à a
exemple Rechercher le PGCD de 204 et 85
et b
204 - 85 =119 donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( 85 ; ……. )
Ceci signifie qu’il existe un entier n tel que a= ..... × ........
119 - 85=…..
donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( 85 ; ……. )
85 - 34=…….
donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( …… ; ……. )
….. - …...=……
donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( …… ; ……. )
donc d divise la ……………………….. a-b
…..- …..=……
donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( …… ; ……. )
On vient de prouver que :
17 - …..=0
Propriété :
Le PGCD de 204 et 85 est ……….
B°)
Dans cet algorithme, la dernière différence non ………… est le PGCD
et un entier m et b= ..... × ........ avec n > ……
Du coup : a-b = d (….. -……) et
….-…. ∈ ℕ
Tout diviseur commun à deux entiers a et à b divise leur
……………………….
de 204 et 85
3°) Algorithme d’Euclide
Algorithme d’Euclide :
Soit a et b deux entiers
et d un diviseur commun à a et b.
exemple Rechercher le PGCD de 204 et 85
Soit q le quotient de la division de a par b et r le reste
2 0 4
on a alors a = b × …… + r
8 5
204 = 85 × ……+34
Donc
pgcd ( 204 ; 85) = pgcd ( 85 ; ….. )
Du coup r = a – …. × ….
De plus comme d divise b alors d ……….… b × q
Du coup d divise a et b × q donc d divise la différence a – …. × ….
8 5
85 = ….. × ….. +….
Donc
pgcd ( 204 ; 85) = pgcd ( …. ; ….. )
C’est dire d divise ……
Donc :
Tout diviseur commun à deux entiers a et à b divise le ………….. de la
division euclidienne.
… = ….. × ….+….
Donc
pgcd (204 ; 85) = ……….
On s’arrête lorsque le reste est nul.
Donc Si d divise a et b alors d divise b et r
Le PGCD est le dernier reste non nul.
De plus avec le même raisonnement
si d divise b et r alors d divise b et la somme b × …… + r
Donc si d divise b et r alors d divise b et a
Du coup
Les diviseurs communs à deux entiers a et b sont les diviseurs communs
à b et r où r est le reste de la division de a par b.
Du coup si a=bq+r où r est le reste de la division Euclidienne de a par b
alors PGCD (a ; b) = PGCD ( b ; …..)
En déduire l’écriture sous forme de fraction irréductible de
204
85