Arithmétique

Arithmétique
1°) Vocabulaire :
Entiers naturels : ce sont les nombres ………………………... :
0 ; 1 ;2 ;3 ;4 .…. 26 …. 115 ….. etc.
L’ensemble des entiers naturels est noté :
ℕ
Remarque : la somme et le produit de deux entiers naturels est toujours
un ……………………………...
Par contre la différence ou le quotient de deux entiers naturels n’est pas
toujours un entier naturel.
La différence de deux entiers « n-m » est un entier naturel si et
seulement si …………….
Les Nombres rationnels sont tous les nombres qui peuvent s’écrire
sous forme de fraction ( 5 ; 7,2 ;
2
3
..)
L’ensemble des nombres rationnels est noté :
ℚ
Multiple : Les multiples d’un entier naturel ‘p’ sont tous les
nombres de la forme ……..……….. où n
∈
ℕ
Division Euclidienne :
Effectuer la division Euclidienne ci–contre :
et compléter 416 = 12
×
…… + …..
Soit a et b deux entiers naturels (b
≠
0): La division Euclidienne de a par
b est l’opération qui permet de calculer le quotient entier ‘q’ et le
reste ‘r’ tel que :
…..
≤
a<……….. et a=…..
×
…….+……. ( 0
≤
r < ……. )
Exemple : 12
×
34=……. 12
×
35=..…….
416=12
×
…… +……
Le quotient de la division euclidienne de 416 par 12 est ………. et le
reste est …………
Diviseur : un entier a est divisible par un entier d lorsque le reste de
la division euclidienne de a par d est ………. …..
On dit alors que d est un diviseur de a.
Dire que ‘d’ est un diviseur de ‘a’ ceci signifie qu’il existe un
entier n tel que a = n
×
d
Exemple 12 est un diviseur de 408 car 408 = 34
×
12
PGCD : On appelle PGCD de deux nombres le ………. …………..
………………………. ……………….. à ces deux nombres.
Exemple : le pgcd de 12 et 8 est …… on écrit PGCD ( 12 ; 8 ) = …..
Nombre premier :
Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à …….. qui n’est
divisible que par …… et par …………………
Deux Nombres premiers entre eux :
Deux entiers a et b sont dits premiers entre eux lorsque
…………………………………….. a ces deux nombres est 1
exemple : 10 et 21 sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de 10 sont ………………….
Les diviseurs de 21 sont ……………………………
Le plus grand diviseur commun de 10 et 21 est ………..
donc 10 et 21 sont …………………………..
4 1 6 1 2

II) Algorithme des différences :
Soit a et b deux entiers non nuls. avec a > b et d un diviseur commun à a
et à b
Ceci signifie qu’il existe un entier n et un entier m tel que a=
..... ........
×
et b=
..... ........
×
Du coup : a+b = d (….. +……) où n+m
∈
ℕ
donc a+b est bien le produit de d par un nombre ……….
donc d divise la …………….. a+b
On vient de prouver que
Propriété :
A°) Tout diviseur commun à deux entiers a et à b divise leur
…………………
Soit a et b deux entiers non nuls. avec a > b et d un diviseur commun à a
et b
Ceci signifie qu’il existe un entier n tel que a=
..... ........
×
et un entier m et b=
..... ........
×
avec n > ……
Du coup : a-b = d (….. -……) et ….-….
∈
ℕ
donc d divise la ……………………….. a-b
On vient de prouver que :
Propriété :
B°) Tout diviseur commun à deux entiers a et à b divise leur
……………………….
Soit a et b deux entiers relatifs tels que a>b
Du coup d’après la propriété ………
Si un nombre d est diviseur commun de b et de a-b
alors d est un diviseur commun de b et de la somme b + a-b
donc : Si un nombre d est diviseur commun de b et de a-b
alors d est un diviseur commun de b et ….
Et d’après la propriété B°) on peut dire que :
Si un nombre d est un diviseur commun à a et b alors d est un diviseur
commun de b et a-….
Du coup
Les diviseurs communs à deux entiers a et b avec a>b sont les diviseurs
communs à b et a-b
Algorithme des différences :
exemple Rechercher le PGCD de 204 et 85
204 - 85 =119 donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( 85 ; ……. )
119 - 85=….. donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( 85 ; ……. )
85 - 34=……. donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( …… ; ……. )
….. - …...=…… donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( …… ; ……. )
…..- …..=…… donc PGCD (204 ; 85 ) = PGCD ( …… ; ……. )
17 - …..=0
Le PGCD de 204 et 85 est ……….
Dans cet algorithme, la dernière différence non ………… est le PGCD
de 204 et 85

3°) Algorithme d’Euclide
Soit a et b deux entiers
et d un diviseur commun à a et b.
Soit q le quotient de la division de a par b et r le reste
on a alors a = b
×
…… + r
Du coup r = a – ….
×
….
De plus comme d divise b alors d ……….… b
×
q
Du coup d divise a et b
×
q donc d divise la différence a – ….
×
….
C’est dire d divise ……
Donc :
Tout diviseur commun à deux entiers a et à b divise le ………….. de la
division euclidienne.
Donc Si d divise a et b alors d divise b et r
De plus avec le même raisonnement
si d divise b et r alors d divise b et la somme b
×
…… + r
Donc si d divise b et r alors d divise b et a
Du coup
Les diviseurs communs à deux entiers a et b sont les diviseurs communs
à b et r où r est le reste de la division de a par b.
Du coup si a=bq+r où r est le reste de la division Euclidienne de a par b
alors PGCD (a ; b) = PGCD ( b ; …..)
Algorithme d’Euclide :
exemple Rechercher le PGCD de 204 et 85
2 0 4 8 5
204 = 85
×
……+34
Donc
pgcd ( 204 ; 85) = pgcd ( 85 ; ….. )
8 5
85 = …..
×
….. +….
Donc
pgcd ( 204 ; 85) = pgcd ( …. ; ….. )
… = …..
×
….+….
Donc
pgcd (204 ; 85) = ……….
On s’arrête lorsque le reste est nul.
Le PGCD est le dernier reste non nul.
En déduire l’écriture sous forme de fraction irréductible de
204
85