TD de Physique no 11 : Diffraction

E.N.S. de Cachan
M2 FE
Physique appliquée
Département E.E.A.
3e année
2011-2012
TD de Physique no 11 :
Diffraction
Exercice no 1 : Diffraction par une ouverture rectangulaire
On considère une ouverture rectangulaire de largeur a et de longueur b (cf figure n˚1a). Cette ouverture
est éclairée par une onde plane monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ0 dont la direction de
propagation est donnée par le vecteur unitaire ~u de composantes (α, β, γ) dans le repère (O,~ex ,~ey ,~ez ). On
place un écran dans le plan focal image d’une lentille convergente L de focale f’ (cf figure n˚1b).
Figure no 1 : a) Ouverture rectangulaire, b) Trajet d’un rayon
dans le cas particulier où ~u et ~u0 sont dans le plan Oyz.
Soit ~u0 un vecteur unitaire donnant la direction de propagation des rayons diffractés qui convergent après la
lentille L en un point M de son plan focal image. On note (α0 , β 0 , γ 0 ) les composantes de ~u0 dans le repère
(O,~ex ,~ey ,~ez ).
1. Déterminer l’intensité diffractée par cette ouverture en fonction de λ0 , a, b, α, α0 , β, β 0 et I0 l’intensité
maximale.
2. Tracer l’allure des fonctions α0 → I(α0 , β 0 = β) et β 0 → I(α0 = α, β 0 ) en supposant que b = 2a. Commenter.
3. Établir l’expression de l’intensité lumineuse au point M de coordonnées (x,y) dans le plan focal image
de L. Donner une représentation de la figure de diffraction observée sur l’écran.
4. Traiter le cas d’une fente.
Exercice no 2 : Filtrage optique
On considère le montage présenté à la figure n˚2 dans lequel un diaphragme de transparence t(x) est éclairé
sous incidence normale par une onde plane issue de l’association d’un laser et d’un élargisseur de faisceau. La
longueur d’onde dans le vide du laser est notée λ0 .
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Figure no 2 : Montage optique considéré
On considère un diaphragme d’amplitude tel que :
x i x 1h
Π
t(x) = 1 + cos 2π
2
p
L
avec
L >> p.
Π représente la fonction porte, c’est-à-dire Π(α) vaut 1 si −1/2 < α < 1/2 et 0 sinon.
1. Tracer l’allure de la fonction x → t(x) dans le cas particulier où L=7p.
2. Comment peut-on en pratique obtenir un tel diaphragme ?
3. Expliciter l’amplitude complexe de l’onde diffractée par le diaphragme en un point M du plan focal
image de la lentille L1 dont la focale est notée f. On note X l’abscisse du point M.
4. En déduire l’intensité lumineuse I(X) au point M. On notera I0 l’intensité en X = 0. Tracer l’allure de
X → I(X)/I0 .
Le montage optique comporte également une lentille L2 identique à L1 placée de telle manière à ce que son
plan focal objet soit confondu avec le plan focal image de L1 . Un écran est placé dans le plan focal image de
L2 .
5. Une fente D de largeur d est placée dans le plan focal image de L1 .
a- Qu’observe-t-on sur l’écran lorsque d/2 > λ0 f/p ?
b- Qu’observe-t-on sur l’écran lorsque d/2 < λ0 f/p ?
6. Dans cette question, on remplace la fente D par deux fentes de même largeur 2λ0 f/L centrées en
±λ0 f/p. Qu’observe-t-on à l’écran ?
Exercice no 3 : Réseau à fentes parallèles
On considère le montage optique de la figure n˚3 dans lequel une onde plane monochromatique de longueur
d’onde dans le vide λ0 tombe sur un réseau à fentes parallèles sous l’angle d’incidence θ0 . On note a, la période
du réseau, ε, la largeur d’une fente et N, le nombre de fentes éclairées par l’onde incidente. On observe, sur
un écran, la figure de diffraction dans le plan focal image d’une lentille convergente L de focale f. On note θ
l’angle que forment avec l’axe optique de L les rayons diffractés qui convergent au point M de l’écran.
Figure no 3 : Diffraction de Fraunhoffer
d’un réseau à fentes parallèles
1. Rappeler l’expression de ψf (M) l’amplitude complexe en M dans le cas où l’onde plane incidente est
diffractée par une fente unique centrée sur l’axe optique.
2. On note ψn (M) l’amplitude complexe en M de l’onde diffractée par la fente centrée en x=na. Déterminer
ψn (M) en fonction de n, a, u = sin θ − sin θ0 /λ0 et de ψf (M).
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3. En déduire l’expression de ψ(M), l’amplitude complexe en M, dans le cas où l’onde plane incidente
est diffractée par le réseau centré sur l’axe optique. On pourra supposer N impair pour alléger le traitement
mathématique.
4. En déduire l’intensité lumineuse I(M) au point M. On notera I0 l’intensité en u = 0. Tracer l’allure de
u → I(u)/I0 . Commenter.
5. Interpréter les positions des pics d’intensité en terme de déphasage entre les ondes diffractées par deux
fentes successives.
Problème : Spectroscopie
I- Dispersion d’un réseau à fentes parallèles
On considère à nouveau le réseau à fentes parallèles de l’exercice n˚3 et le montage optique de la figure n˚3.
1. Réalisation d’un spectromètre.
a- Établir l’expression de la dispersion angulaire Da = dθm /dλ en fonction de l’ordre de diffraction m, de la
période du réseau a et de θm , l’angle que forme avec l’axe optique l’onde diffractée pour l’ordre m et la longueur
d’onde dans le vide λ.
b- Pour réaliser un spectromètre il est préférable que la variation de θm soit linéaire avec la longueur d’onde
λ. Dans quelle configuration faut-il se placer pour que ce soit le cas, au moins au premier ordre ?
c- On se place dans cette configuration. Établir l’expression de la dispersion linéique Dl obtenue sur l’écran
placé dans le plan focal image de la lentille L de focale f.
d- On utilise un réseau de 500 traits/mm et une lentille de focale 20 cm. On souhaite que le spectromètre
soit centré sur la longueur d’onde λ = 589 nm pour l’ordre 2. Déterminer la valeur de θ0 à imposer. Faire
l’application numérique de Dl .
2. Minimum de déviation. Le faisceau d’un laser de longueur d’onde dans le vide λ tombe sur le réseau
avec un angle d’incidence θ0 .
a- Montrer qu’il existe un angle d’incidence θ0,min pour lequel la déviation Dm pour l’ordre m du faisceau laser
par le réseau est minimale.
b- Montrer alors qu’en connaissant la période du réseau a et en mesurant la déviation Dm pour l’ordre m, on
peut déterminer λ.
3. Pouvoir de résolution. Deux ondes planes monochromatiques de longueurs d’onde dans le vide λ et
λ + ∆λ éclairent le réseau avec le même angle d’incidence θ0 . L’exercice n˚3 a permis de montrer que ∆u la
demi-largeur d’un pic d’intensité
vérifie : ∆u = 1/(Na) avec N, le nombre de fentes éclairées, a, la période du
réseau et u = sin θ − sin θ0 /λ.
a- Déterminer, en fonction de f, λ, N, a et θm , la demi-largeur ∆X du pic d’intensité dans le plan focal image
de la lentille convergente L (cf figure n˚3).
b- Donner l’expression de ∆λmin la valeur minimale de ∆λ qui permette au spectromètre de résoudre les deux
longueurs d’onde λ et λ + ∆λ.
c- En déduire le pouvoir de résolution λ/∆λmin du spectromètre.
d- On suppose qu’au minimum (c’est-à-dire lorsque l’onde incidente arrive sous incidence normale) le réseau
est éclairé sur une largeur l = 1 cm. Déterminer la période a (en nombre de traits par mm) du réseau nécessaire
pour qu’avec l’ordre 2 le spectromètre puisse résoudre le doublet du sodium (λ1 = 589 nm et λ2 = 589, 6 nm).
Commenter.
II- Réseau échelette
Pour éviter les problèmes de recouvrement des ordres de diffraction on travaille avec des réseaux blazés,
c’est-à-dire des réseaux pour lesquels on a essayé de maximiser un des ordres de diffraction et d’annuler les
autres.
1. Donner la structure d’un réseau à fentes parallèles qui serait blazé. Pourquoi n’y a-t-il aucun intérêt
à blazer un réseau à fentes parallèles ?
Pour pallier au problème soulevé, on considère un réseau échelette dont la structure est présentée à la
figure n˚4. Afin d’éviter les défauts d’homogénéité du matériau, ce réseau est utilisé en réflexion. Le réseau est
éclairé sous un angle d’incidence i par une onde plane monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ0 .
On observe la figure de diffraction à l’infini dans la direction θ.
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Figure no 4 : Réseau échelette
2. Écrire la condition sur i et θ pour obtenir d’un pic d’intensité de l’onde diffractée. Dans la suite on se
place dans le cas particulier où le réseau est éclairé sous incidence normale : i=0.
3. La figure de diffraction d’un motif est maximale dans la direction du rayon réfléchi c’est-à-dire lorsque
α = −α0 . En considérant a >> λ0 déterminer l’angle de blaze δ qui permette de maximiser l’intensité du pic
de diffraction d’ordre 1.
4. Que resterait-il à faire pour blazer le réseau sur l’ordre 1 ?
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