TDPhy16 Optique ondulatoire (4). Diffraction. Ex1 Mesure de la

TDPhy16
Optique ondulatoire (4). Diffraction.
Ex1 Mesure de la distance Terre-Lune
1. Pour mesurer avec précision la distance Terre-Lune, on utilise un faisceau LASER de
longueur d’onde 530nm qui est réfléchi par un réflecteur posé sur la lune. Le faisceau
partant de Terre a un diamètre minimal de 2,5 cm. Estimer l’ordre de grandeur du
diamètre du faisceau au niveau de la surface lunaire.
2. En radioastronomie, on utilise les ondes radio comme celle émise par l’hydrogène à une
longueur d’onde de 21 cm. Pour des télescopes de dimensions identiques, comparer la
résolution en ondes radio et en ondes visibles? Quel est l’intérêt des ondes radio? Quel
type de miroir de télescope peut-on envisager?
A voir: site de l’observatoire de Nancay: http://www.obs-nancay.fr/, un radiotélescope aux dimensions
exceptionnelles!
Ex2 Mesure de l’épaisseur d’une couche d’air
Le phénomène de caléfaction est observé lorsqu’une goutte d’eau posée sur un substrat
très chaud se trouve en lévitation, une couche de vapeur se formant entre la goutte et le
substrat. On se propose de déterminer l’épaisseur e0 de la couche de vapeur en utilisant le
dispositif ci-dessous. L’intensité lumineuse diffractée est observée sur l’écran placé à X=50cm
de la goutte
Ex3 Pouvoir séparateur d’un télescope
On observe un système d’étoiles doubles à travers un télescope modélisé par une ouverture
rectangulaire de largeur a selon (Ox) et de grande longueur selon (Oy). Cette ouverture est
suivie d’une lentille convergente de focale f’ et on observe l’intensité en un point M repéré
par sa coordonnée x dans le plan focal image de la lentille
1. Etablir l’expression de l’intensité I(x) pour une transparence du diaphragme t(x)=1 en
considérant que l’intensité maximale sur l’écran associé à chaque étoile a la même valeur I0 .
On considère qu’on peut distinguer deux pics d’intensité si la distance entre leurs centres
est supérieure à leur demi-largeur à la base (critère de Rayleigh). Quel est le pouvoir
séparateur du télescope (plus petite valeur θ de qu’on peut distinguer avec le télescope)
2. Le pouvoir séparateur est aussi limité par la turbulence atmosphérique, équivalente à la
diffraction sur un miroir de rayon 50 cm. Pourquoi utilise-t-on pourtant des télescopes de
rayon égal à 10m?
Ex4 Pupilles avec transparence variable
Une fente de centre O, de largeur a (−a/2 6 x 6 a/2) suivant l’axe (Ox) et de longueur
b>‌>a suivant l’axe Oy porte une diapositive de fonction de transparence réelle t(x). Elle
est éclairée en incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d’onde
λ0 .
1. Exprimer l’amplitude complexe a(θ) de la lumière diffractée dans une direction faisant
un angle θ avec la normale au plan de la fente sous la forme d’une intégrale.
2. Pour t1 (x) = cos(π xa ). établir l’expression de l’intensité diffractée et comparer le graphe
I(θ) au cas où t(x) = 1.
3. Pour t2 (x) = 1 − 2|x|
, établir l’expression de l’intensité diffractée. Tracer l’allure du
a
graphe I(θ) .
´ a/2
On donne −a/2 t(x)e2jβx dx = 2a sin c2 (βa)
Pour améliorer le pouvoir séparateur d’un télescope, on modifie la transparence du
diaphragme par t2 (x) . Quel peut être l’intérêt d’un tel dispositif dans le cas de
l’observation de deux étoiles très proches de luminosités très différentes? Justifier le nom
d’apodisation pour cette méthode ("suppression des pieds")
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Ex5 Réflexion sur un miroir, limite de l’optique géométrique
Un miroir métallique rectangulaire placé dans le plan (xOz), de largeur a constante selon
l’axe (Ox) et de longueur b>‌>a selon (Oz) est éclairé par une onde plane
monochromatique de longueur d’onde λ0 . arrivant sous l’incidence θ.
1. Justifier qu’on restreigne l’étude de la diffraction au plan xOy.
2. Déterminer l’expression de l’éclairement à l’infini dans la direction θ0 en notant Imax
l’intensité maximale. Dans quelle direction l’intensité est-elle maximale? Commenter ce
résultat.
Ex7 Intensité diffractée par une fente
Donner l’intensité lumineuse diffractée à l’infini par une fente fine de largeur a=0,2mm
éclairée en incidence normale (- a2 6 x 6 a2 ) .
On place parallèlement à l’ouverture, une lame de transparence +1 pour x > 0 et de
transparence -1 pour x < 0. Déterminer l’intensité obtenue dans le plan focal image d’une
lentille convergente de distance focale f’=20 cm parallèle à l’ouverture.
Ex8 Interférences à quatre trous
Quatre petits trous de diamètre d sont placés aux sommets d’un carré de côté a, d’axe
(Oz), dans un écran opaque éclairé sous incidence nulle par un faisceau parallèle de lumière
monochromatique de longueur d’onde λ. L’observation se fait dans le plan focal image
d’une lentille convergente de distance focale f’, dont l’axe optique est (Oz).
Déterminer I(x,y), intensité lumineuse en un point M(x,y) de l’écran d’observation.
Déterminer I(x,y), intensité lumineuse en un point M(x,y) de l’écran d’observation.
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Ex9 Mesure de rayons de grains
On répand sur une plaque de verre de la poudre formée de grains identiques. Le résultat
peut être considéré comme une répartition aléatoire sur la plaque de disques opaques
identiques de même rayon R. La plaque de verre est placée normalement à un faisceau
parallèle monochromatique de longueur d’onde 600 nm. Une lentille convergente de
distance focale f’=1m permet d’observer lintensité diffractée dans son plan focal.
Montrer qu’en dehors du foyer de la lentille, la figure de diffraction est la même que celle
d’une ouverture circulaire de rayon R.
Le premier anneau sombre a pour rayon dans le plan focal image x=2,45 cm. En déduire R
Ex10 Principe de l’holographie
Un dispositif interférentiel permet de superposer deux ondes cohérentes d’amplitudes
complexes:
−
→ −−→
−
→ −−→
a0 = A0 e−jk0 uz .OM et a1 = A1 e−jk0 u .OM
−
−
−
avec →
u = sin α→
ux + cos α→
uz et A1 << A0
La figure d’interférence est enregistrée sur une pellicule placée dans le plan z = 0. La
pellicule acquiert ainsi une transparence t(P ) = t0 + t1 I(P ), fonction de l’intensité au point
P. Déterminer t(P ).
Cette pellicule (hologramme) de largeur L=2cm selon (Ox) est ultérieurement utilisée pour
−
→ −−→
diffracter une onde plane a0 = A0 e−jk0 uz .OM arrivant sous incidence normale. Déterminer
l’amplitude diffractée à l’infini et montrer que la pellicule permet de restituer trois ondes
planes, dont l’une a les mêmes caractéristiques que a1 . Préciser les directions des deux
autres.
N.B.: Lorsque l’onde d’amplitude a1 provient non pas de l’infini, mais d’un point d’un objet
à distance finie, on peut montrer que l’on peut ainsi restituer une image en relief de l’objet.
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